Déterminants
Cependant il est facile de calculer le déterminant de matrices triangulaires. Proposition 4. Le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure)
Cours de mathématiques
Corollaire (déterminant d'une matrice diagonale ; d'une matrice triangulaire). Si M = [mij]i
Chapitre 7 D´eterminants
Autrement dit pour une matrice triangulaire
Matrices et déterminants
31-Aug-2021 2.1 Matrices triangulaires par blocs. Proposition 2.1.1. [déterminant d'une matrice triangulaire par blocs]. Soit M = A C.
Sommaire 1. Déterminant dune matrice carrée
Remarque : On utilise souvent ceci pour « faire apparaitre des 0 » dans une ligne ou une colonne. 1.6. Déterminant d'une matrice triangulaire. Théorème : ? =
chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices
inversible P de Mn(K) et une matrice triangulaire supérieure T `a d'une matrice tels que sa trace et son déterminant
Calculs de déterminants
Se ramener à une matrice diagonale ou triangulaire. Si dans une matrice on change un ligne Li en Li ??Lj alors le déterminant reste le même. Même chose.
Déterminants
Déterminant d'une matrice triangulaire. Propriétés du déterminant relatives aux opérations sur les matrices carrées. Calcul du déterminant d'une matrice
Analyse Numérique 0 0
On suppose que la matrice triangulaire inférieure L est inversible. Le déterminant de la matrice proposée peut se calculer de la mani`ere suivante.
Calcul matriciel
28-Feb-2013 deux matrices triangulaires supérieures est une matrice ... Une matrice M est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
[PDF] Déterminants - Exo7 - Cours de mathématiques
2 Calculer le déterminant de chacune des matrices suivantes en se ramenant par des opérations élémentaires à une matrice triangulaire a b c d
[PDF] Déterminants
12 sept 2016 · Le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs est le produit des déterminants des blocs diagonaux Démonstration : Par la proposition
[PDF] Trigonalisation et diagonalisation des matrices
— Le théor`eme de trigonalisation nous permet de relier des invariants d'une matrice tels que sa trace et son déterminant `a ses valeurs propres Si une
Rang et déterminant des matrices - LaBRI
4 sept 2019 · Soit A ? Mnp(R) une matrice on appelle rang de la matrice A Le déterminant d'une matrice diagonale ou triangulaire est égal
[PDF] Chapitre 7 D´eterminants
Un des usages des déterminants est de caractériser les matrices inversibles Proposition 51 Si A est une matrice triangulaire supérieure ou inférieure alors on
[PDF] Déterminant - Mathieu Mansuy
On se ram`ene ainsi `a une matrice échelonnée triangulaire inférieure (inutile de la réduire) dont le calcul du déterminant est aisé Exemple Calculer le
[PDF] DÉTERMINANTS - Christophe Bertault
En particulier le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux Démonstration L'invariance par transposition permet
[PDF] Chapitre 5 Déterminant
Le déterminant d'une matrice carrée est un scalaire dont la valeur fournit une indication sur l'inversibilité de cette matrice Pour préciser la nature de cette
[PDF] Généralités sur les matrices
Multiplication de deux matrices et de dimensions respectives et : 3 Déterminant ( ou ) Matrice triangulaire supérieure :
[PDF] Déterminant
Le cacul du déterminant de la matrice est alors le déterminant du produit des matrices élémentaires qui transforme la matrice triangulaire en la matrice
Quel est le déterminant d'une matrice triangulaire ?
Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des termes de la diagonale principale. En particulier, le déterminant d'une matrice diagonale est le produit des termes de la diagonale principale.Quel est le rang de la matrice à ?
Définition : Rang d'une matrice
Le « rang » d'une matrice �� , noté r g ( �� ) , est le nombre de lignes ou de colonnes �� , de la plus grande sous-matrice carrée �� × �� de la matrice �� de déterminant non nul.Comment trouver le déterminant d'une matrice ?
Le déterminant d'une matrice diagonale ou triangulaire (supérieure ou inférieure) est égal au produit des termes de la diagonale principale. Comme pour les déterminants d'ordre 2, la valeur du déterminant est égale au produit des termes de la diagonale principale.- Déterminant d'une matrice de dimension 3
Il suffit alors d'effectuer les produits des coefficients de chaque diagonale et d'en faire la somme si la diagonale est descendante ou la différence si la diagonale est ascendante. Ce n'est toutefois pas toujours la méthode la plus simple ou la plus rapide.
CHAPITRE
7Trigonalisation et diagonalisation
des matrices Sommaire1 Trigonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Diagonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73 Une obstruction au caract
`ere diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . .114 Caract
´erisation des matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . .125 Matrices diagonalisables : premi
`eres applications . . . . . . . . . . . . .156 Trigonalisation et diagonalisation des endomorphismes . . . . . . . . . .
177 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20 Nous abordons dans ce chapitre les probl
`emes de trigonalisation et diagonalisation des ma- trices. Nous montrons que toute matrice `a coefficients complexes est trigonalisable, c"est-`a-dire semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure. On pr´esente quelques cons´equences th´eoriques importantes de ce r´esultat.
