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U-Bordeaux - Collège DSPEG - Licence 3 - Statistique Appliquée aux Problèmes Décisionnels - Automne 2017

TD 6 : Tests d"hypothèses

Exercice 1.(Généralités)

Une publicité affirme que la durée de vie d"une ampoule Lux est de20103heures en moyenne. Une association de

consommateurs souhaite tester cette hypotèse au seuil10%. 1.

Sur quel par amètrep ortele test ?

Le paramètre à tester est la durée de vie moyennede l"ensemble des ampoules Lux. 2. On note 0= 20103; quelle hypothèse l"association de consommateurs cherchera-t-elle à tester ? H

0:0contreH1: > 0.

3. En quoi cons isteune erreur d et ypeI dans ce con texte?

Commettre une erreur de type I, c"est affirmer à tort que la durée de vie moyenne d"une ampoule Lux est supérieure à

20103heures.

4. En quoi cons isteune erreur d et ypeI Idans ce con texte?

Commettre une erreur de type II, c"est affirmer à tort que la durée de vie moyenne d"une ampoule Lux est inférieure à

20103heures.

5. Commen tin terprète-t-onle seu ilde significativité : 10%? Il y a au plus10%de chances que l"association confirme la publicité, à tort. M. Li, un statisticien indépendant, décide de testerH0:=0contreH1:= 21103en s"appuyant sur une

statistique de décisionu. Figure 1 représente les éléments graphiques associés au test de M. Li.xy

|q|u obsdensité deusousH0densité deusousH1Figure 1:-6.Que représen tele réel q? qest la valeur critique du test. 7.

Caractérisez la zone de rejet.

La zone de rejet est constituée des réels supérieurs àq. 8.

Que rep ésentel"aire hac huréeen rouge ?

L"aire hachurée en rouge représente lap-valeur associée à la valeur observée de la statistique de test. 9.

Que représen tel"aire hac huréeen gris ?

L"aire hachurée en gris représente le risque de seconde espèce. 10.

Que représen tel"aire en bleu ?

L"aire en bleu représente le seuil de risque.

11.

Que représen tel"aire en p ointillés?

L"aire en pointillés représente la puissance du test 12. Dans la situation représen téepar Figure 1, doit-on r ejeterH0?

Deux manières de justifier queH0doit être rejetée : la valeur observée de la statistique de test est dans la zone de

rejet ; lap-valeur est inférieure au seuil de risque.

Exercice 2.(Test de comparaison d"une moyenne à une valeur de référence lorsque l"écart-type est connu.)

Vingt téléspectateurs choisis au hasard regardent la télévision six heures et quarante-cinq minutes par jour en moyenne ;

la variance des durées consacrées quotidiennement par les Français à la télévision est2= 4

M. Li souhaite tester :H0:=0= 6;25contreH1:=1= 6;50en s"appuyant sur la statistique de décision :

z=pn(x0)=oùxdésigne la durée moyenne passée devant la télévision parntéléspectateurs ; il propose de rejeterH0

au seuilsiz > z1.A. Lourme, Faculté d"économie, gestion & AES, Université de Bordeauxhttp://alexandrelourme.free.fr

1

1.Quelle est la loi de zsousH0? sousH1?

En supposant que la durée quotidienne passée devant la télévision par un téléspectateur choisi au hasard est distribuée

selon une loi normale, sousH0la statistiquezest distribuée selon une loi normale centrée réduite. En effet, sousH0:

- la duréexipassée devant la télévision par le téléspectateuriest distribuée selonN(0;2),

- en supposantx1;:::;xnindépendantes,Pn i=1xiest distribuée selonN(n0;n2) - ainsi :x=Pn i=1xi=nest distribuée selonN(0;2=n)etzselonN(0;1).

En supposantH1vraie on montre par un raisonnement similaire quezest distribuée selon une loi normale de moyennepn(10)=et de variance1.

2.

Doit-on rejeter H0au seuil5%?

- Statistique de Test (SdT) :z=pn(x0)==p20(6;756;25)=21;12 - Zone de Rejet (ZdR) à5%:z > z10;05=z0;95= 1;64 - Décision : on ne rejette pasH0au seuil de5%. 3. Déterminez et in terprétezla v aleurdu risque de seconde esp èce. =P(H0jH1) =P(z1;64jH1) =P(N(m;1)1;64)oùm=pn(10)==p20(6;506;25)=2 = 0;56. Ainsi,

0;86: M. Li a86%de chances de ne pas rejeterH0alors qu"il le devrait.

4. Déterminez et in terprétezla puissance du test. =P(H1jH1) = 10;14: M. Li a14%de chances de rejeterH0à juste titre.

Exercice 3.(Test unilatéral/bilatéral de comparaison d"une moyenne à une valeur de référence lorsque la variance de la

population est connue)

La taille moyenne d"un échantillon de dix Suisses vaut176cm et la variance des tailles dans la population helvétique est

100cm2.

