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Chapitre 1 : Calcul des variations

Pierre Pansu

12 juillet 2005

On pr´esente les ´equations d"Euler-Lagrange caract´erisant les extr´emales des pro- bl`emes variationnels lagrangiens, puis un th´eor`eme d"E. Noether fournissant pour chaque sym´etrie infinit´esimale du lagrangien une int´egrale premi`ere des ´equations. Ensuite, on relie les ´equations d"Euler-Lagrange aux ´equations de Hamilton. Ce nouveau point de vue ´eclaire le th´eor`eme de Noether et ouvre la voie `a une m´ethode, dite d"Hamilton-Jacobi, pour trouver des int´egrales premi`eres qui ne sont pas n´ecessairement li´ees `a des sym´etries. Si le point de vue lagrangien est proche des probl`emes de contrˆole optimal, le point de vue hamiltonien, qui est celui qui se prˆete le mieux `a la quantification, a la faveur des physiciens. Dans ce chapitre, suivant une tradition pluricentenaire, on notera typiquementq un point de l"espace,qun vecteur.

1 Equations d"Euler-Lagrange

Avant de donner la d´efinition g´en´erale d"un probl`eme variationnel lagrangien, on d´ecrit deux exemples, la recherche des plus courts chemins sur une surface, et le principe de Fermat en optique g´eom´etrique. Une fois obtenues les ´equations qui caract´erisent les extr´emales, on reconnaitra la nature variationnelle des ´equations de la dynamique pour une particule dans un champ de potentiel (principe de moindre action de Hamilton).

1.1 M´etriques riemanniennes

D´efinition 1.1SoitUun ouvert deRn. Unem´etrique riemannienne(Riemannian metric)surUest la donn´ee d"une application lissegdeUdans l"espace vecto- riel des formes quadratiques surRn, telle que, pour toutq?U,gqsoit d´efinie positive. Etant donn´ees des coordonn´eesq= (q1,...,qn)surRn, on peut ´ecrire g q=?n i,j=1gij(q)dqidqj. Sit?→q(t),[a,b]→U, est une courbe lisse dansU, salongueur(length)est

Long(c) =?

b a?g q(t)(q(t))dt. 1

Exercice 1L"application

]-π2 ,π2 [×]-π,π[→R3,(θ,φ)?→X(θ,φ) =( (cos(θ)cos(φ) cos(θ)sin(φ) sin(θ)) est une param´etrisation d"un ouvert de la sph`ere unit´e deR3. Etant donn´ee une courbe lisset?→q(t) = (θ(t),φ(t))?U=]-π2 ,π2 [×]-π,π[, v´erifier que la longueur de son imageX◦cdansR3est ´egale `a la longueur decrelative `a la m´etrique riemanniennedθ2+ (cosθ)2dφ2surU. Exercice 2Soits?→(r(s),0,z(s))une courbe trac´ee dans un plan vertical, para-

m´etr´ee par son abscisse curviligne. Param´etrer la surface de r´evolution engendr´ee

par la rotation de cette courbe, baptis´eem´eridienne, autour de l"axeOz. Calculer la m´etrique induite dans cette param´etrisation.

