[PDF] 1 Dérivées premières et secondes dune fonction de une ou deux

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Université de TOURS - L2 Gestion

Cours Outils mathématiques d"aide à la décision

Enoncé des TD n

2 et 3 - groupe 127

Optimisation sans contrainte

Automne 2018

Dans tout le TD nous considérons des fonctions qui sont dérivables une fois et dont la(les) dérivées sont aussi dérivables.

1 Dérivées premières et secondes d"une fonction de une ou deux variables

1) Considérez les fonctionsf(x)suivantes, calculer pour chacun des cas la dérivée première qu"on noteraf0(x)et la

dérivée seconde qu"on noteraf00(x). f(x) =exf(x) =px f(x) = ln(x)f(x) =xaf(x) = (1 +px)2f(x) = (1 +x2)1=2

Ces dérivées sont classiques, il faut maîtriser deux choses, la dérivée de la fonction puissance(xa)0=

ax

a1et la dérivée de la composée de deux fonction(f(g(x)))0=f0(g(x))g0(x). On trouve dans le même

ordre : f

0(x) =exf0(x) = 1=2px f

0(x) = 1=x f0(x) =axa1f0(x) = 2(1 +px)12

px f0(x) =12 (1 +x2)1=22x

2) Considérez les fonctionsf(x;y)suivantes, calculer pour chacun des caslesdérivées premièresfxetfyet les trois

dérivées secondes,fxx,fyyetfxy: f(x;y) =ex+yf(x;y) =px+y f(x;y) = ln(x+y)f(x;y) =xaybf(x;y) = (px+py)2f(x;y) = (x2+y2)1=2

Commençons parfxdans chacun des six cas :

f x=ex+yfx= 1=2px+y fx= 1=(x+y)fx=axa1ybfx= 2(px+py)(1=2px)fx=12 (x2+y2)1=22x

Continuons aprfxxdans chacun des six cas, où l"on dérive les expressions que l"on vient d"obtenir

encore une fois par rapport àx. Pour la cinquième dérivée, on part d"une expression plus travaillée de

f x= 1 + (py= px). On trouve f xx=ex+yfxx= (1=2)(1=2)(x+y)3=2fxx=1=(x+y)2fxx=a(a1)xa2ybfxx=12 pyx3=2fxx= (x2+y2)1=2+x12 (x2+y2)3=22x Les dérivées par rapport ày, qu"on notefydans chacun des six cas : f y=ex+yfy= 1=2px+y fy= 1=(x+y)fy=bxayb1fy= 2(px+py)(1=2py)fy=12 (x2+y2)1=22y

Continuons aprfxxdans chacun des six cas, où l"on dérive les expressions que l"on vient d"obtenir

encore une fois par rapport àx. Pour la cinquième dérivée, on part d"une expression plus travaillée de

f y= 1 + (px= py). On trouve f yy=ex+yfyy= (1=4)(x+y)3=2fyy=1=(x+y)2fyy=b(b1)xayb2fyy=12 pxy3=2fyy= (x2+y2)1=2+y12 (x2+y2)3=22y Enfin,fyx, on dérivefypar rapport àx, cela donne : f yx=ex+yfyx= (1=4)(x+y)3=2fyx=1=(x+y)2fyx=abxa1yb1fyx= (1=2py px)fyx=14 (x2+y2)3=22y2x On peut bien entendu vérifier quefyx=fxyc"est-à-dire que l"ordre de dérivation importe peu.

3) Reprendre les exemples de la question 2) précédente en calculant le déterminant de la matrice HessienneD=

f xxfyy(fxy)2 dans le premier casf=ex+y,D=ex+yex+y(ex+y)2= 0 dans le second casf=px+y,D= (1=2)(1=2)(x+y)3=2(1=2)(1=2)(x+y)3=2((1=2)(1=2)(x+ y)3=2)2= 0 dans le troisième casf= ln(x+y),D= (1=2)(1=2)(x+y)3=2(1=2)(1=2)(x+y)3=2((1=2)(1=2)(x+ y)3=2)2= 0 dans le quatrième casf=xayb,D=a(a1)xa2ybb(b1)xayb2(abxa1yb1)2=x2(a1)y2(b1)[a(a

1)b(b1)(ab)2] =ab(1ab)x2(a1)y2(b1)

dans le cinquième casf= (px+py)2,D=12 pyx3=212 pxy3=2((1=2py px))2= 0 dans le sixième casf= (x2+y2)1=2,D= [(x2+y2)1=2+x12 (x2+y2)3=22x][(x2+y2)1=2+y12 (x2+ y

2)3=22y](14

(x2+y2)3=22y2x)2= 0. En effet, tous les termes se simplifient; si vous n"arrivez pas à ce dernier calcul, ce n"est pas très grave.

