[PDF] TES Bac : Exercices types 2013-2014

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TES Bac : Exercices types 2013-2014

1

Sommaire

SUITES GEOMETRIQUES ............................................................................................................................... 2

CONTINUITE ....................................................................................................................................................... 4

FONCTION EXPONENTIELLE ......................................................................................................................... 5

PROBABILITES CONDITIONNELLES .......................................................................................................... 7

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN ......................................................................................................... 9

INTEGRATION .................................................................................................................................................. 10

LOIS A DENSITE ............................................................................................................................................... 11

INTERVALLE DE FLUCTUATION - ESTIMATION ................................................................................. 13

CONVEXITE ........................................................................................................................................................ 15

ALGORITHMIQUE ............................................................................................................................................ 16

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2

SUITES GEOMETRIQUES

Une entreprise du secteur " Bâtiments et travaux publics » doit réduire la quantité de déchets qu'elle rejette pour

respecter une nouvelle norme environnementale. Elle s'engage, à terme, à rejeter moins de 20 000 tonnes de déchets

par an. En 2007, l'entreprise rejetait 40 000 tonnes de déchets.

Depuis cette date, l'entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu'elle rejette de 15% par rapport à la

quantité rejetée l'année précédente, mais elle produit par ailleurs 600 tonnes de nouveaux déchets par an en raison

du développement de nouvelles activités.

Pour tout nombre entier naturel n, on note r

n la quantité, en tonnes, de déchets pour l'année (2007 + n).

On a donc r

0 = 40 000.

1) a) Calculer r

1 et r2.

b) Justifier que, pour tout nombre entier naturel n : r n+1 = 0,85rn + 600.

2) a) A l'aide des droites d'équation y = x et y = 0,85x + 600, construire sur un graphique en escalier qui fera

figurer sur l'axe des abscisses les termes r

0, r1, r2 et r3.

On pourra utiliser un repère orthonormé avec comme échelle 5 000 tonnes représentées par 1 cm en abscisse

et en ordonnée. b) Conjecturer à partir de ce graphique le sens de variation de la suite (r n) et sa limite.

3) Soit (s

n) la suite définie pour tout nombre entier naturel n par sn = rn - 4000. a) Démontrer que la suite (s n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b) Pour tout nombre entier naturel n, exprimer s n en fonction de n. En déduire que, pour tout nombre entier naturel n : r n = 36 000´0,85n + 4 000. c) La quantité de déchets rejetée diminue-t-elle d'une année sur l'autre ?

Justifier.

d) Déterminer la limite de la suite (r n).

e) Calculer une estimation, en tonnes et à une tonne près, de la quantité de rejets en 2011.

4) A partir de quelle année, le contexte restant le même, l'entreprise réussira-t-elle à respecter son engagement ?

1) a) Une diminution de 15% correspond à un coefficient multiplicateur de 1 -15

100 = 0,85

Donc r

1 = 0,85´r0 + 600 = 0,85´40 000 + 600 = 34 600

Donc r

2 = 0,85´r1 + 600 = 0,85´34 600 + 200 = 30 010

b) En passant d'une année à l'autre la quantité de déchets est diminuée de 15% (soit une multiplication par 0,85)

et augmentée d'une part fixe de 600.

On a donc bien r

n+1 = 0,85rn + 600. 2) a) b) Il semble que la suite (r n) soit décroissante et que lim rn = 4 000

3) a) s

n+1 = rn+1 - 4 000 = 0,85rn + 600 - 4000 = 0,85´(sn + 4000) - 3400 s n+1 = 0,85sn + 0,85´4000 - 3400

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3 sn+1 = 0,85sn s0 = r0 - 4 000 = 40 000 - 4 000 = 36 000

Donc (s

n) est la suite géométrique de premier terme s0 = 36 000 et de raison q = 0,85. b) s n = s0´qn = 36 000´0,85n Et r n = sn + 4 000 = 36 000´0,85n + 4 000 c) r n+1 - rn = (36 000´0,85n+1 + 4 000) - (36 000´0,85n + 4 000) r n+1 - rn = 36 000´0,85n´(0,85 - 1) = -1 800´0,85n Or pour tout nombre entier naturel n, -5 400´0,85 n < 0.

Donc r

n+1 < rn

La suite (r

n) est donc décroissante : la quantité de déchets rejetée diminue d'une année sur l'autre.

d) comme 0 < 0,85 < 1 alors lim s n = 0

Et comme r

n = sn + 4 000, alors lim rn = 4 000 e) 2011 = 2007 + 4 u

4 = 36 000´0,854 + 4 000 ≈ 22 792

La quantité de rejets en 2011 peut être estimée à environ 22 792 tonnes.

