[PDF] [PDF] 1 Fonction de transfert zpkdata - Extract zero/pole/gain

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Ecole des Mines d"Albi-Carmaux Formation Initiale - M1

Une introduction `a

MATLAB - CONTROL SYSTEM TOOLBOX (version R2012a)

TD MATLAB N

o1 Pour en savoir plus, consulter les fichiers d"aide en ligne : -"Getting Started with the Control System Toolbox» -"Using the Control System Toolbox»

1 Fonction de transfert

1.1 Exemple 1 : 1erordre

T(p) =K

1 +T p

Instructions

>> K=10; >> T=0.5; >> num = [K]; >> den = [T 1]; >> sys = tf(num,den) ou de mani`ere condens´ee : >> K=10; >> T=0.5; >> sys = tf(K,[T 1])

Sortie

Transfer function:

10

0.5 s + 1

1 >> sys.inputname = "d´ebit";>> sys.outputname = "niveau"

Sortie

Transfer function from input "d´ebit" to output "niveau": 10

0.5 s + 1

1.2 Exemple 2

T(p) =p+ 1

p2+ 4 >> sys = tf([1 1],[1 0 4])

Sortie

Transfer function:

s + 1 s^2 + 4

1.3 Exemple 3

T(p) =p2+p+ 1

(p+ 1)(p+ 2) >> sys1 = tf([1 1 1],[1 1]); >> sys2 = tf(1,[1 2]); >> sys=sys1*sys2

Sortie

2

Transfer function:

s^2 + s + 1 s^2 + 3 s + 2

Possibilit´e de factoriser

1avec l"instruction :

>> zpk(sys)

Sortie

Zero/pole/gain:

(s^2 + s + 1) (s+2) (s+1)

1.4 Exemple 4 : 1

erordre avec retard

Instructions

>> K=10; >> T=0.5; >> sys = tf(K,[T 1]) >> sys.InputDelay = 2 ou >> K=10; >> T=0.5; >> sys = tf(K,[T 1]) >> set(sys,"InputDelay",2) >> sys

Sortie

Transfer function:

10 exp(-2*s) * ---------

0.5 s + 1

1Attention l"instructionzpk()ne renvoie pas le gain statique du syst`eme.

3

1.5 Propri´et´es des fonctions de transfertRentrer les fonctions de transfert suivantes :

sys1 =p+ 1 p+ 2 sys2 =3 p2+p+ 1 sys3 =3(p+ 4) p2+ 2p+ 1 sys4 =10 p2+ 3p+ 2 sys5 =10 (p+ 1)2 sys6 =p+ 1 p(p+ 2)(p+ 3) sys7 = 10p2+p+ 1 (p+ 2)(p+ 3) sys8 =p+ 1 p+ 2e-3p sys9 =5 p2+ 5p+ 6 Pour chacune de ces fonctions de transfert, ex´ecuter (pas `a pas) la s´erie d"instructions suivante : >> sys=sys1 >> class(sys) >> size(sys) >> get(sys) >> dcgain(sys) >> pole(sys) >> zero(sys) >> damp(sys) >> pzmap(sys) 4

1.6 Acc`es aux donn´ees

>> sys = tf([1 3],[1 3 2]) >> get(sys) >> sys.num >> num = sys.num{1} >> sys.den >> den = sys.den{1} >> [num,den] = tfdata(sys) >> celldisp(num) >> num = num{1} >> celldisp(den) >> den = den{1} >> [num,den] = tfdata(sys,"v")

2 Analyse temporelle

2.1 R´eponse `a une impulsion de Dirac

>> sys = tf(10,[0.5 1]) >> impulse(sys) >> title("R´eponse impulsionnelle") >> sys = tf(10,[0.5 1]); >> sys.InputDelay = 2 >> impulse(sys) >> title("R´eponse impulsionnelle") >> sys = tf(1,[1 1 1]) >> impulse(sys) >> title("R´eponse impulsionnelle")

