[PDF] L2 - Psychologie 2019-2020 - Trois exercices sur les tests

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L2 - Psychologie 2019-2020 - Trois exercices sur les tests paramétriques de comparaison

Novembre 2019

Cette feuille d"exercices comporte en vérité quatre type d"exercices: comparaison de proportions, comparaison d"écart-

types, comparaison de moyennes pour des échantillons indépendants, et comparaison de moyennes de petits échantillons

appariés. L"exercice 2 est un exercice de comparaison de moyennes précédé d"un exercice de comparaison d"écart-types.

Exercice 1(comparaison de proportions. Fracures françaises, IPSOS 2019).Lors d"une enquête, menée en2014sur

450 français,382estimaient que la France était en déclin. A la même question posée en août2019à 390 personnes, 285

estimaient que le France était en déclin.

Peut-on en conclure, à l"aide d"un test d"hypothèse avec un niveau d"erreur de5%, que la proportion de "déclinistes"

français a baissé entre2014et aujourd"hui?

Exercice 2(comparaison de moyennes, grands échantillons indépendants).On fait passer un test psychométrique à deux

groupes de volontaires, appelés Groupe A et Groupe B, représentant respectivement les populationsAetB. Les résultats

sont les suivants:Résultats[55;57[[57;59[[59;61[[61;63[[63;65]Effectifs Groupe A9107712

Effectifs Groupe B2091048

1.

En supp osantl anormalité des v ariablesaléatoires qui représen tentles s coresdes deux p opulations,à l"aide d"un test

paramétrique au niveau5%, comparer les écarts-type des scores des deux populationsAetB. 2.

Au vu des résultats des de uxéc hantillons,au niv eau= 5%, peut-on considérer que le score moyen de la population

Best inférieur au score moyen de la populationA?

Exercice 3(petits échantillons appariés).Un groupe de 10 sujets entreprend sur une période de six mois un programme

d"enrichissement cognitif destiné à améliorer leurs processus de traitement de l"information. Pour évaluer l"effet du pro-

gramme, on fait passer aux sujets deux tests de niveaux comparables l"un avant, l"autre après la période d"apprentissage,

dont voici les scores:Scores AVANT5289532

Scores APRÈS62910613

D

A l"aide d"un test paramétrique de comparaison, décider au niveau= 5%si les sujets ont en moyenne amélioré leur

processus de traitement de l"information après le programme d"enrichissement cognitif. 1

Corrigé de l"Exercice 1.Lors d"une enquête, menée en2014sur 450 français,382estimaient que la France était en

déclin. A la même question posée en août2019à 390 personnes, 285 estimaient que le France était en déclin.

Peut-on en conclure, à l"aide d"un test d"hypothèse avec un niveau d"erreur de5%, que la proportion de "déclinistes"

français a baissé entre2014et aujourd"hui?

On procède à un testorientéde comparaison des proportions. On désigne parpAla proportion de "déclinistes" français

en2014, et parpBla proportion de déclinistes français en2019.Hypothèses.H0:pA=pB.H1:pA> pB.Statistiquesdutest. Les effectifs sontnA= 450etnB= 390. Ils sont supérieurs à30, donc on travaille avec de grands

échantillons. Les proportions expérimentales sontpeA=382450 = 0:849etpeB=285390 = 0:731. On en déduit les nombres: p

0=nApeA+nBpeBn

A+nB= 0:794; q0= 1p0= 0:206ets0=sp

0q01n A+1n B = 0:0279:

Sous l"hypothèse nulle, la différencePn;APn;Bdes proportions aléatoires des déclinistes français de 2014 et 2019 vérifie:

P n;APn;B,! N(0;s0);doncPn;APn;B,! N(0;0:0279):RégioncritiqueK auniveau= 0:05. On détermine, avec la fonction invNorm de la calculatrice, le nombreptel que

P[Pn;APn;Bp] = 0:05. En effet, l"hypothèseH1, qui dit que le nombre de déclinistes à baissé, sera validée lorsque

P

n;Aest beaucoup plus grand quePn;B, c"est-à-dire lorsquePn;APn;Best "très positif". On trouvep= 0:046. Donc

K

=fPn;APn;B0:046g.Décisiondutestauniveau= 0:05. La valeur expérimentale estpeApeB= 0:8490:731 = 0:118. Elle appartient à

K

, donc, au niveau d"erreur= 5%, on accepte l"hypothèseH1: les français sont moins déclinistes aujourd"hui qu"ils ne

l"étaient en2014.

Corrigé de l"Exercice 2.On fait passer un test psychométrique à deux groupes de volontaires, appelés Groupe A et

Groupe B, représentant respectivement les populationsAetB. Les résultats sont les suivants:Résultats[55;57[[57;59[[59;61[[61;63[[63;65]Effectifs Groupe A9107712

Effectifs Groupe B2091048

1.

En supp osantl anormalité des v ariablesaléatoires qui représen tentles s coresdes deux p opulations,à l"aide d"un test

paramétrique au niveau5%, comparer les écarts-type des scores des deux populationsAetB.On pro cèdeà un test

paramétriquebilatéralde comparaison des écarts-type. On désigne parAetBles écarts-type des scores des deux

populationsAetB.Hypothèses.H0:A=B,H1:A6=B. On procède donc un test bilatéral de comparaison des écarts-types.Statistiquedutest. A l"aide de la calculatrice, on calcule les écarts-type corrigés des scores des deux échantillons:

bseA= 3:027;bseB= 2:946:

On voit quebseA>bseB(c"est donc la variance aléatoire corrigée de la populationAqu"on met au numérateur de la

variable aléatoireF). Ainsi, sous l"hypothèse nulle, le quotientFdes deux variances aléatoires corrigéesbVA;nA=bS2A;n

A etbVB;nB=bS2B;n

Bvérifie:

F=bS2A;n

Ab S2B;n

B,!FS(nA1;nB1) = FS(44;50):RégioncritiqueK

auniveau= 0:05. Dans la table de la Loi de Fisher-Snedecor avec= 0:025(car on fait un

testbilatéral), on voit sur cette table quefest compris entre1:77et1:78. On aK+=fFfg(la notationK+signifie qu"on ne décrit ici qu"une seule des deux parties de la région critiqueK, la partie supérieure).Décisiondutestauniveau= 0:05. La valeur expérimentale estfe=(bseA)2(bseB)2=3:02722:9462= 1:055est inférieure àf,

doncfe62K. Au niveau= 5%, on conserve l"hypothèseH0:A=B. 2.