4) Calculerfx,fy,fxx,fyy,fxyetD=fxxfyy(fxy)2pour les fonctionsf(x;y)suivantes :

f(x;y) =aln(x) +bln(y)f(x;y) =x22xy2y f(x;y) =g(x) +h(y) Pour la première fonctionf(x;y) =aln(x) +bln(y) f x=a=x f y=b=y; f xx=a=x2; f yy=b=y2; f xy= 0

D=a=x2 b=y2=ab=(xy)2

Cette fonction est concave.

Pour la seconde fonctionf(x;y) =x22xy2y

f x= 2x2y f y=2x2 f xx= 2; f yy= 0; f xy=2

D= 20(2)2=4

Elle n"est pas concave

Pour la troisième fonctionf(x;y) =g(x) +h(y)

f x=g0(x) f y=h0(y) f xx=g00(x) f yy=h00(y) f xy= 0

D=g00(x)g00(y)0

Ainsi sigethsont concaves, alorsfest concave.

2 Un exemple facile de fonction concave

On considère dans cette partie deux fonctions de une variableg(x)eth(y)qui sont concaves.

1) Redire quelles sont les conditions sur les dérivées deg(x)et deh(y)pour que ces deux fonctions soient croissantes

g

0(x)0eth0(x)0

2) Démontrer que si les fonctionsg(x)eth(y)sont concaves, alors la fonctionf(x;y) =g(x) +h(y)l"est aussi.

Cette question est la redite du dernier exemple de l"exercice précédent. f x=g0(x) f y=h0(y) f xx=g00(x) f yy=h00(y) f xy= 0

D=g00(x)g00(y)0

Ainsi sigethsont concaves, alorsfest concave.

3 Perte du caractère concave

1) Trouver un exemple ou sig(x)est concave, alorsg(x)g(x)ne l"est pas nécessairement

Il faut trouver une fonction qui n"est pas trop concave, une fonction puissancexapourx0aveca proche de 1. Par exempleg(x) =x3=4est concave, puisqueg0=34 x1=4etg00=34 14 x5=4<0Alors que f=g2=x3=2est convexe puisquef0=32 x1=2etf00=32 12 x1=2>0

2) Trouver un exemple ou sig(x)eth(y)sont concaves, alorsg(x)h(y)ne l"est pas nécessairement

Prenons un exemple proche de l"exemple précédent, tout cuit.g(x) =x h(h) =y. etf=xy. On a : f x=y f y=x f xx= 0 f yy= 0 f xy= 1

D= 01 =1<0

Ainsi sigethsont concaves, etf=ghn"est pas concave.

4 Programmes d"optimisation

Dire s"il existe une solution aux programmes d"optimisation suivants, et, s"il y en a, les donner. max x;y2R1ex+yOUINONce programme a une solutionx=y= max x;y2R+px+yxyOUINONce programme a une solutionx=y= max x;y2R+px+pyxyOUINONce programme a une solutionx=y= max x;y2R+1ln(1 +x+y)OUINONce programme a une solutionx=y= max x;y2R+x+y(px+py)2OUINONce programme a une solutionx=y= max x;y2R1ex+yOUINONXce programme n"a pas de solutionx=y= max x;y2R+px+yxyOUIXNONce programme a une solutionx= 0y= 1=4 max x;y2R+px+pyxyOUIXNONce programme a une solutionx= 1=4y= 1=4 max x;y2R+1ln(1 +x+y)OUINONXce programme a une solutionx=y= max x;y2R+x+y(px+py)2OUIXNONce programme a une solutionx= 0y= 0 Le premier programme diverge. En effet pourf= 1ex+yOn a : f x=ex+y<0 f y=ex+y<0 la fonction est décroissante, la valeur maximale est obtenue quandx+y! 1 Le second programme a des solutions. En effetf=px+yxypeut s"écriref=h(x+y)avec h(X) =pXX. Est-ce que cette fonctionhde une seule variable a un maximum? On calcule les deux dérivées h

0= 1=(2pX)1

h

00=1=(4XpX

La fonctionhest concave, admet un maximum quandh0= 0soit quandpX= 1=2etX= 1=4. Donc, il

y a plusieurs manières d"arriver au maximum, même une infinité, mais ce programme a une solution.

