[PDF] Cours de Calcul Différentiel Propriété 1 Toute fonction

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Université Claude Bernard, Lyon ILicence Sciences, Technologies & Santé

43, boulevard 11 novembre 1918Spécialité Mathématiques

69622 Villeurbanne cedex, FranceL. Pujo-Menjouet

pujo@math.univ-lyon1.fr

Cours de Calcul Différentiel

Très fortement inspiré d"une partie du cours de Sylvie Benzoni - Calcul Différentiel Et Équations Différentielles -

Cours Et Exercices Corrigés- Editions Dunod

1 2

Table des matières

1 Préliminaires au calcul différentiel 5

1.1 Normes et espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3 Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4 Applications multilinéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5 Séries dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Différentielle d"une fonction 11

2.1 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2 Quelques exemples importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3 Opérations sur les différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.4 Dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.4.1 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.4.2 Matrice Jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.4.3 Opérateurs différentiels classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3 Théorème des accroissements finis 19

3.1 Fonction d"une variable réelle à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.2 Fonction d"une valeur sur un espace E et à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . .

19

3.3 Fonction d"une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.4 Théorème général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.5 Quelques applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

4 Difféomorphismes 23

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

4.2 Théorème d"inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

4.3 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

5 Différentielles d"ordre supérieur 27

5.1 Différentielles d"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

5.2 Exemples de différentielles d"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

5.3 En dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

5.4 Différentielle d"ordren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29
3

6 Formules de Taylor 31

6.1 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

6.1.1 Fonction d"une variable réelle à valeur réelle . . . . . . . . . . . . . . . .

31

6.1.2 Fonction d"une variable réelle à valeur dans un espace de Banach . . . . .

31

6.1.3 Fonction d"un espace de Banach à valeur dans un espace de Banach . . . .

32

6.2 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

6.2.1 Fonction d"une variable réelle à valeur dans un espace de Banach . . . . .

33

6.2.2 Fonction d"une espace de Banach à valeur dans un espace de Banach . . .

33

6.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

7 Extrema35

7.1 Extrema libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

7.1.1 Fonctions d"une variable réelle à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . .

35

7.1.2 Fonctions d"un espace de dimension finie à valeurs réelles . . . . . . . . .

36

7.1.3 Fonctions d"un espace de Banach à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . .

36

7.2 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

7.2.1 Fonctions d"un espace de dimension finie à valeurs réelles . . . . . . . . .

37

7.2.2 Fonctions d"un espace de Banach à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . .

37

7.3 Convexité et minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

8 Equations différentielles 41

8.1 Première définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

8.2 Résolution explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

8.2.1 Equations linéaires scalaires d"ordre1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

8.2.2 Equations linéaires scalaires d"ordre2à coefficients constants . . . . . . .

42

8.2.3 Equations linéaires à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

8.3 Lemme de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

8.3.1 Inéquations différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

8.3.2 Inéquations intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

8.4 Théorème de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

8.5 Solutions maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44
4

Chapitre 1

Préliminaires au calcul différentiel

1.1 Normes et espaces vectoriels normés

On considèreEetFdeuxR-espaces vectoriels munis respectivement de la normek:kEetk:kF. Bien souvent, ce seront des espaces de dimensionFINIEde la formeE=Rn,F=Rp, munis d"une norme quelconque kxkk= (n(oup)X j=1jxjjk)1=kpourx2E(ouF) aveck2R;1·k <1; ou bienkxk1= sup

1·j·n(oup)jxjjpourx2E(ouF) aveck=1:

La plupart du temps on considérera la norme euclidienne (k= 2) ou bien lorsque l"on sera dans le cas général et que les espacesEetFseront égaux, on notera simplement la normek:k.

Rappel 1

Norme.Nous rappelons qu"une norme sur un espace vectoriel est uneAPPLICATION k:k:E!R+ x7! kxk telle que 1.

Pour toutx2E,kxk= 0)x= 0,

2.

Pour tout(x;¸)2E£R;k¸xk=j¸jkxk,

3.

Pour tout(x;y)2E£E;kx+yk · kxk+kyk.

La donnée du couple(E;k:k)s"appelle un espace vectoriel normé.

