[PDF] Contrôle Continu 1 26 oct. 2017 Sa fonction

View - Download Contrôle Continu 1

Previous PDF

Next PDF

Contrôle Continu 1

Jeudi 26 octobre 2017

Exercice : Pommes ou oranges ?

Mohamed consomme des pommes et des oranges. Sa fonction d"utilité définie de la manière suivante :

U(x1,x2) =αln(x1) + ln(x2)avecα≥0oùx1est la quantité de pommes, vendues au prixp1etx2est la quantité d"oranges, vendues au prixp2.

Mohamed a un revenuR.

1. Quelle est la con traintebudgétaire de Mohamed ? Est-elle saturée ? P ourquoi?

Sa contrainte budgétaire est saturée quelle que soit la valeur d"αcar Mohamed a une utilité strictement

croissante enx2et croissante (non décroissante) enx1.(1 point) 2.

Quelle est l"équation d"une courbe d"indifférence ? Est-elle convexe ? Représentez graphiquement le cas

oùα= 0(Vous pouvez utiliser comme utilité¯U= ln1). Commentez.

U=αln(x1) + ln(x2)

?¯U= ln(xα1x2) ?exp¯U=xα1x2 ?x2=exp¯Ux α1 Les courbes d"indifférence ont pour équation généralex2=e¯Ux

α1.(1 point)

Cette courbe d"indifférence est strictement convexe siα >0(vous pouvez calculer la dérivée seconde

pour vous en convaincre), et est une droite affine siα= 0(et est donc convexe).(1 point)

Dans le casα= 0, les courbes d"indifférences sont parallèles à l"axe des abscisses : l"utilité de Mohamed

ne dépend pas de la quantité de pommes consommées.(1 point)(0,0)x 2x 1x

2= exp¯Ux

2= exp1Figure 1: La courbe d"indifférence pour

¯U= 1etα= 0.(1 point)

3. Déterminer les fonctions de d emandede Mohamed p ourα >0. Commentez.

Programme de maximisation (on peut recourir à l"égalité car la contrainte est saturée)(1 point):

max x

1,x2U(x1,x2)s.c.p1x1+p2x2=R

1

On peut utiliser queTMS2→1=p1p

2, avecTMS2→1=∂U∂x

1∂U

∂x

2. On a :

∂U∂x

1=αx

1∂U∂x

2=1x 2 TMS

2→1=αx

11 x

2TMS2→1=αx2x

1 Donc

αx2x

1=p1p

2?αp2x2=p1x1

On peut réutiliser cette égalité dans la contrainte budgétaire : αp

2x2+p2x2=R?x?2=11 +αRp

2

On en déduit :

x ?1=α1 +αRp 1

(2 points)La demande en pomme et en oranges est strictement croissante avec le revenu réel dans le cas oùα >0.(1

point)4. Sans calculs, donnez les fonctions de demande pourα= 0.

Dans le cas oùα= 0, Mohamed ne retire aucune utilité de la consommation de pommes (visible dans la

fonction d"utilité). Il va donc consommer uniquement des oranges, au prixp2. On aura alorsx?2=Rp 2, et x?1= 0. Sa demande pour les pommes est nulle.(2 points) Alternativement, on peut utiliser le résultat de la question précédent en prenantα= 0. Exercice : Pommes ou oranges ? - Variante - (12 points)

Henri consomme des pommes et des oranges. Sa fonction d"utilité définie de la manière suivante :

U(x1,x2) = ln(x1) +αln(x2)avecα≥0

oùx1est la quantité de pommes, vendus au prixp1etx2est la quantité d"oranges, vendues au prixp2. Henri

a un revenuR. 1. Quelle est la con traintebudgétaire d"Henri ? Est-elle saturée ? P ourquoi?

Sa contrainte budgétaire est saturée quelle que soit la valeur d"αcar Henri a une utilité croissante (non

décroissant) enx2et strictement croissante enx1.(1 point) 2.

Quelle est l"équation d"une courbe d"indifférence ? Est-elle convexe ? Représentez graphiquement le cas

oùα= 0(Vous pouvez utiliser comme utilité¯U= ln1). Commentez.