4) On cherche le plus petit entier n tel que r

n < 20 000.

Année n r(n)

2007 0 40000

2008 1 34600

2009 2 30010

2010 3 26108,5

2011 4 22792,225

2012 5 19973,3913

2013 6 17577,3826

2014 7 15540,7752

Le calcul des premiers termes de la suite (r

n) permet d'affirmer que c'est à partir de 2012 que l'entreprise réussira à respecter son engagement.

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4

CONTINUITE

f est la fonction définie sur [-2 ;3] par : f(x) = x

3 - 3x² + 6

a) Dresser le tableau de variation de f. b) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution a dans l'intervalle [-2 ;3]. c) En déduire le tableau de signes de f(x) sur [-2 ;3]. d) A l'aide de la calculatrice, déterminer l'arrondi de a au centième. a) f en tant que polynôme est dérivable sur Y. f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

Tableau de signes de f'(x) :

x -2 0 2 3

3x - 0 + +

x - 2 - - 0 + f'(x) + 0 - 0 +

On en déduit le tableau de variation de f :

f(-2) = (-2)3 -3´(-2)² + 6 = -8 -3´4 + 6 = -8 - 12 + 6 = -14 f(0) = 0 - 3´0 + 6 = 6 f(2) = 2

3 -3´2² + 6 = 8 - 12 + 6 = 2

f(3) = 3

3 -3´3² + 6 = 27 - 27 + 6 = 6

b) Comme f est strictement croissante sur [-2 ;0] et f(-2) < 0 et f(0) > 0, alors d'après la propriété des valeurs

intermédiaires il existe un réel a Î [-2 ;0] tel que f(a) = 0. D'après le tableau des variations de f, on a de plus si x Î [0 ;3] alors f(x) > 0. Donc l'équation f(x) = 0 admet bien une unique solution a dans l'intervalle [-2 ;3]. c) Tableau de signes de f(x) sur [-2 ;3] : x -2 a 3 f(x) - 0 + d) En utilisant une méthode de recherche par balayage sur la calculatrice, on obtient : a ≈ -1,20 x f' f(x) -2 -14 0 6 2 2 3 6

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5

FONCTION EXPONENTIELLE

On a représenté ci-dessus la courbe C d'une fonction g définie et dérivable sur [0 ;8] ainsi que la tangente T à cette

courbe en son point de coordonnées (0 ;7). On désigne par g' la fonction dérivée de la fonction g.

PARTIE A

1) Préciser la valeur du réel g(0).

2) On admet que la tangente T passe par le point de coordonnées (4 ;-2,8).

Justifier que la valeur exacte de g'(0) est -2,45.

3) On admet que la fonction g est définie sur l'intervalle [0 ;8] par :

g(x) = a e bx + 1 où a et b sont des nombres réels. a) Démontrer que pour tout réel x de [0 ;8], on a g'(x) = -abe bx (ebx + 1)².

b) En utilisant les résultats des questions 1 et 2, déterminer les valeurs des réels a et b.

1) g(0) = 7

2) g'(0) est la pente de la tangente T.

Soit -2,8 - 7

4 - 0 = -2,45.

3) g(x) =a´1

v(x) en posant v(x) = ebx + 1 g'(x) = -a´v'(x) (v(x))²

Or v'(x) = be

bx

Donc g'(x) = -abe

bx (ebx + 1)². b) g(0) = 7 a e

0 + 1 = 7 a = 7´2 = 14

g'(0) = -2,45 -abe 0 (e0 + 1)² = -2,45 -14b = -2,45´4 b = 9,8

14 = 0,7

Donc g(x) =

14 e

0,7x + 1.

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6

PARTIE B

On considère un objet manufacturé dont le prix unitaire est x, en centaines d'euros. D'après une étude de marché,

l'offre f(x) et la demande g(x) pour cet objet, en centaines d'unités, sont définies pour tout x positif ou nul par :

f(x) = e

0,7x - 1 et g(x) = 14

e0,7x + 1.

1) Représenter, sur l'intervalle [0 ;3], la courbe associée à la fonction f dans le repère ci-dessus.

2) Si le prix de vente unitaire de l'objet est 300 €, combien d'objets (à l'unité près) les consommateurs sont-ils

prêts à acheter ?

3) Déterminer le prix de vente unitaire de l'objet, arrondi à dix euros près, pour que la demande soit de 350

objets ?

4) a) Donner une valeur approchée au dixième de l'unique solution de l'équation f(x) = g(x).