Considéronsf=px+pyxy.

f x= 1=2px1 f y= 1=2py1 f xx=14 (x)3=2 f yy=14 (y)3=2 f xy= 0 D=14 (x)3=214 (y)3=2>0 donc la fonction est concave. Elle admet un maximum global quand FOC : px= 1=2etx= 1=4et py= 1=2ety= 1=4Considéronsf= 1ln(1 +x+y). Ce programme diverge, car on peut avoir le log aussi proche de1que l"on veut, avec1 +x+y!0.

Considéronsf=x+y(px+py)2

f x= 12(px+py)1=(2px) =py= px f y=px= py La fonction est décroissante en fonction dexet dey. Elle n"est définie que surx0ety0. Le maximum est obtenu enx= 0et eny= 0.

5 Analyser un programme à partir d"un autre programme

On suppose que(xA;yA)est la solution unique demaxx;y2RA(x;y)et que, (xB;yB)est la solution unique demaxx;y2RB(x;y).

1) Démontrer que le programmemaxx;y2RA(x;y) +B(x;y)a une solution

Le fait quemaxx;y2RA(x;y)ait une solution prouve que la fonctionAest bornée supérieurement.

pareillement, la fonctionB(x;y)est bornée supérieurement. Donc, siAetBsont définies sur un fermé,

il existe un point pour lequleA+Batteint sa limite. Ce pourraît être dans les extrêmes cependant.

On doit pourvoir montrer des contrexemples.

2) Démontrer que la solution du programmemaxx;y2RA(x;y)+B(x;y)est compris dans[xm;xM][ym;yM], avec

x m= min(xA;xA)xM= max(xA;xA)ym= min(yA;yA)yM= max(yA;yA) La somme des fonctions est bornée entre la somme des minima et la somme des maxima

6 Montrer "à la main" qu"une fonction n"est pas concave

On supposera que la propriété(P)suivante caractérise pleinement une fonction concave :

8x;y;82[0;1] :f(x+ (1)y)f(x) + (1)f(y)(P)

Montrer qu"une fonction n"est pas concave consiste donc à trouverx;y;pour lesquels cette propriété est en défaut.

1) Représenter la propriété(P)quand la fonctionf(x)est réelle à valeurs réelle.xyx+

(1)yf(x) + (1)f(y)2) Montrer un exemple presque immédiat où cette propriété est en défaut pour les fonctions suivantes :

f(x) =x(x2) La fonctionf(x) =x(x2)est une parabole vers le haut. Prenons les deux pointsx= 0etx= 2,

pour lesquelles la fonction est nulle. Si la fonction était concave, la propriété(P)indiquerait que la

fonction doit être positive ou nulle entre 0 et 2. Orf(1) = 1 1 =1, une contradiction.

7 Approximation linéaire et quadratique d"une fonction d"une variable

On rappelle que lorsque l"on veut faire uneapproximation linéaired"une fonction, on écrit : f(x+")f(x) +f0(x)"ou de manière équivalentef(x+dx)f(x) +f0(x)dx Et si on veut plus de précision avec uneapproximation quadratique, on écrit : f(x+")f(x) +f0(x)"+12 f00(x)"2ou de manière équivalentef(x+dx)f(x) +f0(x)dx+12 f00(x)(dx)2

1) Trouver pour les fonctions suivantes l"approximation linéaire defautour de zéroFonction étudiéeau pointxf(0)f

0(0)Approximation linéaire deff(x) = 2x+ 1x= 0f(")f(x) =xa(a>1)x= 0(")af(x) = ln(1 +x)x= 0ln(1 +")f(x) =p1 +xx= 0p1 +"on a

Fonction étudiéeau pointxf(0)f

0(0)Approximation linéaire

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