U= ln(x1) +αln(x2)

?¯U= ln(x1xα2) ?exp¯U=x1xα2 ?x2=?exp¯Ux 1? 1α Les courbes d"indifférence ont pour équation généralex2=?exp¯Ux 1? 1α .(1 point)

Cette courbe d"indifférence est strictement convexe siα >0(vous pouvez calculer la dérivée seconde

pour vous en convaincre), et est une droite verticale siα= 0(et est donc convexe). Pour obtenir ce

dernier résultat, il est plus simple de repartir de l"utilité quandα= 0et de voir qu"alors on obtient

2 (0,0)x 2x 1x

1= exp¯Ux

1= exp1Figure 2: La courbe d"indifférence pour

¯U= 1etα= 0.(1 point)

l"équationx1= exp¯U.(1 point)Dans le casα= 0, les courbes d"indifférences sont parallèles à l"axe des ordonnées : l"utilité d"Henri ne

dépend pas de la quantité d"oranges consommées.(1 point) 3. Déterminer les fonctions de d emanded"Hen rip ourα >0. Commentez.

Programme de maximisation (on peut recourir à l"égalité car la contrainte est saturée)(1 point):

max x1,x2U(x1,x2)s.c.p1x1+p2x2=R

On peut utiliser queTMS2→1=p1p

2, avecTMS2→1=∂U∂x

1∂U

∂x

2. On a :

∂U∂x 1=1x

1∂U∂x

2=αx

2 TMS

2→1=1x

1α x

2TMS2→1=x2αx

1

Donc1α

x 2x 1=p1p

2?p2x2=αp1x1

On peut réutiliser cette égalité dans la contrainte budgétaire : p

1x1+αp1x1=R?x?1=11 +αRp

1

On en déduit :

x ?2=α1 +αRp 2 (2 points)

La demande en pomme et en oranges est strictement croissante avec le revenu réel dans le cas oùα >0.(1

point)4. Sans calculs, donnez les fonctions de demande pourα= 0.

Dans le cas oùα= 0, Henri ne retire aucune utilité de la consommation d"oranges (visible dans la fonction

d"utilité). Il va donc consommer uniquement des pommes, au prixp1. On aura alorsx?1=Rp

1, etx?2= 0. Sa

demande pour les oranges est nulle.(2 points) Alternativement, on peut utiliser le résultat de la question précédent en prenantα= 0. 3

Exercice : Aujourd"hui ou demain ?

Emmanuelle a une fonction d"utilité intertemporelle définie de la manière suivante :

U(c1,c2) =αc1+c2avecα≥0Oùc1sa consommation aujourd"hui etc2sa consommation demain. Le prix aujourd"hui estp1, le prix demain

estp2. 1. Emman uellea-t-elle une préf érencep ourle présen t? Dis cutezsuiv antles v aleursde α.

On calcule leTMS2→1=α.(1 point)

CeTMS2→1est constant, en particulier pourc1=c2. Siα >1,TMS2→1>1: Emmanuelle souhaite

consommer plus aujourd"hui que demain, elle a une préférence pour le présent. Au contraire, siα <1,

elle souhaite consommer plus demain qu"aujourd"hui, elle a une préférence pour le futur. Siα= 1, elle

souhaite consommer autant aujourd"hui et demain.(1 point) 2.

On noteile taux d"intérêt nominal dans cette économie,rle taux d"intérêt réel, etπle taux d"inflation.

Rappelez la relation entre ces trois taux. Quel est le lien entre le taux d"inflation et les prix ? Quelle

est l"interprétation économique de1 +r?

1 +r=1 +i1 +π

avec1 +π=p2p

1.(1 point)

1 +rest la quantité de bien de demain à laquelle il faut renoncer pour obtenir un bien aujourd"hui.(1

point) 3. Donnez la contrainte budgétaire intertemporelleréelled"Emmanuelle, sachant qu"elle a un revenu nominalR1aujourd"hui etR2demain. NotezBson épargne aujourd"hui (B >0si elle épargne,B <0 si elle emprunte). NotezWsa richesse intertemporelle réelle. Sa contrainte budgétaire aujourd"hui est(1 point pour chaque): p

1c1+B=R1

Et demain :

p

2c2=R2+ (1 +i)B

Après calculs, en utilisant ces deux contraintes budgétaires et les relations de la question 2, on obtient :

c1+11 +rc2=R1p

1+11 +rR

2p 2=W (2 points)

4.(2 points)

Représentez graphiquement sa contrainte budgétaire pourW= 1,p1= 2,p2= 1eti= 0. Représentez aussi sa courbe d"indifférence pourα= 1et une utilité de 1.

