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14

Le calcul des variations

et ses applications 1

Ce chapitre est plus

classique que les autres. Il introduit au calcul des variations, un tr`es beau chapitre des math´ematiques, trop souvent m´econnu des math´ematiciens. Une connaissance du calcul `a plusieurs variables su ra, mais une connaissance ´el´ementaire des ´equations di

´erentielles sera un atout.

Le chapitre contient plus de mati`ere que ce qu'on peut traite r enun esemaine . Sil'on veut y consacrer une semaine, on commence par motiver le calcul des variations par des exemples de probl`emes se ramenant `a minimiser une fonctionnelle ( section 14.1). On montre ensuite comme ntd´eriv erl aconditi onn´ecessair ed'Euler-Lagran gee tl ecas particulier de l'identit´e de Beltrami ( section 14.2). On solutionne enn les questions formul´ees `a la section 14.1, dont le probl`eme classique de la brachistochrone (sec- tion 14.4 ). Pour traiter le rest e duchapitre ,i lfau tdispose rd'un edeuxi`em e oumˆeme d'une troisi`eme semaine. Cependant, le niveau math´ematique reste constant tout au long du chapitre (il n'y a pas de partie avanc´ee). Certaines sections poursuivent l'´etude des propri´et´es de la cyclo¨ de qui constitue la

solution au probl`eme de la brachistochrone : la propri´et´e tautochrone est pr´esent´ee `a la

section 14.6et le pendule isochrone de Huygens, `a lasection 14.7. Ces deux sections n'utilisent pas le calcul des variations, mai sdonne ntd esexempl es demod´elisation ayant suscit´e des espoirs d'applications technologiques. Toutes les autres sections abordent un nouveau probl`eme du calcul des variations : le tunnel le plus rapide ( section 14.5), les bulles de savon (section 14.8), des probl`emes isop´erim´etriques tels la chaˆ nette, l'arc tenant sous son propre poids ( section 14.10) et le t´elescope `a miroir liquide ( section 14.11). La section 14.9porte sur le principe de Hamilton, qui reformule la m´ecaniqu eclassique au moyen d'un principe variationnel. Moins technologique que les autres, cette section se veut un enrichissement culturel pour les ´etudiants en math´ematiques qui ont

´et´e initi´es `a la m´ecanique newtonienne et n'ont pas eu l'occasion de pousse rpl usloin

leur ´etude de la physique. 1

La premi`ere version de ce chapitre a ´et´e r´ealis´ee par H´el`ene Antaya au d´ebut de ses ´etudes

de premier cycle en math´ematiques.

462 14 Le calcul des variations

14.1 Le probl`eme fondamental du calcul des variations

Le calcul des variations est une branche des math´ematiques qui permet d'optimi- ser des quantit´es physiques (comme le temps, la surface ou la distance ). Iltrouv edes applications dans des domaine sauss ivari´ esqu el'a´eronautiq ue(maximise r laport´ee d'une aile d'avion), la conception d'´equipements sportifs performants (min imiser lafric- tion de l'air sur un casque de cycliste, optimiser la forme d'un ski), la r´esistance des structures (maximiser la r´esista nced'un ecolonn e, d'unbarrag ehydro´electriqu e,d'une voˆute), l'optimisation des formes (pro ler la coque d'un navir e), laphysiqu e(calcu lerles

trajectoires des corp s enm´ecaniqu eclassiqu ee tle sg´eod´esique se nrelativit´ eg´en´erale),

etc. Deux exemples permetten td ecomprendr e lesprobl`em esauxquel ss'attaqu e lecalcul des variations.

Exemple 14.1

Cet exemple est tr`es simple, et nous connaissons d´ej`a la r´epon seau probl`eme. Sa formulation nous aidera cependant par la suite . Ils'agi td etrouve rle chemin le plus court entre deux points A x 1 ,y 1 et B x 2 ,y 2 . Nous savons que la r´eponse est la ligne droite, mais nous ferons l'e ort de reformuler ce probl`eme dans le langage du calcul des variations. Supposons que x 1 x 2 et qu'il est possible d'´ecrire la seconde coordonn´ee comme fonction de la premi`ere. Alors, le chemin est donn´e par x,y x pour x x 1 ,x 2 y x 1 y 1 et y x 2 y 2 . La quantit´e I dont on doit trouver le minimum est ici la longueur du chemin entre A et B selon la trajectoire. Cette quantit´e I y d´epend ´evidemment de la trajectoire choisie et donc, de la fonction y x Cette fonction d'une fonction est appel´ee une fonctionnelle par les math´ematiciens.

Fig. 14.1.

Une trajectoire entre les deux points

A et B

14.1 Le probl`eme fondamental du calcul des variations 463

`A chaque incr´ement x le long d'une trajectoire correspond un court segment de la trajectoire dont la longueu r,not´ee s , d´epend de x . La longueur totale du chemin est donc I y ) =s(x). A l'aide du th´eor`eme de Pythagore, cette longueur s peut ˆetre approxim´ee, pour x su samment petit, par s x x 2 y 2 comme l'indique lagure 14.1. Ainsi, s x 2 y 2 =11 +y x 2 x. Si x tend vers z´ero, le rapport y x devient la d´eriv´ee dy dx , et l'int´egrale I I y x2 x1 1 + ( y 2 dx.(14.1)

Trouver le plus court chemin entre les points

A et B s'´enonce comme suit dans le calcul des variations : quelle trajectoire x,y x allant de A `a B minimise la fonctionnelle I ? Nous reviendrons sur ce probl`eme `a la section 14.3. Ce premier exemple ne convaincra personne de l'utilit´ e ducalcu lde svariations.

