Représentation et analyse des syst`emes linéaires PC 3 Formes
Les formes compagnes. 4. La forme compagne de commande : algorithme. La matrice de passage : Pc = [P1 P2 ··· Pn]. Pn = B. Pn?1 = (A + an?11n)B.
Représentation et analyse des syst`emes linéaires 1 Compléments
On obtient alors la forme compagne de commande : Ac2 = P2AP?1 Pour P = C on obtient la forme canonique compagne de commande suivante. Ac3 = P?1AP =.
CRONE CONTROL
B est la matrice (nxm) de commande qui traduit l'effet de u sur l'état x Quand un système est décrit sous sa forme compagne commandable il assez facile.
Liens entre fonction de transfert et représentations détat dun système
(formes canoniques de la représentation d'état) en faisant varier la commande ... Cette forme est dite compagne (de la FT) commandable. Les.
INSA de Toulouse spécialité AEI 4`eme année Travaux Dirigés d
La matrice Qc est de rang plein donc le syst`eme est command- Matrices de passage aux formes compagnes a. Forme compagne de commande.
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28 juin 2017 la forme compagne horizontale (3.12) associée `a une matrice d'état ici notée ˜A et `a un vecteur de commande ici.
NOTES DE COURS : TECHNIQUES DE COMMANDE AVANCÉE
Cette forme de représentation est appelée forme compagne car la matrice de commande du système contient en une seule ligne
Retour détat et Observateur 1
Cette matrice reste en forme compagne de commande il est donc inutile de calculer le polynôme caractéristique. Par identification
Représentation et analyse des syst`emes linéaires
Le passage de la représentation d'état quelconque (3.12) `a la forme compagne de commande nécessite le calcul de la matrice de passage P.
REPRÉSENTATION DÉTAT ET COMMANDE DANS LESPACE D
Par rapport au cas de la forme compagne pour la commande il a été ajouté une étape de calcul du polynôme caractéristique de la matrice d'état du système bouclé
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Exercice 1 : Donner la forme modale réelle ainsi que les formes compagnes de commande et d'observation des réalisations d'état minimales associées aux fonctions
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A est sous forme compagne : Les coefficients ai sont les coefficients du polynôme caractéristique de A : det(?I ? A) = ?n + an?1?n?1 + ··· + a1? + a0
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2`emeann´ee ENSIP, parcours MEE
Cours d"Automatique
Repr´esentations d"´etat lin´eaires
des syst `emes monovariablesOlivier BACHELIER
Courriel :
Olivier.Bachelier@univ-poitiers.fr
Tel : 05-49-45-36-79; Fax : 05-49-45-40-34
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28 juin 2017
R´esum´e
Ce cours d"Automatique s"inscrit dans le cadre de la deuxi`eme ann´ee de?cycle ing´enieur?de l"´EcoleNationaleSup´erieure d"Ing´enieurs dePoitiers (ENSIP) et s"adresse aux ´etudiants de
la fili`ere´Energie, parcoursMaˆıtrise de´Energie´Electrique (MEE). Ces derniers ont d´ej`a suivi
un enseignement relatif `a l"´etude des syst`emes lin´eaires mod´elis´es par une fonction de transfert
(approche fr´equentielle). Ce cours s"int´eresse aux mˆemes syst`emes mais propose une ´etude via un
mod`ele diff´erent, appel´e repr´esentation d"´etat lin´eaire (approche temporelle).Connaissances pr
´ealables souhait´ees :
notions de syst`emes lin´eaires, ´equations diff´erentielles, fonction de transfert enp(voire enz), analyse et commande des syst`emes lin´eaires par approche fr´equentielle, quelques bases d"alg`ebre lin´eaire. iiTable des mati`eres
1Introduction1
1.1Notion de syst`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2Notion de mod`ele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3Grandes lignes du cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2Rappel sur la fonction de transfert5
2.1´Equations pr´eliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Lin´earit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Mod`ele entr´ee/sortie : l"´equation diff´erentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 Transform´ee de Laplace : de l"´equation diff´erentielle `a la fonction de transfert. . . . . . . 6
2.2Fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Comment obtenir la fonction de transfert?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Int´erˆet de la fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3La repr´esentation d"´etat11
3.1Principe g´en´eral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2De la non-lin´earit´e `a la lin´earit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3Historique de la repr´esentation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4Comment obtenir un mod`ele d"´etat?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4.1 Par le jeu d"´equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4.2 Par l"´equation diff´erentielle unique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5De la fonction de transfert `a la repr´esentation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.1 Cas d"une fonction de transfert strictement propre (m < n). . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.1.1R´ealisation diagonale ou quasi diagonale de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.1.2R´ealisation de forme compagne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5.2 Cas d"une fonction de transfert non strictement propre (m=n). . . . . . . . . . . . . . 20
3.6De la repr´esentation d"´etat `a la fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.7D"une r´ealisation `a l"autre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.7.1 Changement de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.7.2 Obtention d"une forme compagne (horizontale). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.7.3 Obtention d"une forme de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.7.3.1Les valeurs propresλideAsont distinctes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.7.3.2Les valeurs propresλideAsont multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4R´eponse d"un mod`ele d"´etat25
4.1Solution du syst`eme autonome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1 Matrice de transition d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.2 Solution de l"´equation homog`ene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2Solution de l"´equation d"´etat compl`ete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3Calcul deeAt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3.1 M´ethode des s´eries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3.2 Par la transformation de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3.3 M´ethodes des modes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iiiTABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES
4.4R´egime transitoire : influence des modes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5R´eponse impulsionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.6R´eponse indicielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.7R´eponse harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5Stabilit´e des mod`eles d"´etat35
