Première S Exercices dapplications sur la dérivation 2010-2011 1
Exercices d'application sur la dérivation. 2010-2011. CORRECTION. 3. Exercice 1. Déterminer l'ensemble de définition de f puis étudier ses variations.
Table des matières 1 Calcul différentiel
2 Analyse des problèmes d'optimisation sans contrainte. Exercice 4. On considère la fonction f définie sur R2 par f(x y) = x4 + y4 ? 2(x ? y)2.
ESD 2014 –06 : Optimisation
Présentez deux exercices d'optimisation en motivant vos choix. 2. Eléments de correction Une correction de l'exercice en classe de troisième.
THÈME 46 : Étude de recherche doptimum et doptimisation
Correction avec la variable ? = Æ Les exercices d'optimisation sont presque semblables en 1e et en Terminale S. Les différences.
Algorithmes gloutons - EXERCICES - CORRECTION
Les stratégies gloutonnes 2 et. 3 donnent donc la solution optimale. Exemple 2. 1. la stratégie 1 (choix par valeur décroissante) donne le sac d'une valeur de
Optimisation non linéaire : correction des TD
17 janv. 2008 Optimisation non linéaire : correction des TD. Grégory Bonnet. Rémi Douvenot. Nicolas Fezans ... Exercice 2 : Approximation de fonction.
1 Programmation linéaire
Document 4 : Corrigé des exercices d'optimisation linéaire La variable entrante est x2 qui correspond à l'élément le plus négatif de la dernière.
ESD2017_05. Optimisation
Présentez la correction de cet exercice telle que vous l'exposeriez devant une classe de seconde. 3. Proposez deux exercices sur le thème optimisation dont l'
Théorie des graphes et optimisation dans les graphes Table des
Dans ce cas on parlera de chaine au lieu de chemin
Devoir Maison dOptimisation Numérique – Corrigé
S'agit-il d'un ensemble convexe? 4. Considérer la fonction f donnée par f(x y) = xy. Admet-elle un minimum et un maximum sur C ?
1. L'exercice proposé aux candidats
Un nageur N est dans la mer, à une distance du rivage rectiligne. Il veut rejoindre un point A du rivage, à une distance d du pied H de la perpendiculaire abaissée de N sur le rivage. Le nageur nage à une vitesse v, et peut marcher sur le rivage à une vitesse V > v. Quel trajet doit-il suivre pour rejoindre le point A en le minimum de temps ? Quel sera ce temps minimum ? Application numérique : v = 1km/h, V = 5 km/h, = 300 m, d = 100 m.Correction :
H M
Soit M le point du rivage où le nageur sort de l'eau. À vitesse constante, le trajet le plus rapide entre deux points est la ligne droite.Le temps T de parcours est égal à :
T = NM v + MA V ; T = NH 2 +HM 2 v + HA-HM V . x N A d En posant x = HM, (0 x d), on en déduit une expression du temps de parcours en fonction de x : T(x) = x 2 2 v + d-x V .Recherche du minimum
T'(x)=
x [v x 2 2 - 1V = xV-v
x 2 2 vVx 2 2T'(x) 0 ñ xV - v
x 2 20 ñ xV Ã v x
2 2ñ x
2 2VÃ v
2 (x 2 2D'où, T'(x) à 0 ñ x à v
V 2 -v 2 (V>v>0).Alors,
Si d v
V 2 -v 2 , le minimum est obtenu lorsque x = d ; si d > v V 2 -v 2 le minimum est atteint en x 0 = v V 2 -v 2 x 0 x 0 dT'(x) - +
T(x)Le minimum de la fonction est donc atteint en x
0 Pour que le nageur arrive au point A en un minimum de temps, il doit atteindre le rivage au point M situé à v V 2 -v 2 du point H entre le point H et A.Le temps de parcours sera alors : T(x
0 V 2 - v 2 +vd VvApplication numérique
Si x 0 = 61 m, alors T(x 0 ) = 18mn 50s.Correction avec la variable ij =
AE HMN ]0 ; ʌ 2 [ ; NM= Ȝ sin(ij) et MA= d - HM = d - Ȝ tan(ij) .Posons, t(ij)= Ȝ
v.sin(ij) + dV - Ȝ
V.tan(ij) .