Au vu des résultats des de uxéc hantillons,au niv eau= 5%, peut-on considérer que le score moyen de la population

Best inférieur au score moyen de la populationA?On pro cèdeà un test orientéde comparaison des moyennes,

dans le cas de grands échantillons indépendants et d"écart-types égaux (en effet, le résultat de la question précédente

permet de supposeA=B).Hypothèses. On désigne parAetBles moyennes des scores des deux populationsAetB:

H

0:A=B; H1:B< A:

2

Statistiquedutest. Les tailles des échantillons sontnA= 45>30etnB= 51>30. Il s"agit donc de deuxgrands

échantillons indépendants. Suivant le formulaire, on calcule le nombre s=sn

A(seA)2+nB(seB)2n

A+nB2=r452:9932+ 512:917245 + 512= 2:984

et le nombre sr1 n A+1n

B= 2:984r1

45
+151
= 0:610: Les moyennes aléatoiresMnAetMnBdes scores des deux populations vérifient: M nAMnB,! N 0;sr1 n A+1n B =N(0;0:610): Remarque. Dans le formulaire, on dit que la variableZ=MnAMnBs q1 n A+1n

B,! N(0;1). Cela revient exactement au

même, on peut donc choisir l"une ou l"autre des deux formulations.RégioncritiqueK auniveau= 0:05. La région critiqueKestunilatérale(puisque le test est orienté), et contient

les "grandes" valeurs deMnAMnB(puisque, siH1est vérifiée, les valeurs deMnAsont plus grandes que celles de

M nB). Elle est donc de la formeK=fMnAMnBmg, avecP[K] = 0:05. On trouve, à l"aide de la fonction InvN ou FracNormale de la calculatrice,m= 1:004. Donc K

=fMnAMnB1:004g:Décisiondutestauniveau= 0:05. La valeur expérimentale estmeAmeB= 1:2711:004. Elle appartient donc

àK: au niveau d"erreur5%, on accepte donc l"hypothèseH1qui dit que le score moyen de la populationBest

significativement inférieur au score moyen de la populationA.

Correction de l"Exercice 3.Un groupe de 10 sujets entreprend sur une période de six mois un programme d"enrichissement

cognitif destiné à améliorer leurs processus de traitement de l"information. Pour évaluer l"effet du programme, on fait

passer aux sujets deux tests de niveaux comparables l"un avant, l"autre après la période d"apprentissage, dont voici les

scores:Scores AVANT5289532

Scores APRÈS62910613

D-10-1-1-12-1

A l"aide d"un test paramétrique de comparaison, décider au niveau= 5%si les sujets ont en moyenne amélioré leur

processus de traitement de l"information après le programme d"enrichissement cognitif.

On procède à un testorientéde comparaison des moyennes pour deux petits échantillons appariés. C"est typiquement le

cas d"unmêmeéchantillon, observéavantetaprèsune expérience particulière (ici, le progamme d"enrichissement collectif).Hypothèses. Formulées "en français", les hypothèses du test sont:

H

0: le programme d"enrichissement cognitif ne change rien aux capacités de traitement de l"information.

H

1: le programme d"enrichissement cognifif améliore les capacités de traitement de l"information.

On désigne parXles scores de la population avant le programme d"enrichissement collectif et parYles scores de la

population après le programme. On désigne parXla moyenne des scores de la population avant le programme et par

Yla moyenne des scores de la population aprè s le programme. Alors: H

0:X=Y; H1:X< Y:Statistiquesdutest. On est en train de procéder à un test de comparaison des moyennes de deux petits échantillons

(n= 7<30). On poseD=XYet on désigne parMn(D)la moyenne aléatoire de la variableD, et parSn(D) l"écart-type aléatoire deD, avecn= 7. Sous l"hypothèse nulle, on a, d"après le formulaire:

T=Mn(D)s

n(D)=pn1,!St(n1); 3 c"est à dire

T=Mn(D)s

n(D)=p6 ,!St(6):RégioncritiqueK auniveau= 0:05. Il s"agit dune région critiqueunilatérale, faite des valeurs négatives deT

(puisque, sous l"hypothèseH1, la moyenne deXest inférieure à la moyenne deY). Puisque la table de la loi de Student

ne donne que des valeurs positives, on trouve à la ligne6, la valeur1:9432. Comme nous travaillons avec des valeurs

négatives, nous obtenonst=1:9432etK=fT 1:9432g.Décisiondutest. Pour déterminer la valeur expérimentale, on calcule la moyennemeet l"écart-typesedeDsur

l"échantillon. On trouveme=0:429etse= 1:050. La valeur expérimentale est le nombre t e=mes e=pn1=0:4291:050p6 =1:001:

Ce nombre est supérieur àt=1:9432, doncte62K. On déduit que, au niveau d"erreur= 5%, on conserve l"hypothèse

H

0: le programme d"enrichissement cognitif n"a significativement pas d"efficacité.

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