1.2 Optique g´eom´etrique

La vitesse `a laquelle la lumi`ere voyage dans un milieu transparent n"est pas constante en g´en´eral : elle d´epend du point o`u on se trouve, et parfois aussi de la direction (milieux anisotropes). L"indicedu milieu en un pointq(et dans une direction q) est le quotient de la vitesse de la lumi`ere dans le vide par la vitesse de la lumi`ere dans le milieu,n(q,q) =c/v≥1. LePrincipe de Fermat´enonce que le trajet suivi par un rayon lumineux qui passe par deux pointsQ1etQ2minimise le temps de parcours parmi tous les trajets possibles. Le long d"un chemint?→q(t), la vitesse vautv=?q(t)?. Par cons´equent, le temps de parcours vaut dt=?1v ?q(t)?dt=?1c n(q(t),q(t))?q(t)?dt. Si le mat´eriau est isotrope (nne d´epend pas de la direction), cette int´egrale (ap- pel´ee parfoischemin optique) s"interpr`ete comme la longueur relative `a la m´etrique riemanniennen2ds2,conforme`a la m´etrique euclidienne. Si le mat´eriau est aniso- trope (c"est le cas de certains cristaux), on se trouve en pr´esence d"un probl`eme plus g´en´eral, qui motive la d´efinition suivante. Exercice 3On mod´elise un bloc de verre par un demi-espace optiquement homog`ene et isotrope, i.e. d"indice constantn >1, le complementaire ´etant vide. On consid`ere un rayon lumineux qui entre dans le verre. On noteil"angle d"incidence (angle du rayon avec la normale `a l"interface dans le vide) etrl"angle de r´efraction (angle du rayon avec la normale dans le verre). Etablir la loi de Snellsin(i) =nsin(r).

1.3 Probl`emes variationnels lagrangiens

D´efinition 1.2SoitUun ouvert deRn. Unlagrangien(Lagrangian)surUest la donn´ee d"une fonction lisseL:U×Rn×[a,b]→R. Leprobl`eme variationnel associ´e 2 (variational problem)consiste `a chercher, ´etant donn´es deux pointsQ1etQ2 deU, les courbesc: [a,b]→Utrac´ees dansU, telles quec(a) =Q1etc(b) =Q2, qui minimisent la fonctionnelle

Φ(c) =?

b a

L(c(t),c(t),t)dt.

Exemple 1.3La recherche des plus courts chemins riemanniens est le probl`eme variationnel associ´e au lagrangienL(q,q,t) =?g q(q). Ce lagrangien poss`ede les propri´et´es particuli`eres suivantes.

1. il est ind´ependant du temps;

2. il est homog`ene de degr´e 1;

3. il est convexe.

La propri´et´e 1 rend le probl`eme variationnel ind´ependant de l"intervalle [a,b]. 2 le rend invariant par les reparam´etrisations de l"intervalle. Exercice 4On s"int´eresse au mouvement d"une bille glissant sans frottement dans une goutti`ere situ´ee dans un plan vertical, en partant d"un pointPavec vitesse nulle et passant par un pointQ. Suivant Bernoulli (1696), on cherche, parmi tous les profils de goutti`ere reliantP`aQ, celui qui rend minimal le temps que la bille met `a rejoindreQdepuisP. Montrer qu"il s"agit d"un probl`eme variationnel lagran- gien, ´equivalent `a la recherche des g´eod´esiques d"une m´etrique riemannienne dans un demi-plan. Lemme 1.4La fonctionnelleΦest diff´erentiable, sa diff´erentielle est donn´ee par la formule suivante. Soits?→csune famille lisse de courbes telle quec0=cet dds cs|s=0=h. Alors dds

Φ(cs)|s=0=?

b a? ∂L∂q (c(t),c(t),t)-ddt (∂L∂q(c(t),c(t),t))? (h(t))dt

Preuve.On d´erive sous le signe somme,

dds

Φ(cs)|s=0=?

b a? ∂L∂q (c(t),c(t),t)(h(t)) +∂L∂q(c(t),c(t),t)(h(t))? dt puis on int`egre par parties b a∂L∂q(c(t),c(t),t)(h(t))dt= [∂L∂q(c(t),c(t),t)(h(t))]ba b addt (∂L∂q(c(t),c(t),t))(h(t))dt.3