2.2 R´eponse `a un ´echelon de position unit´e

>> sys1 = tf(10,[0.5 1]) >> step(sys1) >> title("R´eponse `a un ´echelon unit´e") 5

>> sys = tf(10,[0.5 1]);>> sys.InputDelay = 2>> step(sys)>> title("R´eponse `a un ´echelon unit´e")>> sys2 = tf(10,[1 1 1])>> step(sys2)>> title("R´eponse `a un ´echelon unit´e")>> step(sys1,sys2)>> stepinfo(sys1)>> stepinfo(sys2)

2.3 R´eponse `a une entr´ee quelconque (fonction LSIM)

2.3.1 R´eponse `a un ´echelon d"amplitude quelconque

>> sys = tf(10,[0.5,1]); >> t = [0:0.1:3]; >> amplitude = 10; >> input = amplitude*ones(size(t)); >> output = lsim(sys,input,t); >> plot(t,input,t,output)

On peut aussi ´ecrire :

>> sys = tf(10,[0.5,1]); >> amplitude = 10; >> step(amplitude*sys)

2.3.2 R´eponse `a une rampe

>> t = [0:0.1:3]; >> input = t; >> plot(t,input,t,dcgain(sys)*t,t,lsim(sys,input,t)) >> title("R´eponse `a une rampe") 6

2.3.3 R´eponse `a une sinuso¨ıde

>> sys = tf(10,[1 0.5 1]); >> [u,t]=gensig("sin",100,1000); >> plot(t,u,t,lsim(sys,u,t)) >> title("R´eponse `a une sinuso¨ıde")

Visualisation du r´egime transitoire

2 >> [u,t]=gensig("sin",1,30,0.01); >> plot(t,u,t,lsim(sys,u,t)) >> title("R´eponse `a une sinuso¨ıde")

2.4 Influence des z´eros sur la r´eponse temporelle

Rentrer la fonction de transfert d"ordre 2 suivante :

H(p) =K1 +τap

(1 +τ1p)(1 +τ2p) avec :K= 1,τ1= 15 etτ2= 5 Ce syst`eme comporte 2 pˆoles `a partie r´eelle n´egative etun z´ero.

Tracer sur un mˆeme graphique

la r´eponse `a un ´echelon unit´e pour : a)τa=-10 b)τa= 0 c)τa= 10 d)τa= 15 e)τa= 50

2.5 Etude d"un actionneur ´electrom´ecanique

Cet exercice est extrait du livre d"exercices"Applications du Formalisme d"Etat `a la Commande des Syst`emes Continus»par D. Jaume, S. Thelliez et M. Verg´e, Edition

EYROLLES.

2RAPPEL : la r´eponse `a un signal sinuso¨ıdal est sinuso¨ıdale en r´egime permanent.

7 La mod´elisation simplifi´ee en vue de l"asservissement en position d"un actionneur ´elec- trom´ecanique et de sa charge a conduit au sch´ema de la Figure 1.

Fig.1 - Un actionneur ´electrom´ecanique

L"ensemble chariot de masseM, ressort de raideurk, coefficient de frottement visqueux fmod´elise la partie m´ecanique. L"ensemble r´esistanceR, inductanceL, force contre-´electromotrice introduite par l"en- roulemente(t) =αdy dt, force appliqu´ee `a la chargefc(t) =β i(t), caract´erise la partie

´electrique.

Les variablesu,i,yd´enotent respectivement la tension `a l"entr´ee, le courant dans l"en- roulement et la position de la charge `a partir d"un ´etat d"´equilibre.

On adopte les valeurs num´eriques suivantes :

M= 30kg , k= 15N/m , f= 15N.s/m , R= 10Ω

L= 10H , α= 0,2V.s/m , β= 6N/A

A partir des ´equations ´electriques et m´ecaniques du syst`eme : u-R i-Ldi dt-αdydt= 0 M d2y dt2=-fdydt-k y+β i on peut obtenir sa fonction de transfert : 8 Y?(p)

U?(p)=βLM p3+ (RM+Lf)p2+ (Rf+Lk+αβ)p+Rk

1`ere partie

Dans un premier temps, on n´eglige le frottement visqueux (f= 0).