Avec les valeurs des paramètres données, l"équation de la courbe d"indifférence estc2= 1-c1.

Pour la contrainte budgétaire intertemporelle, il faut remarquer qu"aveci= 0, dans la question, on a

11+r= 1 +π=p2p

1=12 . On en déduit donc que : c 1+12 c2= 1?c2= 2-2c1 5.

Quelles vont être ses consommations aujourd"hui et demain ? (Supposezα >0) On aTMS2→1=α.

On compare ceTMS2→1avec1 +r(auquel il doit être égal à l"optimum). Ici les consommations

aujourd"hui et demain sont parfaitement substituables. On a trois possibilités : 4 (0,0)c 2c

1W = 1

U= 1Figure 3: La courbe d"indifférence pour¯U= 1etα= 1et la contrainte budgétaire intertemporelle pour

W= 1.(1 point)

1 +r > α: Emmanuelle va consommer uniquement demain, et ne consommera rien aujourd"hui. Le

taux d"intérêt est suffisamment élevé pour qu"elle préfère tout épargner plutôt que de consommer.

1 +r < α: Emmanuelle va consommer uniquement aujourd"hui, et ne consommera rien demain. Le

taux d"intérêt est suffisamment faible pour qu"elle préfère emprunter aujourd"hui tout le revenu qu"elle

aura demain.

1 +r=α: Emmanuelle est indifférente entre consommer aujourd"hui et demain. Elle peut emprunter

tout son revenu ou l"épargner en totalité, peu lui importe.(2 points)

5.(Bonus : 1 point)

Que se produit-il siα= 0? Siα= 0, on devrait fort logiquement être dans le cas

numéro 1 : Emmanuelle préfère consommer tout son revenu demain. Elle n"accorde aucune valeur à sa

consommation du jour.

Exercice : Aujourd"hui ou demain ? - Variante -

Emmanuelle a une fonction d"utilité intertemporelle définie de la manière suivante :

U(c1,c2) =c1+βc2avecβ≥0

Oùc1sa consommation aujourd"hui etc2sa consommation demain. Le prix aujourd"hui estp1, le prix demain

estp2. 1. Emman uellea-t-elle une préf érencep ourle présen t? Dis cutezsuiv antles v aleursde β.

On calcule leTMS2→1=1β

.(1 point) CeTMS2→1est constant, en particulier pourc1=c2. Siβ <1,TMS2→1>1: Emmanuelle souhaite

consommer plus aujourd"hui que demain, elle a une préférence pour le présent. Au contraire, siβ >1,

elle souhaite consommer plus demain qu"aujourd"hui, elle a une préférence pour le futur. Siβ= 1, elle

souhaite consommer autant aujourd"hui et demain.(1 point) 2.

On noteile taux d"intérêt nominal dans cette économie,rle taux d"intérêt réel, etπle taux d"inflation.

Rappelez la relation entre ces trois taux. Quel est le lien entre le taux d"inflation et les prix ? Quelle

est l"interprétation économique de1 +r?

1 +r=1 +i1 +π

5 avec1 +π=p2p

1.(1 point)1 +rest la quantité de bien de demain à laquelle il faut renoncer pour

obtenir un bien aujourd"hui.(1 point) 3. Donnez la contrainte budgétaire intertemporelleréelled"Emmanuelle, sachant qu"elle a un revenu nominalR1aujourd"hui etR2demain. NotezBson épargne aujourd"hui (B >0si elle épargne,B <0 si elle emprunte). NotezWsa richesse intertemporelle réelle. Sa contrainte budgétaire aujourd"hui est(1 point chaque):quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

[PDF] statistique a deux variable exercice corrigé bac pro

[PDF] comment calculer les coordonnées du point moyen g

[PDF] exercice corrigé statistique descriptive a deux variables

[PDF] statistique ? 2 variables bac pro

[PDF] statistique a deux variable calculatrice casio

[PDF] calculer la longueur d'un rectangle avec son aire

[PDF] calcul placo rail montant

[PDF] calcul plaque de platre plafond

[PDF] comment calculer le nombre de plaque de placo pour une maison

[PDF] calculer distance entre deux points google maps

[PDF] limites trigonométriques remarquables

[PDF] méthode pour calculer limites fonctions trigonométriques pdf

[PDF] limite fonction trigonométrique exercice corrigé pdf

[PDF] moins value long terme traitement fiscal

[PDF] 2074 i