On appelle " prix d'équilibre » le prix permettant l'égalité entre l'offre et la demande.

Quel est le prix d'équilibre, arrondi à dix euros près.

b) Au prix d'équilibre, quelle est la valeur commune de l'offre et de la demande, arrondie à dix unités près ?

c) Quel est le chiffre d'affaire, arrondi à mille euros près, généré par les ventes au prix d'équilibre ?

1)

2) On calcule une valeur approchée de g(3) = 14

e

0,7´3 + 1 = 14

e2,1 + 1 » 1,527.

Si le prix de vente unitaire de l'objet est 300 €, les consommateurs sont prêts à acheter environ 153 objets.

3) a) On lit l'abscisse du point d'intersection des courbes représentant les fonctions f et g. On lit environ :

1,9. Le prix d'équilibre est donc environ égal à 190 €.

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7

PROBABILITES CONDITIONNELLES

Dans un lycée, 60% des élèves de Terminale sont des filles et 40% d'entre elles ont choisi la filière ES.

On sait par ailleurs que 50% des garçons ont choisi cette filière.

On choisit au hasard un élève de Terminale.

a) Représenter l'expérience par un arbre pondéré. b) Calculer la probabilité que l'élève choisi soit une fille de la section ES. c) Calculer la probabilité que l'élève choisi soit en section ES. d) L'élève choisi est en section ES. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ? a) b) Soit F l'évènement " l'élève est une fille.» Soit ES l'évènement " l'élève est en série ES ». On calcule la probabilité P(F Ç ES) = P(F)´P

F(ES) = 0,6´0,4 = 0,24

c) Les évènements F et F forment une partition de l'univers. Donc, d'après la formule des probabilités totales, on a :

P(ES) = P(F Ç ES) + P( F

Ç ES) = P(F)´PF(ES) + PF(ES°)

Soit P(ES) = 6´0,4 + 0,4´0,5 = 0,24 + 0,2 = 0,44. d) P

ES(F) = P(ES Ç F)

P(ES) = 0,24

0,44 = 6

11 L'élève choisi étant en série ES, la probabilité que ce soit une fille est 6 11 Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert : • un assortiment de macarons, choisi par 50 % des clients ; • une part de tarte tatin, choisie par 30 % des clients.

20 % des

clients ne prennent pas de dessert et aucun client ne prend plusieurs desserts. Le restaurateur a remarqué que : • parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, 80 % prennent un café ; • parmi les clients ayant pris une part de tarte tatin, 60 % prennent un café ; • parmi les clients n'ayant pas pris de dessert, 90 % prennent un café.

On interroge au hasard un client de ce restaurant. On note p la probabilité associée à cette

expérience aléatoire.

On note :

• M l'évènement : " Le client prend un assortiment de macarons » ; • T l'évènement : " Le client prend une part de tarte tatin » ; Fille

Garçon

0,6 0,4 ES

Autre série

0,4 0,6 ES

Autre série

0,5 0,5

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8 • P l'évènement : " Le client ne prend pas de dessert » ;

• C l'évènement : " Le client prend un café » et C l'évènement contraire de C .

1) P(T) = 30

100 = 0,3 et PT(C) = 60

100 = 0,6

2)

3) a) L'événement M Ç C représente un client qui prend un macaron et un dessert.

P(M Ç C) = 0,5´0,8 = 0,4

b) Les événements M, T et P forment une partition de l'univers ; donc d'après la formule des

probabilités totales :

P(C) = P(M Ç C) + P(T Ç C) + P(P Ç P) = 0,5´0,8 + 0,3´0,6 + 0,2´0,9 = 0,4 + 0,18 + 0,18 = 0,76

4) On cherche la probabilité conditionnelle P

C(M) = P(C Ç M)

P(C) = 0,4

0,76 » 0,53

5) a) Les 6 valeurs possibles pour la somme dépensée par un client sont :

18 € ; 18 + 2 = 20 € ; 18 + 6 = 24 € ; 18 + 7 = 25 € ; 18 + 6 + 2 = 26 € ; 18 + 7 + 2 = 27 €.

b)

Somme si 18 20 24 25 26 27

p(si) 0,02 0,18 0,5´0,2 = 0,1 0,3´0,4 = 0,12 0,5´0,8 = 0,4 0,3´0,6 = 0,18 On vérifie que 0,02 + 0,18 + 0,1 + 0,12 + 0,4 + 0,18 = 1 c) E(S) = 18´0,02 + 20´0,18 + 24´0,1 + 25´0,12 + 26´0,4 + 27´0,18 = 24,62 € La somme moyenne dépensée par un client pour un repas est de 24,62 €. 0,3 0,2 0,2 0,6 0,4 0,9 0,1

