Minimisation de fonctionnelle quadratique
Minimisation de fonctionnelle quadratique. Dorian Cacitti-Holland. 2020-2021. Références. 1. Oraux X-ENS Analyse 4 (pas tout à fait).
Résolution de problèmes par minimisation dune fonctionnelle et
Université Antilles Guyane. Résolution de problèmes par minimisation d'une fonctionnelle et applications. Master Info. Image. Plis fòs ba pengwen là !
Minimiser une fonction de 2 variables
Minimiser une fonction de 2 variables par valeur initiale fn fonction (argument x vectoriel) ... fonction le point minimum
1 Le calcul variationnel
est une fonctionnelle qui prend une fonction ajoute son carré et le carré de sa dérivée Et il faut trouver la fonction f qui minimise cette intégrale1.
Algorithmes de minimisation
De nombreux problèmes nécessitent de minimiser une fonction : -Minimiser la distance (XHI2) entre calculer analytiquement les zéros de la fonction F'(X).
Chp. 4. Minimisation dune fonction dune variable
Minimisation d'une fonction d'une variable. Avertissement! Dans tout ce chap?tre I désigne un intervalle de IR . 4.1 Fonctions convexes d'une variable.
Minimisation de la variation totale 1 Fonctionnelle approchée 2
Utiliser la méthode de quasi-Newton pour minimiser la fonctionnelle. Déterminer empiriquement la vitesse de convergence de l'algorithme. On peut montrer.
Page 1 Plan Minimisation de fonctions logiques Comment minimiser
Minimisation des fonctions multi-niveau - Factorisation Minimiser la fonction logique revient alors à minimiser une fonction Z = M1 + M2 + M3 + M4 + M5 ...
INITIATION À LA FONCTIONNELLE DE MUMFORD-SHAH par
Après une courte introduction de la fonctionnelle et de sa minimisation on mettra en évidence certains problèmes ma- thématiques difficiles qu'elle soulève
X. Algorithmes doptimisation
Pour minimiser une fonction à une variable dans un domaine on utilise fminbnd et si la fonction a plusieurs variables on utilise fminsearch.
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Minimisation de fonctionnelle quadratique Dorian Cacitti-Holland 2020-2021 Références 1 Oraux X-ENS Analyse 4 (pas tout à fait)
[PDF] Techniques doptimisation
Optimisation continue – discrète – fonctionnelle Optimisation fonctionnelle / paramétrique On choisit l'incrément pour minimiser l'erreur :
[PDF] Cours-Optimisationpdf
L'objectif est de maximiser M(x) ce qui revient `a minimiser Il s'agit donc de la minimisation de la fonction J(v) = v ? u2 sur K Cette fonction
[PDF] Minimiser une fonction de 2 variables
Produit une liste contenant la valeur minimale de la fonction le point minimum le gradient au point minimum ainsi qu'une évaluation de la qualité de l'
Minimisation dune fonctionnelle dans un espace produit par une
Résumé — On étudie dans cette note la méthode de relaxation pour minimiser une fonctionnelle convexe sur un ensemble convexe a"un espace produit
[PDF] Résolution de problèmes par minimisation dune fonctionnelle et
Université Antilles Guyane Résolution de problèmes par minimisation d'une fonctionnelle et applications Master Info Image Plis fòs ba pengwen là !
[PDF] COURS OPTIMISATION Cours à lISFA en M1SAF Ionel Sorin
Une fonction J : IRn ?? IR (fonction coût) 2 Un ensemble U ? IRn (ensemble des contraintes) On cherche à minimiser J sur U c'est à dire
[PDF] aspects théoriques numériques et algorithmes
Exercice 4 8 (Minimisation d'une fonctionnelle non quadratique) Page 72 72 On souhaite résoudre dans cet exercice un probl`eme de minimisation
[PDF] Introduction à lOptimisation Numérique
Commençons par analyser le problème de minimisation : d'une part la fonction f est deux fois différentiable sur R2 et strictement convexe D'autre part le
Comment on minimise une fonction ?
Produit une liste contenant la valeur minimale de la fonction, le point minimum, le gradient au point minimum ainsi qu'une évaluation de la qualité de l'itération (de 1 à 5). Produit aussi sur demande la matrice hessienne au point minimum: hessian = T. ?l(?, ?) #on change le signe pour minimiserQuelles sont les méthodes d'optimisation ?
Techniques de l'optimisation combinatoire
la théorie des graphes (chemin optimal dont le problème du voyageur de commerce)la théorie des jeux (stratégies performantes)la théorie du contrôle, de la régulation et de l'automatique (cf Catégorie:Automatique)l'optimisation multidisciplinaire.- Le but d'un problème d'optimisation est de trouver une solution maximisant (resp. mini- misant) une fonction objectif donnée. A chaque problème d'optimisation on peut associer un problème de décision dont le but est de déterminer s'il existe une solution pour laquelle la fonction objectif soit supérieure (resp.
