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République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l"Enseignement Superieur et de la Recherche Scienti...que

Université de Tlemcen

Faculté des Sciences

Départément de Mathématiques

Thème

Les méthodes variationnelles et la résolution numérique d"un problème

Présenté par

TIANTI Souad

Pour l"obtention du diplôme de

Master

Spécialitè : Mathématiques

Option : Equations aux dérivées partielles et applications Soutenu publiquement, le 27/09/2018, devant le jury : PrésidentMr. B.MEBKHOUT M.A.A université de Tlemcen. ExaminateurMr. A.BENCHAIB M.A.A université de Tlemcen. EncadreurMr. F.ABI-AYAD M.A.A université de Tlemcen.

Année universitaire : 2017 - 2018

Résumé

Dans ce mémoire, on s"intéresse essentiellement à l"étude des méthodes variationnelles, en général, et à

la méthode des éléments ...nis en particulier pour la résolution numérique d"un problème de

On commence, dans un premier temps, par présenter le cadre théorique du problème d"EDP (formulation

variationnelle dans un espace de Sobolev et approximation variationnelle en dimension ...nie) permettant

d"appliquer ulterieurement une méthode d"éléments ...nis. C"est l"objet du premier chapitre.

spéci...que.

En ...n, au chapitre III on met l"accent sur la méthode variationnelle dite d"éléments ...nis simpliciaux a...n

stationnaire monodimensionnelle avec simulation numérique. 2

Abstract

In this memoir, we are interested in the study of variational methods, in general, and the ...nite element

We ...rst begin by presenting the theoretical framework of the problem PDE (variational formulation in

a Sobolev space and ...nite dimensional variational approximation) allowing a ...nite element method to

be applied later. This is the subject of the ...rst chapter.

Finally, in Chapter III, we focus on the variational method so-called of simplicial ...nite elements in order

with numerical simulation. 3

Dédicaces

Je dédie ce mémoire à :

Mes trés chers parents qui m"ont encouragée et motivée tout au long de mes études et qui ont

toujours été présents à mes cotés durant mes moments di¢ ciles. Mes chers frères : Mohamed et Sou...ene, mes chers sœurs Hayet et Fayza.

Mes neveux Mohamed, Badro et Hamza.

Tous mes amis

Tous ceux qui m"aiment.

4

Remerciements

Je tiens avant tout à remercierALLAHtout puissant qui m"a donné la patience, la volonté et le courage

pour bien achever mes études. Je tiens à remercier sincèrement mon encadreur MonsieurF. ABI-AYADpour ses aides et sa disponibilité. Je remercie chaleureusement notre chef de département des Mathématiques monsieurB. MEBKHOUT pour avoir fait l"honneur de présider le jury de ce mémoire. Je remercie mon examinateur MonsieurA. BENCHAIBpour son aide et ses conseils et d"avoir accepté de faire partie du jury.

En...n, je remercie aussi mes très chers parents qui m"ont guidé durant les moments les plus pénibles

de ce long chemin.

Souad TIANTI

5

Table des Matières

Introduction7

1 Préliminaires d"analyse fonctionnelle 8

1.1 Rappels sur les espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Formulation variationnelle générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 L"existence et l"unicité de la solution d"un problème

variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Théorème de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Exemples de formulation variationnelle pour problèmes elliptiques . . . . . . . . . 10

1.4 Théorie de l"approximation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Etude de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Modèle physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.1 La formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.2 L"existence et l"unicité de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1 La méthode des éléments ...nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.1 Dé...nition d"un élément ...ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.2 Famille d"éléments ...nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.3 Éléments ...nis simpliciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6

Introduction

Les méthodes variationnelles représentent une classe importante de méthodes de résolution numérique

des problèmes d"origine physique ou mécanique (le transport de polluants, les écoulements dans les

conduites, la modélisation de la pollution atmosphérique, etc) qui sont décrits par des équations aux

dérivées partielles. En général, ces équations n"admettent pas de solutions analytiques sauf dans des cas

très simpli...és. C"est pourquoi un recours aux méthodes de résolution numériques est nécessaire. Il existe

plusieurs méthodes numériques : méthode des éléments ...nis, méthode des volumes ...nis, et la méthode

des caractéristiques, etc. Chaque méthode de résolution numérique d"un problème continu comporte une

phase de maillage et une phase de discrétisation.

