1 Le calcul variationnel
Ceci est appelé l'identité de Beltrami. En mécanique ceci n'est l'égalité de Beltrami pour une fonction d'une variable : quand le lagrangien ne dépend.
Équation dEuler-Lagrange - Wikipédia
9 déc. 2006 simplifie sous la forme suivante appelée Identité de Beltrami: Avec C une constante du problème. Démonstration de l'égalité d'Euler- ...
14 Le calcul des variations et ses applications1
particulier de l'identité de Beltrami (section 14.2). Les équations d'Euler–Lagrange et de Beltrami sont des équations différentielles.
14 Le calcul des variations et ses applications
On montre ensuite comment dériver la condition nécessaire d'Euler–Lagrange et le cas particulier de l'identité de Beltrami (section 14.2). On solutionne enfin
Sur lidentité de Kodaira-Nakano en géométrie hermitienne
les opérateurs de Laplace-Beltrami holomorphe et anti-holomorphe. On a alors l'identité classique suivante attribuée a Bochner-Calabi-Kodaira-Nakano.
Introduction au principe variationnel et `a la mécanique analytique
2.1.3 Formule de Beltrami . obtient la formule de Beltrami : ... et qu'ils vérifient donc l'identité de Jacobi : ?f ?g
Opérateur de Laplace–Beltrami discret sur les surfaces digitales
10 avr. 2019 (lorsque G est égal à la matrice identité I) le produit intérieur correspond au produit scalaire des coordonnées.
Mécanique 3 2019-2020 Principe variationnel appliqué `a la
En calculant l'énergie potentielle de l'ensemble en déduire le Lagrangien. 4. Ecrire les équations du mouvement. 6 L'identité de Beltrami. Cette identité fut
Mécanique analytique
Identité de Beltrami. Un cas particulier fréquent est celui où la fonction L est indépendante de t. L'équation d'Euler-Lagrange prend alors la forme
Sur lidentite de Bochner-Kodaira-Nakano en geometrie hermitienne
teurs de Laplaee-Beltrami holomorphes et anti-holomorphes pour un fibr~ vee- toriel holomorphe hermitien au-dessus d'une vari~t~ hermitienne queleonque .
[PDF] 1 Le calcul variationnel - LIPhy
Faisons quelques exercices pour nous fixer les idées Identité de Beltrami Évaluons l'expression d dt { f ?L ?f
[PDF] Introduction au principe variationnel et `a la mécanique analytique
2 1 3 Formule de Beltrami Si la fonction f ne dépend pas explicitement de la variable x (?f ?x = 0) on obtient la formule de Beltrami :
[PDF] 14 Le calcul des variations et ses applications
On montre ensuite comment dériver la condition nécessaire d'Euler–Lagrange et le cas particulier de l'identité de Beltrami (section 14 2) On solutionne enfin
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9 déc 2006 · simplifie sous la forme suivante appelée Identité de Beltrami: Avec C une constante du problème Démonstration de l'égalité d'Euler-
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20 jan 1987 · Solutions de l'équation de Beltrami Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) (1986-1987) exp no 8 p 1-8
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6 L'identité de Beltrami Cette identité fut découverte en 1868 par Beltrami Nous considérons le Lagrangien suivant : L = f(x(t)x (t))
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Utiliser l'identité de Beltrami pour trouver la courbe y(x) (Important : on a utilisé une conservation pour trouver y(x) en évitant intégrer les équations d'
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On peut alors utiliser la variante multidimensionnelle de l'identité de Beltrami (Proposition 1 3) et écrire les équations d'Euler-Lagrange sous la forme
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Parmi ces méthodes on retrouve l'identité de Beltrami Cette dernière permet de simplifier la résolution d'un problème de commande optimale suivant l'approche
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Identité de Beltrami Un cas particulier fréquent est celui où la fonction L est indépendante de t L'équation d'Euler-Lagrange prend alors la forme
Séminaire P. LELONG, P. DOLBEAULT, H. SKODA
(Analyse) 24e année, 1983/84Lecture Notes in Math.1198, Springer, pages 88-97
Sur l"identité de Kodaira-Nakano
en géométrie hermitienne par Jean-Pierre DemaillyUniversité de Grenoble I, Institut Fourier
Laboratoire de Mathématiques associé au C.N.R.S. n 188BP 74, F-38402 Saint-Martin d"H`eres, France
Nous démontrons une identité de Kodaira-Nakano généralisée, reliant les Laplaciens de Beltrami holomorphes et anti-holomorphes d"un fibré vectoriel hermitien au-dessus d"une variété complexe hermitienne, avec calcul explicite des termes de torsion. We prove a generalized Kodaira-Nakano identity relating holomorphic and anti-holomorphic Laplace-Beltrami operators of a hermitian vector bundle over a hermitian complex manifold, with explicit computations of torsion terms.0. - Introduction et notations.