Alors , t'(ij) = -
cos(ij) vsin 2 Vsin 2 et t' s'annule en ijo avec cos(ij o )= v V (il faut donc que 0 < v V < 1) .La fonction cos étant décroissante sur ]0 ;
2 [, soit 0 < ij1 o 2 < ʌ/2.On a alors : cos(ij
1 ) > cos(ij o ) = v V > cos (ij2 ), d'où t'(ij 1 ) < 0 et t'(ij 2 ) > 0.On en déduit que t admet un minimum en ij
o2. Travail demandé au candidat
En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sa solution de l'exercice sur la fiche.Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l'entretien
avec le jury. Après avoir résolu et analysé l'exercice :A. Donneriez-vous la variable à choisir aux élèves ? Pourquoi ? Si oui, laquelle ? Pourquoi ?
B. Comment peut-on modifier l'énoncé pour que les élèves tombent dans un piège classique
dans la recherche d'optimum par dérivation, et pour qu'ils en retirent un bénéfice pédagogique ? C. Proposez d'autres exercices pour couvrir les questions à travailler sur la recherche d'optimums. Réponses (en vert, les réponses de votre/vos camarade/s - en rouge, des éléments de réponses personnels).Objectif de l'exercice :
Optimiser un trajet, au niveau du temps de parcours, sous certaines contraintes.Méthodes :
- Modéliser la situation sous la forme d'une fonction à une variable ; - Utiliser le calcul différentiel pour chercher le ou les extrema de cette fonction ; - Vérifier l'appartenance au domaine des contraintes ; - Conclure.Difficultés :
- choix de la variable : - Domaine des contraintes : A. Les exercices d'optimisation sont presque semblables en 1 e et en Terminale S. Les différences tiennent au fait qu'en 1 e les calculs de dérivées sont plus limités ; Le choix de la variable doit être suggéré par l'énoncé. En conséquence si l'exercice devait être proposé à des élèves de 1 eS, la variable devrait être
indiquée. En Terminale l'exercice pourra laisser le choix aux élèves.Dans l'exercice la variable
xHB=, où B est le point où le nageur rejoint le rivage, parait la plus naturelle et conduit à optimiser la fonction 22xdxtxvV+=+ , []0,xd. Mais, dériver cette fonction n'est pas à la portée d'un élève de 1 e S.
Si on choisit pour variable
HBN=, alors la fonction à optimiser s'écrit : ()sin tandtvVV=+, où 1 2, 11 /tand=. Les fonctions à dériver sont alors de la forme 1 u et les élèves de 1 e connaissent la formule ()2 1 'u uu= , ainsi que la dérivée de la fonction tangente. Si l'exercice est proposé pour un élève de 1ère
S, l'optimisation en utilisant le calcul
différentiel est un nouvel outil. L'enjeu est alors de travailler cette technique et il estpréférable de proposer une variable. La dérivée de la composée de la fonction racine avec une
fonction quelconque n'étant pas au programme de 1ère
S (celui-ci se limite aux dérivées des
fonctions du type xĺ ax+b), il paraît judicieux de proposer l'angle ij = AEHMN. De plus,
celle-ci n'étant pas la première variable qui viendrait à l'esprit dans un exercice sur les distances, cela permettrait de développer des connaissances dans les choix de variables possibles lors d'une modélisationÀ un niveau plus élevé, la modélisation devient aussi un enjeu de l'exercice et il est alors plus
intéressant de laisser le choix de la variable aux élèves. B.Voir ci-dessous.
Une erreur classique serait que les élèves trouvent l'extremum et oublie de vérifier que celui-
ci appartient bien à l'intervalle d'étude. Le piège serait donc de donner des valeurs telles que
l'optimum sorte du domaine des contraintes. Dans notre cas (pour les mêmes valeurs de v etV) on choisirait d
24(E).
Il faudrait donc proposer, en plus de l'application numérique déjà donnée, des valeurs de
Ȝ et
de d qui vérifient (E). Par exemple, d = 50 m.De plus, pour que le piège soit pédagogiquement profitable, l'important serait que les élèves
résolvent eux-mêmes ce problème. On pourrait toutefois les aider en leur demandant de faire un croquis de la situation afin de leur permettre de visualiser plus facilement la non pertinence de la réponse.C. Autres proposition d'exercices
1. La gouttière (1
eS Terracher, p. 107)
Contre la façade rectangulaire ABCD, on désire placer une gouttière en forme de Y pourévacuer les eaux de pluie recueillies en C et D (v ; figure). I est le milieu de [AB]. Où doit-on
placer le point M pour que la longueur de tuyau soit minimale ? (On négligera l'épaisseur du tuyau.) AB C D Iquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1[PDF] exercices axe corporel
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