1.4 Equations d"Euler-Lagrange

D´efinition 1.5Uneextr´emale(extremal curve)d"un probl`eme variationnel la- grangien est une courbe qui annule la diff´erentielle deΦrestreinte aux courbes d"extr´emit´es fix´ees. Th´eor`eme 1La courbecest une extr´emale du probl`eme variationnel associ´e au lagrangienLsi et seulement si pour toutt?[a,b], la forme lin´eaire surRn ∂L∂q (q(t),q(t),t)-ddt (∂L∂q(q(t),q(t),t)) = 0. Ce syst`eme den´equations diff´erentielles du second ordre s"appelleles ´equations d"Euler-Lagrange(Euler-Lagrange equations)du probl`eme variationnel. Preuve.Pour toute fonction lissehsur [a,b] `a valeurs dansRnqui s"annule aux extr´emit´es, on construit une famillecs(t) =q(t) +sh(t) de courbes d"extr´emit´es fix´ees donthest la d´eriv´ee. Alors dds

Φ(qs)|s=0=?

b a

J(t)(h(t))dt,

o`uJ(t) est la forme lin´eaire surRndonn´ee par

J(t) =∂L∂q

(q(t),q(t),t)-ddt (∂L∂q(q(t),q(t),t)). cest extr´emale si et seulement si?b aJ(t)(h(t))dtpour toute fonction lissehsur [a,b] qui s"annule aux extr´emit´es. Le lemme suivant entraˆıne quecest extr´emale si et

seulement siJ≡0.Lemme 1.6SoitJune forme lin´eaire surRnd´ependant diff´erentiablement det?

[a,b]. On suppose que pour toute fonction lissehsur[a,b]`a valeurs dansRn, nulle au voisinage des extr´emit´es,?b aJ(t)(h(t))dt= 0. AlorsJ≡0. Preuve.Supposons par l"absurde qu"il existeˆt?]a,b[ tel queJ(ˆt)?= 0. SoitH(t) = J(t)?le vecteur dual deJ(t). Soitχune fonction lisse, positive ou nulle, `a support dans un petit voisinage de ˆt. On poseh(t) =χ(t)H(t). Si le support deχest assez petit,?b aJ(t)(h(t))dt=?b aχ(t)?J(t)?2dt >0, contradiction.Exemple 1.7Plus courts chemins riemanniens.

Ici,L(q,q) =?g

q(q). Ce probl`eme variationnel ´etant invariant par reparam´etrisati- on, on peut se contenter de chercher les extr´emales param´etr´ees `a vitesse constante

1. Fixons des coordonn´ees. Alors

∂L

2∂qi(q,q) = 2?

kqkgki(q). 4

Il vient

∂L∂q(q(t),q(t))i= (gq(t)(q(t)))-1/2?? kqk(t)gki(q(t))? Comme on a suppos´e que la courbe est param´etr´ee `a vitesse constante 1,gq(t)(q(t))≡

1, d"o`u

ddt ∂L∂q(q(t),q(t))i? k¨qk(t)gki(q(t)) +? kqk(t)(? j∂g ki∂q j(q(t))qj(t)).

D"autre part,

∂L

2∂q

(q(t),q(t))i=∂L2∂q i(q(t),q(t)) =? j,k∂g jk∂q i(q(t))qj(t)qk(t), d"o`u ∂L∂q (q(t),q(t))i=12 j,k∂g jk∂q i(q(t))qj(t)qk(t). Par cons´equent, les ´equations d"Euler-Lagrange s"´ecrivent j,k(12 ∂g jk∂q i(q(t))-∂gki∂q j(q(t)))qj(t)qk(t)-? k¨qk(t)gki(q(t)) = 0, pouri= 1,...,nett?[a,b]. Remarque 1.8On appelleg´eod´esiquesd"une vari´et´e riemannienne les extr´emales du lagrangienL2(q,q) =gq(q)qui est la carr´e de la norme. Alors les g´eod´esiques co¨ıncident avec les extr´emales deLqui sont parcourues `a vitesse constante. Il reste `a v´erifier queL2(q,q) =gq(q) est constant le long d"une g´eod´esique, i.e. d"une extr´emale deL2. CommeL2est homog`ene de degr´e 2 par rapport `a q,

2L2(q,q) =∂L2∂q(q,q)q.