1)Introduire la fonction de transfert dans MATLAB.

2)Calculer le gain statique du syst`eme.

3)Quels sont les pˆoles du syst`eme? Afficher les pˆoles et les z´eros du syst`eme dans le

plan complexe.

4)Tracer la r´eponsey?(t) lorsqu"on envoie une impulsion de tension au syst`eme.

5)Tracer la r´eponsey?(t) lorsqu"on applique un ´echelon de tensionu?= 100Vau

syst`eme.

6)Comment pouvait-on pr´evoir la valeur de r´egime permanent?

7)Quel est le type de r´egime transitoire en pr´esence?

8)Quel est approximativement le temps de r´eponse de ce syst`eme?

2`eme partie

On am´eliore le mod`ele en prenant en compte le frottement visqueux (f?= 0).

9)Introduire la fonction de transfert dans MATLAB.

10)Calculer le gain statique du syst`eme.

11)Quels sont les pˆoles du syst`eme? Afficher les pˆoles et les z´eros du syst`eme dans le

plan complexe.

12)Tracer la r´eponsey?(t) lorsqu"on envoie une impulsion de tension au syst`eme.

9

13)Tracer la r´eponsey?(t) lorsqu"on applique un ´echelon de tensionu?= 100Vau

syst`eme.

14)Comment pouvait-on pr´evoir la valeur de r´egime permanent?

15)Quel est le type de r´egime transitoire en pr´esence?

16)Quel est approximativement le temps de r´eponse de ce syst`eme?

3 Analyse fr´equentielle

3.1 Syst`eme du 2nd ordre

1)Tracer le diagramme de Bode d"un syst`eme du 2nd ordre ayant pour param`etres :

K= 10 ;ξ= 0.01 ;wn= 10

2)Donner la valeur de son coefficient de surtension (retrouver le r´esultat `a partir de la

formule th´eorique).

3)Pour quelle fr´equence, l"amplitude de sortie sera-t-elle´egale au double de l"amplitude

d"entr´ee?

3.2 Etude d"un syst`eme `a avance de phase

On consid`ere le syst`eme de fonction de transfert :

T(p) =1 +a τ p

1 +τ p

Lorsquea >1, ce type de syst`eme est appel´e unsyst`eme `a avance de phase.

1)Introduire la fonction de transfert dans MATLAB correspondant `aa= 10 etτ=

0,006.

2)Tracer le diagramme de Bode du syst`eme et expliquer l"appelation"avance de

phase». 10

3)Tracer le diagramme de Bode poura= 10 etτ= 0,06.

Comparer au r´esultat de la question 2).

4)Tracer le diagramme de Bode poura= 5 etτ= 0,06.

Comparer aux r´esultats des questions 2) et 3).

5)Discuter sur l"influence des param`etresaetτsur la r´eponse fr´equentielle du syst`eme.

4 R´esum´e des fonctions usuelles

Pour savoir ce que fait une fonction donn´ee et connaitre la syntaxe d"utili- sation : help

5 R´esum´e des fonctions de Control System Toolbox

Control System Toolbox

Version 9.3 (R2012a) 29-Dec-2011

General.

ctrlpref - Set Control System Toolbox preferences. InputOutputModel - Overview of input/output model objects. DynamicSystem - Overview of dynamic system objects. lti - Overview of linear time-invariant system objects.

Graphical User Interfaces.

ltiview - LTI Viewer (time and frequency response analysis). sisotool - SISO Design Tool (interactive compensator tuning). pidtool - PID Design Tool (interactive PID controller tuning). sisoinit - Configure the SISO Design Tool at startup.

