Cours de Calcul Différentiel
Propriété 1 Toute fonction construite à partir de fonctions continues par combinaison linéaire multiplication
Cours de mathématiques - Exo7
Exemple 1. De tête trouver au moins une fonction
PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Tout le cours sur les équations différentielles en vidéo : https://youtu.be/qHF5kiDFkW8. I. Primitive d'une fonction continue.
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L3 – COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL
Elle est d'ailleurs déj`a introduite et bri`evement étudiée en L2 dans le cours de Fonctions de Plusieurs Variables. Elle est étudiée de façon beaucoup
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Propriété 1 Toute fonction construite à partir de fonctions continues par combinaison linéaire multiplication
- FICHE DE COURS CHAPITRE SUR LES EQUATIONS
une fonction définie sur I et dérivable sur I sachant que l'inconnue est la fonction x(t). Equation différentielle du second ordre SANS second membre (E')
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Le calcul différentiel s'applique au calcul des équations des tangentes aux Il permet aussi d'approcher les fonctions de plusieurs variables par des.
Opérateurs différentiels
Pour une fonction les invariants qui nous seront utiles sont le gradient (un vecteur) et le laplacien. (un scalaire). Pour un champ de vecteurs ce sont le
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Dans ce cours on s'intéressera à l'étude de fonctions f : E ? F où E et F sont deux espaces vectoriels ou éventuellement définies uniquement sur une
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 1 PRIMITIVES ET
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Tout le cours sur les primitives en vidéo : https://youtu.be/bQ-eS1zZCdw Tout le cours sur les équations différentielles en vidéo : https://youtu.be/qHF5kiDFkW8Partie 1 : Primitive d'une fonction
1) Définition et propriétés
Exemple :
On considère les fonctions et définies par : =2+3 et +3-1Si on dérive , on constate que :
=2+3=Lorsque
=, on dit que est une primitive de . Définition : est une fonction continue sur un intervalle . On appelle primitive de , une fonction , telle que :Remarque :
Dans ces conditions, dire que " est une primitive de » revient à dire que " est la dérivée de ». Méthode : Vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre fonctionVidéo https://youtu.be/7tQqY9Vkmss
Dans chaque cas, dire si est une primitive de . a) 2 2 et b) et (+1). c) ln() et -ln 2Correction
a)2
2Donc est une primitive de .
b) =1× +1Donc est une primitive de .
c) 1×-ln()×1
21-ln()
2Donc n'est pas une primitive de .
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 2Propriété : Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une
constante.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/oloWk2F4bI8
Soit et deux primitives de la fonction sur . Alors : '()=() et '()=(). Donc : '()='(), soit ' -'()=0, soit encore (-)'()=0.La fonction - possède une dérivée nulle sur , elle est donc constante sur .
On nomme cette constante. Ainsi :
-()= pour tout de . On en déduit que les deux primitives de diffèrent d'une constante. Propriété : est une fonction continue sur un intervalle . Si est une primitive de alors pour tout réel , la fonction ⟼ + est une primitive de .Démonstration :
est une primitive de .On pose
()+0=Donc est une primitive de .
Exemple :
On a vu dans la méthode précédente que est une primitive de avec : 2 2 etDonc, la fonction définie par
2 2 +5 est également une primitive de .En effet :
2
2 +0== Propriété : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. - Démontrée dans le chapitre Intégration - Remarque : Bien que l'existence étant assurée, la forme explicite d'une primitive n'est pas toujours connue. Par exemple, la fonction ⟼ ne possède pas de primitive sous forme explicite. Méthode : Recherche d'une primitive particulièreVidéo https://youtu.be/-q9M7oJ9gkI
Soit la fonction définie sur ℝ* par a) Démontrer que la fonction définie sur ℝ* par est une primitive de . b) Déterminer la primitive de la fonction qui s'annule en =1. Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 3Correction
a) ′ Donc '= et donc la fonction est une primitive de . b) On cherche la primitive de la fonction qui s'annule en =1, soit : 1 =0. Si est une primitive de alors : +, où est un nombre réel.Donc :
1 1Et donc :
1 +=0Soit :
+=0 +=0 La primitive de la fonction qui s'annule en =1 est telle que :2
2) Primitives des fonctions usuelles
Fonction Une primitive
-1;0 1 +1 1 1 avec >0 ln() 2 cos() sin() sin() -cos()3) Linéarité des primitives
Propriété :
Si est une primitive de et est une primitive de alors : - +est une primitive de +, - est une primitive de ,avec réel.Démonstrations :
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 4Méthode : Déterminer une primitive (1)
Vidéo https://youtu.be/GA6jMgLd_Cw
Vidéo https://youtu.be/82HYI4xuClw
Vidéo https://youtu.be/gxRpmHWnoGQ
Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction . a) -2 b) =3 1 c) 1 5 d) 3 sur0;+∞
e) =-sin() f) 2Correction
a) 1 4 -2 b) =3 1 =3 2 -3× donc -3×S- 1T=
3 c) 1 5 1 -4 14
4 d) 3 =3× 1 =3ln() Remarque : L'intervalle de recherche de la primitive est0;+∞
, car la fonction est définie pour des valeurs strictement positive. e) =-sin() -cos =cos() f) 2 =2× 1 =2×2 =44) Primitives de fonctions composées
est une fonction dérivable sur un intervalle I.Fonction Une primitive
-1;0 1 +1 2 avec >0 ln() cos() sin() sin() -cos() Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 5Méthode : Déterminer une primitive (2)
Vidéo https://youtu.be/iiq6eUQee9g
Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction . a)2-5
-5+4 b) 4. c) d) =cos5
-3sin3-1
Correction
a)2-5
-5+4 du type ′ , avec =2.En effet :
-5+4 → =2-5Une primitive de ′
est de la formeSoit :
1 3 -5+4 b) 4. 4. du type 5 5En effet :
+1→ =2Une primitive de
5 5 est de la forme 2Soit :
1 2 ×2 +1= +1 c) 1 3×3
du type ′En effet :
=3Une primitive de ′
est de la formeSoit :
1 3 d) =cos5
-3sin3-1
1 5×5cos
5
-3sin3-1
Donc
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