En d´erivant par rapport `at, et en utilisant les ´equation d"Euler-Lagrange pourL2, `a savoir ∂L2∂q (q,q) =ddt (∂L2∂q(q,q)), il vient ddt

2L2(q,q) =ddt

∂L2∂q (q,q)q+∂L2∂q(q,q)¨q ddt

L2(q,q),

donc ddt

L2(q,q) = 0.5

Exercice 5Ecrire l"´equation d"Euler-Lagrange du probl`eme de la brachistochrone (exercice 4), et la r´esoudre : on trouve (Newton 1697) des cyclo¨ıdes ayant une tan- gente verticale au point de d´epart. Exercice 6On cherche quelle forme d"´equilibre doit prendre une corde in´elastique

de densit´e constante, situ´ee dans un plan vertical, fix´ee `a ses extr´emit´es, soumise

`a la seule gravit´e. S"agit-il d"un probl`eme variationnel lagrangien? Ecrire les deux lagrangiens en jeu et leurs ´equations d"Euler-Lagrange. En admettant le th´eor`eme des extrema li´es, r´esoudre le probl`eme. A translation et dilatation pr`es, on trouve la courbe repr´esentative de la fonction cosinus hyperbolique (Bernoulli, 1691).

1.5 Principe de moindre action de Hamilton

Cherchant `a calquer la m´ecanique sur l"optique g´eom´etrique, Hamilton a observ´e que le mouvement d"un point mat´eriel dans un champ de potentiel est solution d"un probl`eme variationnel lagrangien. Proposition 1.9Consid´erons un point mat´eriel de massem´evoluant dans un champ de force d´erivant d"un potentiel V. Les ´equations de la dynamique newton- nienne ddt (mq(t)) =-?q(t)V qui le gouvernent co¨ıncident avec les ´equations d"Euler-Lagrange du lagrangienL=

T-Vo`uT(q,q) =12

mq2est l"´energie cin´etique etV=V(q)est l"´energie potentielle.

Preuve.Par d´efinition,∂T∂q

=∂V∂q= 0. On note q?la forme lin´eaire duale d"un vecteur q, de sorte quedV= (?V)?. Alors∂T∂q=mq?. Il vient ∂(T-V)∂q -ddt ∂(T-V)∂q(q(t),q(t))? =-dV-ddt (mq(t)?), donc les ´equations d"Euler-Lagrange sont ´equivalentes `a?q(t)V+ddt (mq(t)) = 0.1.6 Probl`emes variationnels lagrangiens sur les vari´et´es On peut parler de probl`emes lagrangiens sur les vari´et´es. SoitMune vari´et´e diff´erentiable. UnlagrangienLsurMest une fonction sur l"espace tangentTM. Le probl`eme variationnel correspondant consiste `a minimiser

l"int´egrale Φ =?L(q(t),q(t))dtparmi les courbes trac´ees surM, d"extr´emit´es fix´ees.

Exemple 1.10SoitL(q,q)un lagrangien surR3etM?R3une surface. Les ´equations d"Euler-Lagrange du probl`eme variationnel associ´e `a la restriction deL`a TMs"´ecrivent comme suit : pour toutt, la forme lin´eaire ∂L∂q (q(t),q(t))-ddt (∂L∂q(q(t),q(t)))s"annulle surTq(t)M. 6 En effet, siq: [a,b]→Mest une courbe trac´ee surM, toute applicationh: [a,b]→ R

3tel queh(t)?Tq(t)M(on appelle cela unchamp de vecteurs le long deq) est

la d´eriv´ee premi`ere d"une famille de courbes trac´ees surM. Une variante du lemme