![[PDF] Minimiser une fonction de 2 variables](https://pdfprof.com/Listes/17/22994-17Pr_11.A10.pdf.pdf.jpg "[PDF] Minimiser une fonction de 2 variables")
Minimiser une fonction de 2 variables
(x,y)?→f(x,y) = 2y2-x(x-1)2> f = function(x) 2*x[2]ˆ2-x[1]*(x[1]-1)ˆ2J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Minimiser une fonction de 2 variables
(x,y)?→f(x,y) = 2y2-x(x-1)2> f = function(x) 2*x[2]ˆ2-x[1]*(x[1]-1)ˆ2 ∂f/∂x=∂f/∂y= 0 =? points critiques: (1/3,0) ,(1,0) (1/3,0) : minimum local f(1/3,0) =-4/27 =-0.148148J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Minimiser une fonction de 2 variables
(x,y)?→f(x,y) = 2y2-x(x-1)2> f = function(x) 2*x[2]ˆ2-x[1]*(x[1]-1)ˆ2 ∂f/∂x=∂f/∂y= 0 =? points critiques: (1/3,0) ,(1,0) (1/3,0) : minimum local f(1/3,0) =-4/27 =-0.148148Contours dans le carré
[-3,3]×[-3,3] > a = seq(-3,3,length=200); b = a #grille > v = matrix(numeric(200ˆ2),nrow=200) > for (i in 1:200) {for (j in 1:200) v[i,j] = f(c(a[i],b[j]))} > contour(a,b,v,levels=c(50,30,10,2,0,- .125),xlab='x',ylab='y',col='red')J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Minimiser une fonction de 2 variables
(x,y)?→f(x,y) = 2y2-x(x-1)2> f = function(x) 2*x[2]ˆ2-x[1]*(x[1]-1)ˆ2 ∂f/∂x=∂f/∂y= 0 =? points critiques: (1/3,0) ,(1,0) (1/3,0) : minimum local f(1/3,0) =-4/27 =-0.148148Contours dans le carré
[-3,3]×[-3,3] > a = seq(-3,3,length=200); b = a #grille > v = matrix(numeric(200ˆ2),nrow=200) > for (i in 1:200) {for (j in 1:200) v[i,j] = f(c(a[i],b[j]))} > contour(a,b,v,levels=c(50,30,10,2,0,- .125),xlab='x',ylab='y',col='red')J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Contours d'une fonction de 2 var.
J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Fonction optim
Par défaut, calcule un point
minimum selon la méthode de Nelder-Mead (simplexe)J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Fonction optim
Par défaut, calcule un point
minimum selon la méthode de Nelder-Mead (simplexe) optim(par, fn, gr = NULL, ..., method = c("Nelder-Mead", "BFGS", "CG", "L-BFGS-B", "SANN"), lower = -Inf, upper = Inf, control = list(), hessian = FALSE)J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Fonction optim
Par défaut, calcule un point
minimum selon la méthode de Nelder-Mead (simplexe) optim(par, fn, gr = NULL, ..., method = c("Nelder-Mead", "BFGS", "CG", "L-BFGS-B", "SANN"), lower = -Inf, upper = Inf, control = list(), hessian = FALSE) par valeur initiale fn fonction ( argument x vectorielJ.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Fonction optim
Par défaut, calcule un point
minimum selon la méthode de Nelder-Mead (simplexe) optim(par, fn, gr = NULL, ..., method = c("Nelder-Mead", "BFGS", "CG", "L-BFGS-B", "SANN"), lower = -Inf, upper = Inf, control = list(), hessian = FALSE) par valeur initiale fn fonction ( argument x vectoriel BFGS : méthode de type quasi-Newton vue en classe hessian = T : calcule la matrice hessienne en =?l??(?θ) si fn=l une log-vraisemblance. Utile pour obtenir une estimation de la variabilité des estimateurs de vraisemblance maximale: matrice de covariance asymptotique :=?(I(?θ))-1≈(-l??(?θ))-1J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Fonction optim
Par défaut, calcule un point
minimum selon la méthode de Nelder-Mead (simplexe) optim(par, fn, gr = NULL, ..., method = c("Nelder-Mead", "BFGS", "CG", "L-BFGS-B", "SANN"), lower = -Inf, upper = Inf, control = list(), hessian = FALSE) par valeur initiale fn fonction ( argument x vectoriel BFGS : méthode de type quasi-Newton vue en classe hessian = T : calcule la matrice hessienne en =?l??(?θ) si fn=l une log-vraisemblance. Utile pour obtenir une estimation de la variabilité des estimateurs de vraisemblance maximale: matrice de covariance asymptotique :=?(I(?θ))-1≈(-l??(?θ))-1 control : permet de choisir les facteurs de Nelder-Mead, le n. d'itérations, la tolérance, etc.J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Fonction nlm