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9 x f' f(x) 1 0 4

15 - 8´ln 4

6

15 - 8´ln 6

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

Une entreprise produit et vend des pièces pour hélicoptères. Sa production mensuelle, comprise entre 100 et 600

pièces, est intégralement vendue. Le bénéfice mensuel, en dizaines de milliers d'euros, est modélisé par la fonction f

définie sur l'intervalle [1 ;6] par : f(x) = -x² + 10x - 9 - 8 ln x. où x est le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines de pièces. a) Montrer que, pour tout réel x appartenant à l'intervalle [1 ;6], f'(x) = -2(x - 1)(x - 4) x b) Etudier le signe de f'(x) sur l'intervalle [1 ;6]. c) En déduire le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [1 ;6].

d) Quelle est la quantité de pièces à produire pour obtenir un bénéfice mensuel maximal ?

Calculer ce bénéfice arrondi à l'euro près.

a) f est dérivable sur [1 ;6] car les fonctions x -x² + 10x - 9 est dérivable sur Y et la fonction x -8 ln x

est dérivable sur ]0 ; + ¥[. f'(x) = -2x + 10 - 8 x = -2x² + 10x - 8 x = -2(x² - 5x + 4) x = -2(x - 1)(x - 4) x b) Sur l'intervalle [1 ;6], f'(x) est du signe de P(x) = -2(x - 1)(x - 4)

Tableau de signes :

x 1 4 6 -2(x - 1) 0 - - x - 4 - 0 + P(x) 0 + 0 - c) Tableau de variation de f : f(1) = -1² + 10´1 - 9 - 8´ln 1 = -1 + 10 - 9 - 8´0 = 0 f(4) = -4² + 10´4 - 9 - 8´ln 4 = -16 + 40 - 9 - 8´ln 4 = 15 - 8´ln 4 f(6) = -6² + 10´6 - 9 -8´ln 6 = -36 + 60 - 9 - 8´ln 6 = 15 - 8´ln 6 d) Le maximum de f est atteint pour x = 4 soit pour 400 pièces produites.

La valeur de ce maximum est 15 - 8´ln 4 ≈ 3,9096 ce qui correspond au bénéfice maximum de 39 010 €.

Vérification en visualisant la représentation graphique de f :

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10

INTEGRATION

1ère partie : Étude d'une fonction

On considère la fonction f définie sur [0 ; 5] par = -- 8. 1.

Montrer que f ′ (x) = xex où f ′ désigne la fonction dérivée de f sur [0 ; 5].

2. Dresser le tableau de variations complet de de f sur [0 ; 5]. 3. a) Montrer que l'équation f (x) = 0 admet sur [0 ; 5] une unique solution a. b)

Montrer que 2, 040 < a < 2, 041.

c)

En utilisant les questions précédentes, déduire le signe de f (x) en fonction des valeurs de x sur

0; 5].

4. a) Montrer que la fonction g définie sur [0 ; 5] par = - 2- 8 est une primitive de f sur [0 ; 5]. b)

Calculer la valeur exacte de

1) f(x) = u(x)´v(x) - ex - 8 avec u(x) = x et v(x) = ex

f'(x) = u'(x)´v(x) + u(x)´v'(x) - e x

Or u'(x) = 1 et v'(x) = ex

Donc f'(x) = 1´e

x + xex - ex = xex

2) Sur [0 ;5] x´ex ³ 0 ; donc f est croissante sur [0 ;5].

f(0) = 0´e

0 - e0 - 8 = 0 - 1 - 8 = -7 et f(5) = 5´e5 - e5 - 8 = 4e5 - 8 » 586

3) a) f est continue et strictement croissante sur [0 ;5] et f(0) < 0 et f(5) > 0 ; donc d'après la propriété des

valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0 admet une solution unique a appartenant à l'intervalle [0 ;5].

b) Avec la calculatrice, f(2,040) » -0,0017 < 0 et f(2,041) = 0,014 > 0

Donc 2,040 < a < 2,041

4) a) g'(x) = e

x + xex - 2ex - 8 = xex - ex - 8 = f(x)

Donc g est bien une primitive de f sur [0 ;5]

b) = g(5) - g(3) = (5e5 - 2e5 - 8´5) - (3e3 - 2e3 - 8´3) = 3e5 - e3 - 16

2ème partie : Application à une situation économique

Une entreprise fabrique x milliers d'objets avec x appartenant à [0; 5]. La

fonction f de la 1ère partie modélise les bénéfices ou les pertes de l'entreprise en centaine

d'euros.