SoitEun fibré vectoriel holomorphe hermitien de rangrau-dessus d"une variété analy- tique complexeXde dimensionn. On désigne parD=D0+D00la connexion canonique deEet parc(E) =D2=D0D00+D00D0la forme de courbure associée. On suppose donnée une metrique hermitienme !=iX1j;kn!
jkdzj^dz k de classeC1surX. Le module bigraduéL p;qDp;q(X;E)des formes différentiellesC1`a support compact dansXet `a valeurs dansEse trouve alors muni d"un produit scalaire hhujvii=Z X hu;vidV; dV=1n!!n; o`u le produit scalaire ponctuelhu;viest défini `a l"aide de!et de la métrique sur les fibres deE. On désigne par0,00les adjoints (formels) deD0etD00opérant surD;(X;E) et parLl"opérateurLu=!^uetl"adjoint deL. On note enfin [A;B] =AB(1)degAdegBBA2 Séminaire P. Lelong, P. Dolbeault, H. Skoda 1983/1984
le crochet de l"alg`ebre de Lie graduée des endomorphismes deD(X;E)et0= [D0;0];00= [D00;00]
les opérateurs de Laplace-Beltrami holomorphe et anti-holomorphe. On a alors l"identité classique suivante, attribuée a Bochner-Calabi-Kodaira-Nakano.Théoréme.
--Si la métrique!est kählerienne(i.e.d!= 0), on a l"égalité00= 0+ [ic(E);]:
Les demonstrations usuelles de cette identité reposent sur la relation de commuta[ion [;D0] =i00(voir aussi P. Griffiths [1] pour une autre méthode). Dans le cas o`u!n"est pas kählérienne apparaît un terme de torsion supplémentaire que nous nous proposonsd"expliciter compl`etement. De telles formules avaient déj`a été étudiées dans la th`ese de
J. Le Potier [2] et l"article de T. Ohsawa [3] pour démontrer des théor`emes d"annulation de la cohomologie. Comme la th`ese de Le Potier n"est pas aisément accessible, nous avons jugé utile de refaire une partie des calculs en détail, par une méthode d"ailleurs plus élémentaire qui n"utilise pas les formes primitives et la décomposition de Lepage. Nous avons d"autre part poussé les calculs plus loin de mani`ere `a simplifier l"écriture des opérateurs d"ordre un hhparasitesiidus `a la torsion dans l"identité de Kodaira-Nakano (cf. théor`eme 2.12).1. - Relations de commutation.
Siaest un élément de l"alg`ebre extérieureVHomR(TX;C), on note encoreal"opérateur de multiplication extérieureu7!a^u. Le produit intérieur paraest par définition l"opérateur adjointa: hau;vi=hau;vi=hu; a^vi: Nous allons démontrer les relations de commutation suivantes.Théor
`eme 1.1.--Soitl"opérateur de type(1;0)défini par= [;d0!]. Alors: (a)[00;L] =i(D0+); (b)[0;L] =i(D00+); (c)[;D00] =i(0+); (d)[;D0] =i(00+ d0!sera appelée forme de torsion etopérateur de torsion.
Les relations (c) et (d) résultent de (a) et (b) par adjonction. Grâce au lemme ci-dessous, on peut supposer en fait queEest le fibré trivialXCavec métrique constante, et queD=d=d0+d00.
Sur l"identité de Kodaira-Nakano en géométrie hermitienne 3Lemme 1.2.
--Pour toutx02X, il existe un rep`ere holomorphe(e)1rdeEau voisinage dex0tel que he(z);e(z)i=+O(jzj2) relativement `a un syst`eme de coordonnées locales(zj)1jncentré enx0. En effet, si(h)est un rep`ere holomorphe deEorthonormé au pointxet si hh(z);h(z)i=+X j(cjzj+c0jz j) +O(jzj2); c0j=c j; il suffit de poser e (z) =h(z)X ;jc j(z)h(z):Étant donné une sections=P s edeC1p;q(X;E)on a alors D Es=X ds e+O(jzj)00Es=X
00s e+O(jzj); ::: ; ce qui ram`ene la preuve du théor`eme 1.1 au cas du fibré trivialXC. Soit maintenant(zj)1jnun syst`eme de coordonnées locales centré en un pointx02X, tel quedzj(x0)soit une base orthonormée de l"espace cotangent pour la métrique!(x0).Posons
0=iX 1jndz j^dz j !=!0+ avec =O(jzj): Désignons parh;i0,L0,0,00,000le produit scalaire et les opérateurs associés `a la métrique!0et soitdV0=1n!!n0. Les relations de commutation de la géométrie kählérienne dansCnimpliquent [000;L] =id0: La démonstration des relations 1. 1(ad)se fait maintenant grâce `a un développement limité des opérateursL,,0,00en fonction de ces mˆemes opérateurshhfigésiiau pointx0.Lemme 1.3.
--Soientu,vdeux(p;q)-formesC1surX. Alors hu;vidV=hu[ ;0]u;vi0dV0+O(jzj2) au voisinage dex0.Démonstration. - Soit
=iX 1jn jj^ j; 1 2 n4 Séminaire P. Lelong, P. Dolbeault, H. Skoda 1983/1984
une diagonalisation de la(1;1)-forme (z)dans une base(j)deTzX, orthonormée relativement `a!0(z). On a alors !=!0+ =iX 1jn jj^ j avecj= 1 + jet j=O(jzj). PosonsJ=fj1;:::;jpg; J=j1^:::^jp; J=j1:::jp;
u=X jJj=p;jKj=qu J;KJ^K; v=X
jJj=p;jKj=qv J;KJ^ K o`u la somme est étendue aux multi-indicesJ,Kcroissantstels quejJj=p,jKj=q.Relativement `a!on ahj;ji=1
j, d"o`u hu;vidV=X J;K 1 J1KuJ;Kv
J;K1:::ndV0
X J;K 1X j2Jquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3[PDF] formulation variationnelle exercices corrigés
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