Le probl
`eme de la diagonalisation est plus´epineux. Une matrice n"est pas en g´en´eral dia- gonalisable, c"est- `a-dire semblable`a une matrice diagonale. Dans ce chapitre, on s"int´eressera aux obstructions au caract `ere diagonalisable. En particulier, nous donnerons une caract´erisation de nature g´eom´etrique des matrices diagonalisables.
Nous pr
´esentons deux applications imm´ediates de la diagonalisation des matrices avec le calcul des puissances d"une matrice diagonalisable et la r´esolution des syst`emes diff´erentiels
lin ´eaires d´efinis par une matrice diagonalisable. Nous reviendrons sur ces deux applications dans les prochains chapitres, notamment dans le cas o `u ils mettent en jeu des matrices non diagonalisables. x1 Trigonalisation des matrices7.1.1. D
´efinition.-Une matriceAdeMn(K)est ditetrigonalisabledansMn(K), siAest semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure deMn(K). C"est-`a-dire, s"il existe une matrice 1 2CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION
DES MATRICES
inversiblePdeMn(K)et une matrice triangulaire sup´erieureT`a coefficients dansKtelles queA=PTP1:(7.1)
On notera que toute matrice triangulaire sup
´erieure´etant semblable`a une matrice triangu- laireinf a une matrice triangulaire inf´erieure.7.1.2 Exercice.-SoitAune matrice deMn(K)et soitune valeur propre deA. Montrer
que la matriceAest semblable`a une matrice de la forme 2 6 6640...B 03 7 775
o `uBest une matrice deMn1(K).
7.1.3. Caract
´erisation des matrices trigonalisables.-Le r´esultat suivant fournit une ca- ract ´erisation des matrices trigonalisables.7.1.4 Th ´eor`eme (Th´eor`eme de trigonalisation).-Une matriceAdeMn(K)est trigonalisable dansMn(K)si, et seulement si, son polynˆome caract´eristiquepAest scind´esurK.Preuve.La condition est n ´ecessaire. SiAest une matrice trigonalisable, par d´efinition, elle est
semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure : t=2 6 6641
02...............
00n3 7 775Le polyn
ˆome caract´eristique de la matriceTest scind´e : pT= (1)n(x1):::(xn):
D"apr `es la proposition 6.3.3, deux matrices semblables ont mˆeme polynˆome caract´eristique. Ainsi,pA=pTet par suite le polynˆome caract´eristique deAest scind´e surK.La condition est suffisante. On proc
`ede par r´ecurrence surn. Toute matrice deM1(K)est trigonalisable. On suppose que tout matrice deMn1(K), dont le polynˆome caract´eristique est scind ´e, est trigonalisable, montrons que cela est vrai pour toute matrice deMn(K). SoitA2 Mn(K), telle que le polynˆomepAsoit scind´e surK. Le polynˆomepAadmet donc au moins une racinedansK. Consid´erons un vecteur propreedansKnassoci´e`a la valeur propre. Compl´etons le vecteureen une baseB= (e;e2;:::;en)deKn. SoituA l"endomorphisme deKnassoci´e`a la matriceA,i.e., l"endomorphisme d´efini, pour tout vecteur xdeKn, paruA(x) =Ax. On a uA(e) =Ae=e;
CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION
DES MATRICES3
par suite, la matrice de l"endomorphismeuAexprim´e dans la baseBest [uA]B=2 6 6640...B 03 7 775;
o `uBest une matrice deMn1(K). La matriceA´etant semblable`a la matrice[uA]B, il existe une matrice inversiblePdeMn(C), telle que P 1AP=2 6 664
0...B 03 7 775:
De plus, d"apr
`es 6.3.8, le polynˆome caract´eristique du blocBdivise le polynˆome caract´eristiquede la matriceA, il est donc scind´e comme ce dernier. Par hypoth`ese de r´ecurrence, la matriceB
est semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure, il existe une matrice inversibleQdans M n1(K), telle quet0=Q1BQsoit triangulaire sup´erieure. En multipliant par blocs, on a : 2 66641 00
0...Q 03 7 7751P 1AP2 6
6641 00
0...Q 03 7 775=26 664
0...Q1BQ
03 7 7752 6 664
0...T0
03 7 775:En posant
R=P2 66641 00
0...Q 03 7 775;la derni `ere´egalit´e s"´ecrit R 1AR=2 6
6641 00
0...Q 03 7 775:Ainsi,Aest semblable`a une triangulaire sup´erieure.
7.1.5. Trigonalisation surC.-Voici une premi`ere cons´equence importante du th´eor`eme de
trigonalisation.D"apr nul deC[x]est scind´e surC. Par suite, on a 4CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION
DES MATRICES7.1.6 Proposition.-Toute matriceAdeMn(C)est trigonalisable dansMn(C).Notons que toute matriceAdeMn(R)peut toujours se trigonaliser dansMn(C). En effet,
si le polyn ˆome carat´eristique deAest scind´e surR,Aest trigonalisable dansMn(R). Sinon, le polyn ˆomepAest toujours scind´e dansMn(C). Il existe alors une matrice inversiblePet une matrice triangulaireTdeMn(C)telles queA=PTP1.7.1.7. Exemple.-La matrice suivante deM4(R)
A=2 66401 1 1
1 0 1 1
0 0 01
0 0 1 03
7 75admet pour polyn
ˆome caract´eristique
pA= (x2+ 1)2:
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