Parmi ces méthodes, la méthode des éléments ...nis est utilisée pour résoudre numériquement des

problèmes d"équations aux dérivées partielles. Ces dernières peuvent, par exemple, représenter

analytiquement le comportement dynamique de certains systèmes physiques (mécanique, thermody-

namique, acoustique, etc.). Cette méthode permet donc de résoudre de manière discrète une EDP dont

on cherche une solution approchée " su¢ samment » faible sur un domaine compact avec conditions aux

bords et/ou dans l"intérieur du compact (conditions de type Dirichlet ou Neumann).

Dans ce mémoire, on s"intéresse essentiellement à la présentation de certains problèmes elliptiques

en dimension une, et à leur résolution numérique par la méthode des éléments ...nis.

Ce mémoire est divisé en trois chapitres :

Dans le premier chapitre, on va rappeler les notions de base sur les espaces de Sobolev, la formulation

et l"approximation variationnelles.

Dans le deuxième chapitre, on donne quelques phénomènes physiques qui modélisent l"équation de

En...n, dans le troisième chapitre, on va appliquer une méthode de type éléments ...nis pour approcher

dé...nitions et résultats concernant les éléments ...nis, puis on va l"appliquer pour un exemple simple dont

on peut calculer la solution approchée et la comparer avec la solution théorique facilement retrouvée.

7

Chapitre 1

Préliminaires d"analyse fonctionnelle

Dans ce chapitre, nous présentons les principales notions de base sur la théorie de l"approximation

variationnelle et l"étude de certains problèmes aux limites elliptiques linéaires. Nous rassemblons donc

ci-après un certain nombre de dé...nitions et de résultats déjà démontrés dans les références indiquées à

la ...n de cet ouvrage [1], [2] et [5].

1.1 Rappels sur les espaces de Sobolev

Dans ce paragraphe, on va dé...nir quelques espaces de Sobolev usuels que l"on nortera parHm( ), où m2Net est un ouvert borné connexe deRn; n2N, ces espaces sont des espaces de Hilbert. Dé...nition 1.1on appelle espace de Sobolev d"ordre1sur l"espace : H 1( ) =fv2L2( ) :@v@x i2L2( );1ing où @v@x iétant la dérivée partielle d"ordre 1 devpar rapport àxiau sens des distributions.

On munitH1(

)du produit scalaire hu;viH1( )=Z uv+nX i=1@u@x i@v@x i! dx; x= (x1;;xn) et on note kvkH1( )=qhv;viH1( la norme correspondante. 8

Dé...nition 1.2On désigne parH10(

)l0adhérence deD( )dansH1( ). On note H 10( ) =D( )H1( c"est à dire

8v2H10(

);9fvngn1D( )tel quelimn!1kvnvkH1( )= 0

1.2 Formulation variationnelle générale

SoitVun espace de Hilbert réel de produit scalaireh:;:iVet de normek:kV. Fixons une forme bilinéaire

continue a:VV!R: (u;v)7!a(u;v):

La bilinéarité deasigni...e queaest linéaire par rapport àuetv, tandis que la continuité deaest

équivalente à l"existence d"une constanteMa>0telle que ja(u;v)j MakukV:kvkV;8u;v2V:

On considère le problème variationnel général suivant : Etant donnéL2V0;trouveru2Vsolution de

a(u;v) =L(v);8v2V:(1.1)

L"éxistence d"une solution à ce problème est basée sur la coercivité de la forme bilinéairea:

Dé...nition 1.3On dit que la forme bilinéaireaestVelliptique(ou coercive surV) si et seulement si il existe >0tel que a(v;v)kvk2V;8v2V:

On peut alors démontrer le résultat suivant connu sous le nom de Théorème de Lax-Milgram.