5.1Une approche quasi intuitive : la stabilit´e BIBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2Stabilit´e d"un ´etat d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.1 D´efinition et recherche d"un ´etat d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.2 Stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3Crit`eres de stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3.1 Crit`ere des racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.1.1rang(A) =n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.1.2rang(A) =n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3.1.3rang(A)< n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3.1.4En r´esum´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3.1.5Stabilit´e interne et stabilit´e BIBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3.1.6Les marges de stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3.2 Crit`ere de Routh/Hurwitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3.3 M´ethode de Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6Commandabilit´e et observabilit´e43
6.1D´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.1 Commandabilit´e ou gouvernabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.2 Observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.2Crit`ere de Kalman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2.1 Commandabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2.2 Observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2.3 Dualit´e des deux concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.3Crit`eres s"appliquant aux formes de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3.1Adiagonalisable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3.2Anon diagonalisable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.4Grammiens de commandabilit´e et d"observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4.1 D´efinition des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4.2 Interpr´etation des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4.3 Calcul des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.5Mod`eles et structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.5.1 Diff´erence entre les mod`eles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.5.2 Syst`emes composites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.6R´ealisation minimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.6.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.6.2 R´ealisation minimale et notion de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.6.3 R´ealisation minimale et stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7Commande par retour d"´etat55
7.1Notion de retour d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.2Retour d"´etat et performances transitoires : le placementde pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2.1 Commandabilit´e et placement de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2.2 Placement de pˆoles sur une r´ealisation canonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2.3 Placement de pˆoles sur une r´ealisation quelconque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.2.3.1Obtention de la forme canonique `a partir de la fonction de transfert. . . . . . . 58
7.2.3.2Obtention de la forme canonique `a partir d"une autre r´ealisation. . . . . . . . . 58
7.2.3.3Algorithme de placement de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.3Performances statiques et retour d"´etat : la pr´ecommande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.4Rejet de perturbation et retour d"´etat : adjonction d"int´egrateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
ivTABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES
7.4.1 Premi`ere approche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.4.2 Seconde approche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8Commande par retour de sortie : les observateurs69
8.1Notions pr´eliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.1.1 Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.1.2 Principe de l"observation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.1.3 Propri´et´e d"un observateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.1.4 Condition d"existence d"un observateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.1.5`A propos de la transmission directe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2Synth`ese d"un observateur d"ordre minimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2.1 Observateur d"ordre minimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2.2 Proc´edure de Luenberger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.3Synth`ese d"un observateur d"ordre plein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.3.1 Observateur d"ordre plein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.3.2 Proc´edure de synth`ese. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.4Commande par retour d"´etat observ´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9Introduction`a la repr´esentation d"´etat discr`ete81
9.1Rappels sur les signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.1.1 Signaux continus, discrets, quantifi´es, non quantifi´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.1.2 Transformation de signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.1.2.1´Echantillonnage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.1.2.2Quantification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.1.2.3Blocage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.2Syst`emes discrets lin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.2.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.2.2 Mod`eles externes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.2.2.1´Equation r´ecurrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.2.2.2Transformation enz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.2.2.3Fonction de transfert enz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.2.3 Repr´esentation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.2.4 Lien entre les mod`eles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2.4.1D"une r´ealisation `a l"autre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2.4.2De l"´equation d"´etat `a la fonction de transfert enz. . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2.4.3De la fonction de transfert enz`a l"´equation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.3Syst`emes ´echantillonn´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.3.1 Pourquoi ´etudier les mod`eles discrets? (notion de syst`eme ´echantillonn´e). . . . . . . . . 88