Calcule un point
minimum selon une méthode de typeNewton
J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Fonction nlm
Calcule un point
minimum selon une méthode de typeNewton
nlm(f, p, hessian = FALSE, typsize=rep(1, length(p)), fscale=1, print.level = 0, ndigit=12, gradtol = 1e-6, steptol = 1e-6, iterlim = 100, ...)J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Fonction nlm
Calcule un point
minimum selon une méthode de typeNewton
nlm(f, p, hessian = FALSE, typsize=rep(1, length(p)), fscale=1, print.level = 0, ndigit=12, gradtol = 1e-6, steptol = 1e-6, iterlim = 100, ...) Par défaut utilise des dérivées numériques.J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Fonction nlm
Calcule un point
minimum selon une méthode de typeNewton
nlm(f, p, hessian = FALSE, typsize=rep(1, length(p)), fscale=1, print.level = 0, ndigit=12, gradtol = 1e-6, steptol = 1e-6, iterlim = 100, ...) Par défaut utilise des dérivées numériques. Produit une liste contenant la valeur minimale de la fonction, le point minimum, le gradient au point minimum ainsi qu'une évaluation de la qualité de l'itération (de 1 à 5). Produit aussi sur demande la matrice hessienne au point minimum: hessian = TJ.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Fonction nlm
Calcule un point
minimum selon une méthode de typeNewton
nlm(f, p, hessian = FALSE, typsize=rep(1, length(p)), fscale=1, print.level = 0, ndigit=12, gradtol = 1e-6, steptol = 1e-6, iterlim = 100, ...) Par défaut utilise des dérivées numériques. Produit une liste contenant la valeur minimale de la fonction, le point minimum, le gradient au point minimum ainsi qu'une évaluation de la qualité de l'itération (de 1 à 5). Produit aussi sur demande la matrice hessienne au point minimum: hessian = TFonction moins polyvalente qu'
optimJ.-C. Mass´eUniversit´e Laval
optimetnlmappliquées > optim(c(0,0),f)# par défaut Nelder-Mead, minimisation $par # fonction f de la p. 1 [1] 3.333333e-01 4.934999e-09 ≈(1/3,0) $value [1] -0.1481481 ≈f(1/3,0) =-4/27J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
optimetnlmappliquées > optim(c(0,0),f)# par défaut Nelder-Mead, minimisation $par # fonction f de la p. 1 [1] 3.333333e-01 4.934999e-09 ≈(1/3,0) $value [1] -0.1481481 ≈f(1/3,0) =-4/27 > nlm(f,c(0,0))#par défaut type Newton, minimisation $minimum [1] -0.1481481 $estimate [1] 3.333324e-01 -4.558233e-07J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
optimetnlmappliquées > optim(c(0,0),f)# par défaut Nelder-Mead, minimisation $par # fonction f de la p. 1 [1] 3.333333e-01 4.934999e-09 ≈(1/3,0) $value [1] -0.1481481 ≈f(1/3,0) =-4/27 > nlm(f,c(0,0))#par défaut type Newton, minimisation $minimum [1] -0.1481481 $estimate [1] 3.333324e-01 -4.558233e-07 > optim(c(2,0),f) #autre valeur initiale $par [1] 3.776441e+55 -5.926356e+54 # divergence! $value [1] -5.385772e+166J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Vraisemblance à 2 paramètres
Modèle de Weibull à paramètres
θ,α >0
f(y|θ,α) =α yα-1exp?
-?y , y >0J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Vraisemblance à 2 paramètres
Modèle de Weibull à paramètres
θ,α >0
f(y|θ,α) =α yα-1exp?
-?y , y >0Log-vraisemblance p. r. aux observations
y1,...,yn l(θ,α) =-nlogθ+nlogα+(α-1)n?1log?yiθ?
-n? 1? yiJ.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Vraisemblance à 2 paramètres
Modèle de Weibull à paramètres
θ,α >0
f(y|θ,α) =α yα-1exp?
-?y , y >0Log-vraisemblance p. r. aux observations
y1,...,yn l(θ,α) =-nlogθ+nlogα+(α-1)n?1log?yiθ?
-n? 1? yiFonction scorel?(θ,α)T=?