9

1.3 L"existence et l"unicité de la solution d"un problème

variationnel

1.3.1 Théorème de Lax-Milgram

Théorème 1.1[2] Si la forme bilinéaireaestVelliptique;alors le problème (1.1) a une solution

uniqueu2V:De plus, on a kukV1 kLkV0:

1.3.2 Exemples de formulation variationnelle pour problèmes elliptiques

Dans cette section, on montre comment écrire certains problèmes concrets sous la forme vatiationnelle

(1.1). Exemple 1.1(Le problème de Dirichlet en dimension 1)

On prend pour

l"intervalle réel]0;1[:Etant donnéf2L2( );on veut trouver la solutionudu problème 8< :u00=fdans u(0) =u(1) = 0(1.2)

On suppose que la solutionude (1.2) existe et qu"elle est su¢ samment régulière : Disonsu2H2(

Alors en multipliant l"équation du problème par une "fonction test"v2H1( );on obtient 1 Z 0 u

00(x)v(x)dx=1

Z 0 f(x)v(x)dx: En intégrant par parties dans le premier membre de cette identité, on obtient 1 Z 0 u

0(x)v0(x)dx+u0(0)v(0)u0(1)v(1) =1

Z 0 f(x)v(x)dx: Comme il n"y a aucune raison que les termes de bord soient nuls, on prendv2H10( );cette dernière identité implique alors 1Z 0 u

0(x)v0(x)dx=1

Z 0 f(x)v(x)dx;8v2H10( ):(1.3) Comme les conditions de bordu(0) =u(1) = 0impliquent queu2H10( );on voit que le bon choix est de prendre :

V=H10(

10 a(u;v) =1 Z 0 u

0(x)v0(x)dx;

L(v) =1

Z 0 f(x)v(x)dx:

On a ainsi montré que siu2H2(

)est solution de (1.2), alors elle est solution de (1.3), ou de

manière équivalente, solution de (1.1) avec le chois fait ci-dessus. Grâce au Lemme de Lax-Milgram,

on va maintenant montrer que le problème (1.3) admet une solution uniqueu2H10( ). Véri...ons-en

les hypothèses : La bilinéarité deaet la linéatité deLdécoulent de la linéarité de l"intégrale, et par

jL(v)j kfkL2( )kvkH10( );8v2H10( et ja(v;w)j kvkH10( )kwkH10( );8v;w2H10( Reste à véri...er la coercivité de la formeasurH10( )qui découle de l"inégalité de Poincaré puisque a(u;u) =juj2 H 1( Le lemme de Lax-Milgram assure donc l"existence d"une solution uniqueu2H10( )de (1.3). Montrons

maintenant qu"elle est solution du problème de départ (1.2) : Les conditions de bord sont satifaites

puisqueu2H10( ), et commeD( )H10( )le problème (1.3) implique 1 Z 0 u

0(x)v0(x)dx=1

Z 0 f(x)v(x)dx;8v2D(

En conséquence,usatisfait

u

00=f dans D0(

Comme par hypothèse,f2L2(

), on en déduit queu;u0;u002L2( ), ce qui prouve queu2H2( L"équation (1.2) est donc satisfaite au sens deL2( Exemple 1.2(Le problème de Dirichlet en dimension supérieure)

Comme dans la section précédente, on peut généraliser si on prend un problème de Dirichlet en dimension

supérieure : Soit un ouvert borné deRn,n2de frantière@

C1par morceaux. Etant donnéf2L2(

11

On veut trouver la solutionude8<

: 4u=fdans u= 0sur@ (1.4)

On suppose d"abord que la solutionu2H2(

):Alors en multipliant l"équation par une "fonction test" v2H1( )et en intégrant sur , on obtient Z u(x)v(x)dx=Z f(x)v(x)dx: En utilisant la formule de Green, on aura pour toutv2H1( n X i=1Z @u@x i@v@x idxZ @u@ vd=Z fvdx:

On peut prendrev2H10(

);et on obtient n X i=1Z @u@x i@v@x idx=Z f(x)v(x)dx;8v2H10( ):(1.5)

Comme on a la conditionu= 0sur @

, on voit qu"il faut prendre :

V=H10(

a(u;v) =nX i=1Z @u@x i@v@x idx;

L(v) =Z

f(x)v(x)dx:

La coercivité de la formeasurH10(

)est véri...ée d"après l"inégalité de Poincaré puisque a(u;u) =juj2 H 1( Grâce au Lemme de Lax-Milgram le problème (1.5) a une solution uniqueu2H10( );et comme D( )H10( ); uvéri...e