1.6 donne alors que pour une extr´emale du probl`eme restreint, le champ de formes

lin´eairesJ(t) =∂L∂q -ddt (∂L∂q)) s"annule surTM. Inversement, si pour toutt,J(q(t)) est nulle surTq(t)M, la diff´erentielle de la fonctionnelle Φ restreinte aux courbes

trac´ees surM, d"extr´emit´es fix´ees, est nulle.Exercice 7Montrer qu"une courbe trac´ee sur une surface deR3est une g´eod´esique

si et seulement si son acc´el´eration est normale `a la surface. En d´eduire que les m´eridiens d"une surface de r´evolution (resp. d"un tube) sont des g´eod´esiques. Proposition 1.11(Principe de d"Alembert).SoitVun potentiel surR3etM?R3 une surface. Les ´equations de la dynamique pour un point mat´eriel astreint `a se d´eplacer surMd´erivent d"un probl`eme variationnel surM, c"est le probl`eme associ´e `a la restriction deL=12 mq2-V`aTM. Preuve.Pour obtenir les ´equations du mouvementt?→q(t), on ´ecrit le principe fondamental de la dynamique en ajoutant une force inconnue, normale `a la surface M, lar´eaction. Autrement dit, l"´equation s"´ecrit m¨q+?q(t)Vest normal `aTq(t)M.

Or, siL(q,q) =12

mq2-V(q),

J(t) =∂L∂q

-ddt (∂L∂q) =-(m¨q(t) +?q(t)V)?. Dire queJ(t) s"annulle surTq(t)M, c"est dire quem¨q+?q(t)Vest orthogonal `a T q(t)M.1.7 Mouvement du solide Un solide, ce sont des points reli´es par une contrainte : leurs distances mutuelles restent constantes. Autrement dit, le mouvement d"un solide dans un champ de forces, c"est le mouvement d"un point dans une sous-vari´et´e d"un espace produit. Le principe de d"Alembert indique que, lorsque le champ de forces d´erive d"un potentiel, les ´equations du mouvement du solide r´esultent encore d"un probl`eme variationnel. Un solide, c"est aussi un ensembleSde l"espace, muni d"une densit´e de mati`ere ρ, transport´e par des d´eplacementsD(t). L"ensemble des d´eplacements forme une vari´et´e de dimension 6, plong´ee dans l"ensemble des matrices 4×4. En effet, un d´eplacement est une tranformation affine dont la partie lin´eaire est une rotation, i.e. une matrice 4×4 de la formeD=?R v 0 1? o`uv?R3,R?R=Ietdet(R) = 1. On va ´ecrire le probl`eme variationnel dans cette seconde description. 7 Supposons d"abord le solide form´e d"un nombre fini de pointsqide massesmi.

Son ´energie cin´etique vautT=?12

miq2i, son ´energie potentielleU=?V(qi). Le mouvement est gouvern´e par le lagrangienT-U. Passons `a la limite continue. L"´energie cin´etique devientT=? S12 q2ρ(q)dqet l"´energie potentielleU=?

SV(q)dq. Chaque pointqdu solide au repos a pour

positionq(t) =D(t)qdans le solide en mouvement. Par cons´equent le mouvement est gouvern´e par le lagrangien

L(D,D) =?

S12 ?D(q)?2ρ(q)dq-? S

V(Dq)dq

restreint `a la sous-vari´et´e des d´eplacements.

1.8 La toupie

Il s"agit d"´etudier le mouvement d"un solide tournant autour d"un point fixe (sa pointe), soumis `a la seule gravit´e. Dans ce cas, on se limite aux d´eplacements fixant l"origine, i.e. aux rotations. C"est la sous-vari´et´e de dimension 3 de l"espace vectoriel des matrices 3×3 d´efinie par les ´equationsR?R=Ietdet(R) = 1. Le potentiel gravitationnel terrestre, en premi`ere approximation, est uniforme :V(qi) =migqzo`ugest la constante de gravitation et q= (qx,qy,qz). L"´energie potentielle du solide devientU=g?

Sqzρ(q)dq=mgGz

o`um=? Sρ(q)dqest la masse totale deSetGson centre de gravit´e. On obtient le lagrangien

L(R,R) =?

S12 ?R(q)?2ρ(q)dq-mgR(G)z.quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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