-nα/θ+αθ-1?(yi/θ)αJ.-C. Mass
´eUniversit´e Laval
Vraisemblance à 2 paramètres (suite)
Matrice hessienne
=l??(θ,α) =- information observée lθθ=α(α+ 1)/θ2?(yi/θ)α-nαθ-2 l θα=θ-1?[1-(yi/θ)α{1 +αlog(yi/θ)}] lJ.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Vraisemblance à 2 paramètres (suite)
Matrice hessienne
=l??(θ,α) =- information observée lθθ=α(α+ 1)/θ2?(yi/θ)α-nαθ-2 l θα=θ-1?[1-(yi/θ)α{1 +αlog(yi/θ)}] l -l(θ,α) #on change le signe pour minimiser! > lneg = function(p,x){ e = -sum(e)} #p vecteur : (p[1],p[2]) =J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Vraisemblance à 2 paramètres (suite)
Matrice hessienne
=l??(θ,α) =- information observée lθθ=α(α+ 1)/θ2?(yi/θ)α-nαθ-2 l θα=θ-1?[1-(yi/θ)α{1 +αlog(yi/θ)}] l -l(θ,α) #on change le signe pour minimiser! > lneg = function(p,x){ e = -sum(e)} #p vecteur : (p[1],p[2]) = Premier objectif: identifier la région du point maximum avec le graphique des contours.J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Contours de la vraisemblance
Temps de panne# t0 = c(225,171,198,189,189,135,162,135,117,162)> x = seq(1,15,length=200) #grille des
> y = seq(100,250,length=200) #grille desJ.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Contours de la vraisemblance
Temps de panne# t0 = c(225,171,198,189,189,135,162,135,117,162)> x = seq(1,15,length=200) #grille des
> y = seq(100,250,length=200) #grille desValeurs de la log-vraisemblance
l(θ,α) sur la grille > logv = matrix(numeric(200ˆ2),nrow=200) > for (i in 1:200) {for (j in 1:200) logv[i,j] = -lneg(c(y[i],x[j]),t0)} # t0: temps de panneJ.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Contours de la vraisemblance
Temps de panne# t0 = c(225,171,198,189,189,135,162,135,117,162)> x = seq(1,15,length=200) #grille des
> y = seq(100,250,length=200) #grille desValeurs de la log-vraisemblance
l(θ,α) sur la grille > logv = matrix(numeric(200ˆ2),nrow=200) > for (i in 1:200) {for (j in 1:200) logv[i,j] = -lneg(c(y[i],x[j]),t0)} # t0: temps de panneMinimum et maximum des valeurs de
l(θ,α) sur la grille > range(logv) # intervalle des valeurs [1] -254028.28687 -48.75647J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Contours de la vraisemblance
Temps de panne# t0 = c(225,171,198,189,189,135,162,135,117,162)> x = seq(1,15,length=200) #grille des
> y = seq(100,250,length=200) #grille desValeurs de la log-vraisemblance
l(θ,α) sur la grille > logv = matrix(numeric(200ˆ2),nrow=200) > for (i in 1:200) {for (j in 1:200) logv[i,j] = -lneg(c(y[i],x[j]),t0)} # t0: temps de panneMinimum et maximum des valeurs de
l(θ,α) sur la grille > range(logv) # intervalle des valeurs [1] -254028.28687 -48.75647Contours
> contour(x,y,logv,levels=c(-50,-55,-60,-80,-J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Contours de la log-vraisemblance
J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Estimation
Fonction
optim : (Nelder-Mead) > p0 = c(165,1) #valeur initiale (modèle exponentielα= 1
> optim(p0,lneg,x=t0) $par [1] 181.409455 5.976163q $value #valeur minimale de lneg [1] 48.75639 -l(?θ,?α)J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Estimation
Fonction
optim : (Nelder-Mead) > p0 = c(165,1) #valeur initiale (modèle exponentielα= 1
> optim(p0,lneg,x=t0) $par [1] 181.409455 5.976163q $value #valeur minimale de lneg [1] 48.75639 -l(?θ,?α)Méthode BFGS (quasi-Newton)
> optim(p0,lneg,x=t0,method='BFGS') $par [1] 181.44731 5.97875 $value [1] 48.75639J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Estimation (suite)
Calcul de l'
information observée =-l??(?θ,?α) estimation deI(?θ,?α)
> optim(p0,lneg,x=t0,method='BFGS',hessian=TRUE) $hessian [,1] [,2] [1,] 0.01084155 -0.02432539 [2,] -0.02432539 0.52368771J.-C. Mass´eUniversit´e Laval
Estimation (suite)
Calcul de l'
information observée =-l??(?θ,?α)quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] principe variationnel
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