Linear models.

tf - Create transfer function (TF) models. zpk - Create zero/pole/gain (ZPK) models. ss - Create state-space (SS) models. dss - Create descriptor state-space models. delayss - Create state-space models with delayed terms. frd - Create frequency response data (FRD) models. pid - Create PID controller in parallel form. pidstd - Create PID controller in standard form. 11 tf/exp - Create pure continuous-time delays (TF and ZPK only) filt - Specify digital filters. InputOutputModel/set - Set/modify properties of model object. setDelayModel - Specify internal delay model (state space only).

Data extraction.

tfdata - Extract numerators and denominators. zpkdata - Extract zero/pole/gain data. ssdata - Extract state-space matrices. dssdata - Descriptor version of SSDATA. frdata - Extract frequency response data. piddata - Extract PID parameters in parallel form. pidstddata - Extract PID parameters in standard form. InputOutputModel/get - Access properties of model object. ss/getDelayModel - Access internal delay model (state space only).

Model conversion.

tf - Conversion to transfer function. zpk - Conversion to zero/pole/gain. ss - Conversion to state space. frd - Conversion to frequency data. pid - Conversion to PID controller in parallel form. pidstd - Conversion to PID controller in standard form. c2d - Continuous to discrete conversion. d2c - Discrete to continuous conversion. d2d - Resample discrete-time model. upsample - Upsample discrete-time systems. chgTimeUnit - Change time units. imp2exp - Implicit to explicit conversion.

System interconnection.

append - Aggregate models by appending inputs and outputs. parallel - Connect models in parallel (see also overloaded +). series - Connect models in series (see also overloaded *). feedback - connect models with a feedback loop. lft - Generalized feedback interconnection. connect - Arbitrary block-diagram interconnection. sumblk - Specify summing junction (for use with connect). strseq - Builds sequence of indexed strings (for I/O naming).

System dynamics.

dcgain - Steady-state (D.C.) gain. pole - System poles. zero - Zeros and gain of SISO system. 12

tzero - Invariant zeros of MIMO system.order - System order (number of states).pzmap - Pole-zero map.iopzmap - Input/output pole-zero map.damp - Natural frequency and damping of system poles.esort - Sort continuous poles by real part.dsort - Sort discrete poles by magnitude.stabsep - Stable/unstable decomposition.modsep - Region-based modal decomposition.

Time-domain analysis.

step - Step response. stepinfo - Step response characteristics (rise time, ...) impulse - Impulse response. initial - Free response with initial conditions. lsim - Response to user-defined input signal. lsiminfo - Linear response characteristics. gensig - Generate input signal for LSIM. covar - Covariance of response to white noise.

Frequency-domain analysis.

bode - Bode diagrams of the frequency response. bodemag - Bode magnitude diagram only. sigma - Singular value frequency plot. nyquist - Nyquist plot. nichols - Nichols plot. freqresp - Frequency response over a frequency grid. evalfr - Evaluate frequency response at given frequency. margin - Gain and phase margins. allmargin - All crossover frequencies and related gain/phase margins. bandwidth - System bandwidth. getPeakGain - Peak gain of frequency response. getGainCrossover - Gain crossover frequencies. DynamicSystem/norm - H2 and Hinfinity norms of LTI models.

Model simplification.

minreal - Minimal realization and pole/zero cancellation. sminreal - Structurally minimal realization (state space). hsvd - Hankel singular values (state contributions) balred - Reduced-order approximations of linear models. modred - Model order reduction.

Compensator design.

pidtune - Tune PID controller based on linear plant model. 13

rlocus - Evans root locus.place - Pole placement.estim - Form estimator given estimator gain.reg - Form regulator given state-feedback and estimator gains.

ss/lqg - Single-step LQG design. lqr, dlqr - Linear-Quadratic (LQ) state-feedback regulator. lqry - LQ regulator with output weighting. lqrd - Discrete LQ regulator for continuous plant. lqi - Linear-Quadratic-Integral (LQI) controller. kalman - Kalman state estimator. kalmd - Discrete Kalman estimator for continuous plant. lqgreg - Build LQG regulator from LQ gain and Kalman estimator. lqgtrack - Build LQG servo-controller. augstate - Augment output by appending states.

Time delays.

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