La question pos´ee (trouver la trajectoir e(

x,y x )) minimisant l'int´egrale I ) semble bien di cile pour r´esoudre un probl`eme dont on connaˆ t d´ej`a la solution. C'est pourquoi nous pr´esentons un second exemple dont la solution, elle, ne sera sans doute pas ´evidente.

Exemple 14.2

Quelle est la meilleure piste de planche `a roulettes? La demi-lun eest populaire en planche `a roulettes, mais aussi en planche `a neige, sport qui est devenu une discipline olympique aux Jeux de Nagano en 1998; elle a la forme d'une cuvette aux murs l´eg`eremen tarrondi s.L eplanchist e,gliss ed'un eparo i` al'autr ed e lacuvett eet ex´ecute des prouesses acrobatiques quand il atteint les sommets. Trois pro ls possibles sont pr´esent´es `a la gure 14.2. Les trois ont les mˆemes sommets (A et C) et le mˆeme fond ( B ). Le pro l en pointill´e requiert une explication : il faut imaginer qu'on ajoute un petit quart de cercle dans chaque coin pour transformer la vitesse verticale en vitesse horizontale (ou le contraire) et qu'on prend ensuite la limite lorsque le rayon du quart de cercle tend vers z´ero. Ce parcours serait casse-cou puisqu'il contient deux angles droits; il permettrait cependant au sportif d´emarrant du point A d'atteindre tr`es tˆot une grande vitesse parce que cette piste commence par une chute libre. Le pro l en traits discontinus est constitu´e des segments de droite AB et BC ; c'est donc le pro l passant par A B et C qui est le plus court en distance.

Mais que veut dire

la meilleure piste ? Cette formulation n'est gu`ere math´ematique.

Nous la changerons pour la d´

e nition suivante : quelle est la piste qui permet de se rendre du point A au point B dans le temps le plus court? Cette nouvelle d´e nition est pr´ecise math´ematiquement, mais elle pourrait ne pas satisfaire les sportifs. Elle semble malgr´e tout un bon compromis. Selon cette d´e nition pr´ecise, qu eles t lemeilleu rpro l

464 14 Le calcul des variations

de cuvette? Le sportif a-t-il avantage `a atteindre la plus grande vitesse rapidement mˆeme si sa trajectoire sera plus longue (pro l en pointill´e), devra-t-il opter pour le pro l constitu´e de deux segments de droite ou encore choisir une courbe entre ces deux extrˆemes, telle la courbe lisse de la gure 14.2?

Fig. 14.2.

Trois pro

ls possibles pour la meilleure piste de planche `a roulettes Il est relativement ais´e de calculer le temps de parcours pour les deux pro ls extrˆemes.

Mais nous montrerons sous peu que le

meilleur pro l est celui d'une courbe lisse entre ces deux extrˆemes. Calculons donc le temps de parcours entre les points A et B pour une courbe quelconque x,y x

Lemme 14.3

Soit un syst`eme d'axes tel que l'axe des

y pointe vers le bas comme sur la gure 14.2, et une courbe y(x) telle que A = (x 1 ,y x 1 et B x 2 ,y x 2 . Le temps de parcours d'un point mat´eriel parcourant la courbe de A `a B sous la seule action de son poids est donn´e par I y 1 2 g x2 x1 1 + ( y 2 ydx. (14.2)

Preuve

La cl´e pour calculer le temps de parcours est le principe physique de la conser- vation de l'´energie. L'´energie totale E du point mat´eriel est la somme de son ´energie cin´etique ( T 1 2 mv 2 ) et de son ´energie potentielle ( V mgy ). (Attention : le signe dans V s'explique par le fait que y croˆ t vers le bas alors que l'´energie potentielle diminue dans cette direction.) Ici, m est la masse du point mat´eriel, v sa vitesse, et g est l'acc´el´eration due `a la gravit´e. Cette constante vaut g 9 8 m/s 2 `a la surface de la

Terre. L'´energie

E T V 1 2 mv 2 mgy du point mat´eriel est conserv´ee pendan tla glissade dans la cuvette, c'est-`a-dire qu'elle est constan te. Si lavite sse dupo intmat´eriel en A est nulle, alors E est nulle au d´epart et donc, tout le long de la trajectoire. Ainsi la vitesse du point mat´eriel est reli´ee `a sa hauteur par E = 0, c'est-`a-dire que 1 2 mv 2 mgy ou encore v 2 gy.(14.3)

14.1 Le probl`eme fondamental du calcul des variations 465

Le temps de parcours es t laso mmesu rto us lesaccroissement sin nit´esimaux dx du temps dtquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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