4u=f dans D0(

)H1(

Ainsi cette solution est aussi solution de (1.4) mais dans un sens plus faible car l"équation n"est satisfaite

qu"au sens des distributions. 12

1.4 Théorie de l"approximation variationnelle

On reprend le cadre abstrait précédent : soientVun espace de Hilbert réel; une forme bilinéaire

a:VV!R: (u;v)7!a(u;v);continue etVelliptique, et une forme linéaireLcontinue sur

V. La méthode d"approximation (dite méthode de Galerkin) du problème (1.1) consiste à remplacer

l"espaceVpar une famille de sous-espacesVhde dimension ...nie,h >0, et on résoud le problème suivant : Trouveruh2Vh;solution de a(uh;vh) =L(vh);8vh2Vh:(1.6) Lemme 1.1Si la forme bilinéaireaestVelliptique;alors le problème (1.6) a une solution unique u h2Vh: Preuve:CommeVhest un espace fermé pour la norme deV;on a clairement que la forme bilinéaire arestreinte àVhc"est-à-direajVhest continue etVhelliptique:De même,LjVh2V0h, puisque jL(v)j Ckvk;8v2V; implique par restriction que jL(vh)j Ckvhk;8vh2Vh: D"après le Lemme de Lax-Milgram, le problème (1.6) a une solution uniqueuh2Vh:La preuve du Lemme est terminée.La solutionuhainsi obtenue est appelée l"approximation de Galerkin deu:

Maintenant, on va montrer que la résolution de (1.6) est équivalente à la résolution d"un système

linéaire (...ni). Ce qui est veut dire qu"il peut être résolu numériquement. Pour cela et pourh >0...xé,

considéronsf'1;:::;'Ngune base deVh,Nétant sa dimension. Ainsivh2Vhsi et seulement si il existe

figN i=1tel que v h=NX j=1 j'j;

En particulieruh2Vh;donc on peut écrire

u h=NX i=1 i'i 13 Avec cette notation, le problème (1.6) est équivalent à N X j;k=1a('j;'k)kj=NX k=1L('k)k;8= (1;;N)2RN IX j=1a('j;'k)j=L('k);1kN: Ce dernier système linéaire peut s"écrire A hXh=Lh; oùAh;dite de rigidité, est la matrice carrée tel que A h= (a('j;'k))1k;jN; le vecteur donnéLhest la matrice colonne : L h=0 B

BBBBB@L('1)

L('2)

L('N)1

C

CCCCCA:

Finalement,Xhest le vecteur inconnu :

X h=0 B

BBBBB@

1 2 N1 C

CCCCCA:

La matriceAhétant inversible ( la forme bilinéaire étantVhelliptique), donc le système linéaire admet

une solution unique. Ce qui est implique que le problème (1.6) admetuh2Vhcomme solution unique.

1.5 Etude de la convergence

Une fois l"existence deuhétablie, il nous faut compareruetuh. Le but étant de montrer que uuh!0; 14

lorsqueh!0:Pour cela on établit le théorème suivant connu sous le nom de Théorème de Céa.

Théorème 1.2(Céa) [2]

Soientu2Vla solution du problème (1.1) etuh2Vhla solution du problème (1.6). Alors kuuhkVMa infv h2VhkuvhkV: Preuve:Comme (1.1) est vraie pour toutv2V, donc l"identité suivante reste vraie pour toutvh2Vh i.e., a(u;vh) =L(vh);8vh2Vh: Retranchant cette identité à (1.6), on obtient : a(uuh;vh) = 0;8vh2Vh:

Ainsi, on peut écrire que

a(uuh;uuh) =a(uuh;uvh);8vh2Vh;

On sait queaestVelliptiqueet continue donc

kuuhk2Va(uuh;uuh) =a(uuh;uvh);8vh2Vh

MakuuhkVkuvhkV;8vh2Vh:

D"où

kuuhkVMa kuvhkV;8vh2Vh () kuuhkVMa infv h2VhkuvhkV:

La preuve est terminée.Théorème 1.3[5]

On suppose qu"il existe un sous espaceV0dense dansVet une application r h:V0!V 15 tels que lim h!0kvrh(v)kV= 0;8v2V0: Alors, la méthode d"approximation variationnelle converge, c"est à dire : lim h!0kuuhkV= 0: oùu2Vla solution du problème (1.1) etuh2Vhla solution du problème (1.6).

Preuve:Voir [5] [théorème 3.1-3, page 62].Remarque 1.1On dit que la convergence est d"ordreksi et seulement si il existeM >0

(indépendant deh) tel que kuuhkVMhk: 16quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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