9.3.2 La commande num´erique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.3.3´Echantillonnage et th´eor`eme de Shannon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.3.4 Obtention d"un mod`ele ´echantillonn´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.3.4.1Calcul deG(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.3.4.2Mod`ele d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.4R´eponse d"un syst`eme discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.4.1 R´eponse du mod`ele d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.4.1.1R´eponse par r´esolution de l"´equation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.4.1.2Calcul deAk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.4.1.3R´eponse d"un syst`eme ´echantillonn´e.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.4.2 Analyse de la r´eponse : ´etude des modes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.5Stabilit´e d"un syst`eme discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.5.1 Stabilit´e BIBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.5.2 Stabilit´e interne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.5.2.1D´efinition et recherche d"un ´etat d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.5.2.2Stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.5.3 Crit`ere des racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
vTABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES
9.5.3.1R´esultat g´en´eral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.5.3.2Stabilit´e interne et stabilit´e BIBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.5.3.3Marge de stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.5.4 Crit`ere de Jury. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.5.5 M´ethode de Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.5.6 Stabilit´e d"un syst`eme ´echantillonn´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.5.6.1´Echantilonnage d"une boucle ouverte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.5.6.2Bouclage d"un syst`eme ´echantillonn´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.6Commandabilit´e/observabilit´ed"un mod`ele discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.6.1 D´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.1.1Commandabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.1.2Observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.2 Crit`ere de Kalman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.2.1Commandabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.2.2Observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.2.3Dualit´e des deux concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.6.3 Crit`eres s"appliquant aux formes de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.6.4 Grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.6.4.1D´efinition des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.6.4.2Interpr´etation des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.6.4.3Calcul des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.6.5 Mod`eles et structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.6.6 R´ealisation minimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.7Commande par retour d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.7.1 Les diff´erentes approches de la commande num´erique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.7.2 Retour d"´etat discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.7.3 Placement de pˆoles par retour d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.7.3.1Commandabilit´e et placement de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.7.3.2Technique de placement de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.8Commande par retour de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10Conclusion107
10.1R´esum´e du cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.2Perspectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Annexes109
ARappels d"alg`ebre et d"analyse111
A.1`A propos des matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.1.1 Transposition et conjugaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.1.2 Matrices carr´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.1.3 Op´erations sur les matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A.1.3.1Addition de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 A.1.3.2Multiplication de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112A.1.4 D´eterminant d"une matrice carr´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.1.4.1D´eterminant d"une matrice carr´ee d"ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 A.1.4.2D´eterminant d"une matrice carr´e d"ordre 3 ou plus. . . . . . . . . . . . . . . . 114A.1.4.3Quelques propri´et´es du d´eterminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.5 Cofacteurs et matrice adjointe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.6 Polynˆome caract´eristique d"une matrice carr´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.7 Rang d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.8 Matrices inverses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.8.1D´efinition et calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115A.1.8.2Propri´et´es des inverses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.1.9 Valeurs propres d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
viTABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES
A.1.9.1Structure propre d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116A.1.9.2Propri´et´es des valeurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.1.9.3Propri´et´es des vecteurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.1.10 Rang d"une matrice carr´ee, d´eterminant et valeurspropres. . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.1.11 Trace d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.2`A propos de la d´efinition positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.2.1 Fonction d´efinie positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.2.2 Matrices Hermitiennes d´efinies en signe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
B`A propos du r´egime transitoire121
B.1Influence du spectre de la matrice d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
B.2Influence des vecteurs propres deA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
B.2.1 Couplage modes/sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
B.2.2 couplage modes/commandes en boucle ferm´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123B.2.3 Couplage modes/consigne en boucle ferm´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
B.2.4 En r´esum´e sur les vecteurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B.3Influence des z´eros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B.3.1 Les z´eros d"un mod`ele d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B.3.2 Contribution des z´eros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
CFormule d"Ackermann pour le placement de pˆoles par retour d"´etat127C.1Rappel du probl`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
C.2R´esolution selon Ackermann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
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