Pour une quantité x donnée, si f (x) est positif, l'entreprise réalise un bénéfice, et si f (x) est négatif,

l'entreprise subit une perte.

En utilisant les résultats de la 1ère partie, répondre aux questions suivantes en justifiant :

1.

À partir de combien d'objets produits, l'entreprise commence-t-elle à réaliser des bénéfices ?

2. L'entreprise pense produire régulièrement entre 3 et 5 milliers d'objets. Déterminer la valeur moyenne du bénéfice sur [3 ; 5]. (On donnera le résultat arrondi à l'euro près).

1) On résout l'inéquation f(x) ³ 0 : soit x ³ a

Soit x > 2,041

L'entreprise commence à réaliser des bénéfices à partir de 2041 objets produits.

2) La valeur moyenne est m = 1

5 - 3 ⌡⌠35f(x)dx = 1

2´(3e5 - e3 - 16) » 204,58

La valeur moyenne du bénéfice sur [3 ; 5] est donc environ 20 458 €.

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11

LOIS A DENSITE

Contrôle du poids d'une pièce

Une entreprise fabrique des pièces en grande série. Une pièce est conforme si sa masse, en grammes, est comprise entre 7,495 et 7,505. L'entreprise dispose d'une machine de contrôle des pièces fabriquées. On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur la masse d'une pièce en grammes. On admet que X suit une loi normale d'espérance mathématique 7,5 et d'écart-type s.

a) Après une période de production, la machine de fabrication a subi un dérèglement brutal.

L'écart-type s vaut alors 0,015.

Calculer la probabilité qu'une pièce soit conforme.

b) Calculer la valeur de s pour laquelle la probabilité qu'une pièce soit conforme est égale à 0,99. On posera Y =

X - 7,5

s et on exprimera les conditions portant sur Y.

c) On suppose que s vaut 0,002 et qu'à la suite d'un nouveau dérèglement, la variable aléatoire X suit la loi

normale d'espérance 7,502 et d'écart-type 0,002. Calculer la probabilité qu'une pièce soit conforme. a) On cherche P(7,495 £ X £ 7,505) avec m = 7,5 et s = 0,015

· A l'aide de la calculatrice, on obtient :

· Ou bien à l'aide de la formule d'un tableur suivante : =LOI.NORMALE.N(7,505;7,5;0,015;VRAI) - LOI.NORMALE.N(7,495;7,5;0,015;VRAI) · Ou bien à l'aide de l'outil " Calculs de probabilité » de GeoGebra : La probabilité qu'une pièce soit conforme est donc environ égale à 0,261. b) On cherche s tel que P(7,495 £ X £ 7,505) = 0,99 avec m = 7,5.

Soit P(

-0,005 s

£ Y £ 0,005

s) = 0,99 La variable aléatoire Y suit la la loi normale centrée et réduite

N(0 ;1).

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12

On pose u = 0,005

s. P( -0,005 s

£ Y £ 0,005

s) = 0,99 P(-u £ Y £ u) = 0,99 P(Y £ u) - P(Y £ -u) = 0,99 P(Y £ u) - (1 - P(Y £ u)) = 0,99 2´P(Y £ u) - 1 = 0,99 P(Y £ u) = 1,99 2 P(Y £ u) = 0,995

A l'aide de la fonction

FracNormale d'une calculatrice TI, on obtient

Avec un tableur, on utilise la formule :

=LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE.N(0,995)

On a donc u ≈ 2,5783

Soit 0,005

s ≈ 2,5783

D'où : s ≈ 0,005

2,5783

≈ 0,00194

Pour que la probabilité qu'une pièce soit conforme soit égale à 0,99 il faut prendre pour s une valeur proche

de 0,00194. c) On cherche P(7,495 £ X £ 7,505) avec m = 7,502 et s = 0,002

· Avec la calculatrice :

· Avec un tableur :

· Ou bien à l'aide de l'outil " Calculs de probabilité » de GeoGebra :

La probabilité que la pièce soit conforme avec m = 7,502 et s = 0,002 est environ égale à 0,933.

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13

INTERVALLE DE FLUCTUATION - ESTIMATION

On jette 300 fois un dé à 6 faces et on obtient 39 fois le 5. a) En supposant que le dé est équilibré, quelle est la probabilité d'obtenir le 5 ?

b) Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion 5 obtenus pour

échantillon de taille 300.

c) Au seuil de 95%, doit-on rejeter l'hypothèse selon laquelle le dé est équilibré ?quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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