1. (a) Do it-onrejeter au seuil 5%que la taille moyenne des Suisses est égale à170cm ? -H0:= 170contreH1:6= 170 - Statistique de Test (SdT) :z=pn(x0)==p10(176170)=101;9 - Zone de Rejet (ZdR) à5%:jzj> z10;05=2=z0;975= 1;96 - Décision : on ne rejette pasH0au seuil de5%. (b) Déterminez e tin terprétezla p-valeur du test. p

val= 2P(N(0;1)>1;9)0;057: l"hypothèseH0est rejetée si et seulement si le seuil de significativité est

supérieur à5;7%. 2. (a ) Doit-on rejeter au seuil 5%que la taille moyenne des Suisses est inférieure à170cm ? -H0:170contreH1: >170 - Statistique de Test (SdT) :z=pn(x0)==p10(176170)=101;9 - Zone de Rejet (ZdR) à5%:z > z10;05=z0;95= 1;64 - Décision : on rejetteH0au seuil de5%. (b) Déterminez e tin terprétezla p-valeur du test. p

val=P(N(0;1)>1;9)0;029: l"hypothèseH0est rejetée si et seulement si le seuil de significativité est

supérieur à2;9%.

Exercice 4.(Test bilatéral/unilatéral de comparaison d"une moyenne à une valeur de référence lorsque la variance de la

population est inconnue.)

Seize Français interrogés au hasard disent épargner :100,200,250,500,300,250,200,150,300,250,150,150,100,100,

150et200euros par mois.

1. (a)

Au seuil 5%, doit-on rejeter l"hypothèse : les Français épargnent160euros par mois en moyenne ?

-H0:= 160contreH1:6= 160 - Statistique de Test (SdT) :t=pn(x0)=s0=p16(209;375160)=102;0111;94 - Zone de Rejet (ZdR) à5%:jtj> t15;10;05=2=t15;0;975= 2;13 - Décision : on ne rejette pasH0au seuil de5%. 2 (b)Déterminez e tin terprétezla p-valeur du test. p

val= 2(1P(T151;94))0;072: l"hypothèseH0est rejetée si et seulement si le seuil de significativité est

supérieur à7;2%. 2. (a )

A useuil 5%, doit-on rejeter l"hypothèse : les Français épargnent au plus160euros par mois en moyenne ?

-H0:160contreH1: >160 - Statistique de Test (SdT) :t=pn(x0)=s0=p16(209;375160)=102;0111;94 - Zone de Rejet (ZdR) à5%:t > t15;10;05=t15;0;95= 1;75 - Décision : on rejetteH0au seuil de5%. (b) Déterminez e tin terprétezla p-valeur du test. p

val= (1P(T151;94))0;036: l"hypothèseH0est rejetée si et seulement si le seuil de significativité est

supérieur à3;6%.

Exercice 5.(Test bilatéral/unilatéral de comparaison d"une proportion à une valeur de référence.)

60%des usagers de la SNCF sont satisfaits, selon une enquête récente. Or, on observe treize usagers satisfaits parmi

trente voyageurs interrogés au hasard. 1. (a) Au seuil 5%, doit-on rejeter le résultat de l"enquête ? -H0:p=p0= 0;6contreH1:p6=p0= 0;6 - Statistique de Test (SdT) :z=pn(fp0)=pp

0(1p0) =p30(13=300;6)=p0;60;4 1;86

- Zone de Rejet (ZdR) à5%:jzj> z10;05=2=z0;975= 1;96 - Décision : on ne rejette pasH0au seuil de5%. (b) Déterminez e tin terprétezla p-valeur du test. p

val= 2(1P(N(0;1)1;86))0;063: l"hypothèseH0est rejetée si et seulement si le seuil de significativité

est supérieur à6;3%. 2. (a) Au seuil 5%, doit-on rejeter l"hypothèse : au moins60%des usagers de la SNCF sont satisfaits ? -H0:pp0= 0;6contreH1:p < p0= 0;6 - Statistique de Test (SdT) :z=pn(fp0)=pp

0(1p0) =p30(13=300;6)=p0;60;4 1;86

- Zone de Rejet (ZdR) à5%:z < z0;05=1;64 - Décision : on rejetteH0au seuil de5%. (b) Déterminez e tin terprétezla p-valeur du test. p

val=P(N(0;1) 1;86))0;031: l"hypothèseH0est rejetée si et seulement si le seuil de significativité est

supérieur à3;1%.

Exercice 6.(Test bilatéral/unilatéral de comparaison de deux moyennes lorsque les variances sont connues.)

Neuf placements de type A donnent des intérêts annuels de2%,0;3%,4;2%,6;3%,9;6%,4;3%,10;2%,11%,12;4%.