Rappel 2

Espace vectoriel normé.Soit(E;k:k)un espace vectoriel normé, et soit(xn)n2Nune suite d"éléments deE. Alors 1. (xn)n2Nconverge dansEssi il existea2E, tel quekxn¡ak ¡!n!+10, 2. (xn)n2Nest de Cauchy dansE

¡ssikxp¡xqk ¡!p;q!+10;

¡ssi pour tout" >0;il existeN2Ntels que pour tousp;q¸N;kxp¡xqk ·"; 5 3. (xn)n2Nest bornée dansEssi il existeM >0,kxnk ·M, pour toutn2N. ATTENTION: on a toujours(1:))(2:))(3:)mais les réciproques sontFAUSSESen général.

Définition 1

Espace de Banach.On dit queEest un espace de Banach si toute suite de Cauchy deEconverge dansE(autrement dit, on a(2:))(1:)dans les espaces de Banach).

Exemple 1

Les espaces de Banach de référence sont

1. R,Rnet de manière générale tout espace vectoriel de dimension finie, ainsi que tout sous- espace fermé d"un espace de Banach. 2. C(X;E) ={f:X!Econtinue} muni de la norme uniforme (norme du sup) définie par kfk1= sup x2Xjf(x)j

1.2 Applications continues

Définition 2

Application continue.SoitA½Eetf:A!F. On dit quefest continue ena2A si pour tout" >0, il existe´ >0, tel que pour toutx2A kx¡akE< ´) kf(x)¡f(a)kF< ": On dit quefest continue surAsifest continue en tout point deA.

Définition 3

Application k-lipschitzienne.On dit quef:A!Fest k-lipschitzienne si pour tout (x;y)2A2, on a kf(x)¡f(y)kF·kkx¡ykE

Remarque 1

On voit assez facilement que toute fonction lipschitzienne est continue sur son do- maine de définition.

Propriété 1

Toute fonction construite à partir de fonctions continues par combinaison linéaire, multiplication, quotient (par exemplef=gmais alors il faut que le dénominateur ne soit pas nul) ou composition est encore continue. 6

1.3 Applications linéaires continues

Rappel 3

Application linéaire continue.

SoientEetFdeux espaces vectoriels normés,u:E!Flinéaire,uest continue si et seulement s"il existek >0tel que pour toutx2E,ku(x)kF·kkxkE. On noteL(E;F), l"ensemble des applications linéaires continues deEdansF, c"est un espace vectoriel normé. Et pouru2L(E;F)on pose jjjujjj= sup x2Ex6=0ku(x)k kxk; = sup x2E kxk·1ku(x)k; = sup x2E kxk=1ku(x)k; = inffk >0;pour toutx2E;ku(x)k ·kkxkg:(1.1) Ceci définit une norme surL(E;F). On peut prouver (pas fait ici) que siFest un espace de

Banach, alorsL(E;F)aussi.

Remarque 2

Deux méthodes utiles.

Soitu:E!Eun application linéaire. Si on veut montrer queuest continue, on cherchek >0,

tel queku(x)k ·kkxk, pour toutx2E. Grâce à la troisième égalité de ce qui précède on en

déduitjjjujjj ·k.

Et si on sait queuest continue, grâce à la première égalité on déduit que pour toutx2E,

ku(x)k · jjjujjjkxk, et c"est la meilleure inégalité.

Par conséquent, on procède comme suit :

1. On majoreku(x)kpour obtenir une inégalité du typeku(x)k ·kkxkvalable pour tout x2E. Comme on l"a dit au-dessus, cela assure la continuité deuet le fait quejjjujjj ·k. 2. On espère quejjjujjj=k. Reste donc à prouver quejjjujjj ¸k. a. On peut chercher, s"il existex02E,x06= 0(resp.kx0k ·1) tel queku(x0)k kx0k=k(resp. ku(x0)k=k). Dans ce cas, grâce aux égalités (1.1) on en déduit quejjjujjj ¸k. b. Sinon, on cherche une suite(xn)n2NµE,xn6= 0(resp.kxnk ·1) telle que ku(xn)k kxnk¡!kn!+1(resp:ku(xn)k ¡!kn!+1); et on a donc avec les égalités (1.1), pour toutn2N ku(xn)k kxnk· jjjujjj(resp:ku(xn)k · jjjujjj):

En faisant tendrenvers l"infini dans cette inégalité, on en déduit facilement quejjjujjj ¸

k. 7

N.B. :la méthodea:ne marche pas toujours car un sup n"est pas forcément atteint. Par contre, la

méthodeb:marche toujours car un sup est toujours approché.

Remarque 3

Cas particulier important.Si la dimension deEest FINIE et siu:E!Festquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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