Onze placements de type B donnent des intérêts de4;3%,6;3%,8%,11;3%,12;3%,8%,2;6%,14;7%,5;7%,13;1%,16%.

L"écart-type des intérêts annuels est de4;5%pour le placement de type A et de4%pour le placement de type B.

1. (a)

Au seuil 5%, doit-on rejeter l"hypothèse : l"intérêt moyen est le même pour les deux types de placements ?

-H0:A=BcontreH1:A6=B - Statistique de Test (SdT) :z= (xAxB)=p

2A=nA+2B=nB= (6;79;3)=p4;52=9 + 42=11 1;35

- Zone de Rejet (ZdR) à5%:jzj> z10;05=2=z0;975= 1;96 - Décision : on ne rejette pasH0au seuil de5%. (b) Déterminez e tin terprétezla p-valeur du test. p

val= 2(1P(N(0;1)1;35))0;177: l"hypothèseH0est rejetée si et seulement si le seuil de significativité

est supérieur à17;7%. 2. (a)

Au seuil 10%, doit-on rejeter l"hypothèse : les placements A sont plus rentables que les placements B ?

-H0:ABcontreH1:A< B - Statistique de Test (SdT) :z= (xAxB)=p

2A=nA+2B=nB= (6;79;3)=p4;52=9 + 42=11 1;35

- Zone de Rejet (ZdR) à10%:z < z0;10=1;28 - Décision : on rejetteH0au seuil de10%. (b) Déterminez e tin terprétezla p-valeur du test. p

val=P(N(0;1) 1;35)0;089: l"hypothèseH0est rejetée si et seulement si le seuil de significativité est

supérieur à8;9%. 3

Exercice 7.(Test bilatéral de comparaison de deux moyennes lorsque les écarts-types sont (i) inconnus ou (ii) inconnus

mais égaux.)

On observe une durée de vie moyenne de22;4103heures (resp.23;6103heures) parmi quarante disques durs de

type A (resp. parmi trente disques de type B) avec un écart-type corrigé de2;8103heures (resp.3;1103heures).

La durée de vie moyenne est-elle différente pour les disques durs de types A et B ? Vous répondrez par un test bilatéral

au niveau10%en considérant successivement (i) que les écarts-types des durées de vie des disques A et B sont inconnus puis

(ii) que ces écarts-types sont inconnus mais égaux. (i) - H0:A=BcontreH1:A6=B - Statistique de Test (SdT) :z= (xAxB)=ps

02A=nA+s02B=nB= (22;410323;6103)=p2;82106=40 + 3;12106=30

1;67 - Zone de Rejet (ZdR) à10%:jzj> z10;10=2=z0;95= 1;64

- Décision : la valeur observée de la statistique de test est trop proche de la valeur critique associée au seuil de10%

pour que l"on décide de rejeter ou nonH0. (ii) - H0:A=BcontreH1:A6=B - Statistique de Test (SdT) :t= (xAxB)=p(1=nA+ 1=nB)[(nA1)s02A+ (nB1)s02B]=(nA+nB2) = (22;4 10

323;6103)=p(1=40 + 1=30)[392;82106+ 293;12106]=(40 + 302) 1;69

- Zone de Rejet (ZdR) au seuil10%:jtj> t68;10;10=2=t68;0;95= 1;67

- Décision : la valeur observée de la statistique de test est trop proche de la valeur critique associée au seuil de10%

pour que l"on décide de rejeter ou nonH0.

Exercice 8.(Test unilatéral de comparaison de deux moyennes lorsque les variances sont inconnues.)

Voici la moyenne et l"écart-type (corrigé) des rendements de deux échantillons de parcelles de riz situées en Casamance

et traitées avec ou sans engrais. nbre de parcelles engrais moyenne (q/ha) écart-type (q/ha)31 oui 88,3 15,7

31 non 79,2 10,8En supposant que la variance des rendements est la même avec et sans engrais, doit-on rejeter au seuil de significativité

de5%l"hypothèse : les engrais sont sans effets sur le rendement moyen des parcelles de riz de Casamance ? Quelle est la

p-valeur du test ? -H0:ABcontreH1:A> B - Statistique de Test (SdT) :t= (xAxB)=p(1=nA+ 1=nB)[(nA1)s02A+ (nB1)s02B]=(nA+nB2) = (88;3

79;2)=p(1=31 + 1=31)[3015;72+ 3010;82]=(31 + 312)2;66

- Zone de Rejet (ZdR) au seuil5%:t > t60;10:05=t60;0:95= 1;67 - Décision : au seuil de5%on rejetteH0.

-p-valeur :pval=P(T60>2;66)0;005: l"hypothèseH0est rejetée si et seulement si le seuil de significativité est

supérieur à0;5%.4quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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