Première S Exercices dapplications sur la dérivation 2010-2011 1
Exercices d'application sur la dérivation. 2010-2011. CORRECTION. 3. Exercice 1. Déterminer l'ensemble de définition de f puis étudier ses variations.
Table des matières 1 Calcul différentiel
2 Analyse des problèmes d'optimisation sans contrainte. Exercice 4. On considère la fonction f définie sur R2 par f(x y) = x4 + y4 ? 2(x ? y)2.
ESD 2014 –06 : Optimisation
Présentez deux exercices d'optimisation en motivant vos choix. 2. Eléments de correction Une correction de l'exercice en classe de troisième.
THÈME 46 : Étude de recherche doptimum et doptimisation
Correction avec la variable ? = Æ Les exercices d'optimisation sont presque semblables en 1e et en Terminale S. Les différences.
Algorithmes gloutons - EXERCICES - CORRECTION
Les stratégies gloutonnes 2 et. 3 donnent donc la solution optimale. Exemple 2. 1. la stratégie 1 (choix par valeur décroissante) donne le sac d'une valeur de
Optimisation non linéaire : correction des TD
17 janv. 2008 Optimisation non linéaire : correction des TD. Grégory Bonnet. Rémi Douvenot. Nicolas Fezans ... Exercice 2 : Approximation de fonction.
1 Programmation linéaire
Document 4 : Corrigé des exercices d'optimisation linéaire La variable entrante est x2 qui correspond à l'élément le plus négatif de la dernière.
ESD2017_05. Optimisation
Présentez la correction de cet exercice telle que vous l'exposeriez devant une classe de seconde. 3. Proposez deux exercices sur le thème optimisation dont l'
Théorie des graphes et optimisation dans les graphes Table des
Dans ce cas on parlera de chaine au lieu de chemin
Devoir Maison dOptimisation Numérique – Corrigé
S'agit-il d'un ensemble convexe? 4. Considérer la fonction f donnée par f(x y) = xy. Admet-elle un minimum et un maximum sur C ?
Optimisation non linéaire : correction des TD
Grégory Bonnet
Rémi Douvenot
Nicolas Fezans
Emmanuel Rachelson
Stéphanie Roussel
17 janvier 2008
TD 1: Généralités
Exercice 1: étude des fonctions quadratiques
Les fonctions quadratiques sont très souvent rencontrées dans les problèmes d"optimisation car il s"agit d"une formestandardd"énergie. SoientQune matrice deRnn,bun vecteur deRnetf:Rn7!Rla fonction définie parf(x) = 12 xTQx+bTx,x2Rn.Différentiabilité au sens de Fréchet
fest différentiable au sens de Fréchet en^xsi9f0F(^x)2 L(Rn;R)tel que8v2Rn,f(^x+v) =f(^x) +f0F(^x)(v) +o(v)aveclimv7!0jjo(v)jjjjvjj= 0.
Il nous faut donc exhiberf0F(^x)et il suffit de poser l"équation précédente et de la développer: f(x+v) =12 (x+v)TQ(x+v) +bT(x+v) 12 xT+12 vT)(Qx+Qv) +bTx+bTv 12 xTQx+12 xTQv+12 vTQx+12 vTQv+bTx+bTv =f(x) +12 xTQv+12 vTQx+12 vTQv+bTv Nous pouvons remarquer quexTQvest un scalaire (c"est-à-direxTQv2R). Or un scalaire est égal à sa transposée, doncxTQv= (xTQv)T= (vTQTx). f(x+v) =f(x) +12 xTQv+12 (vTQx)T+12 vTQv+bTv =f(x) +12 xTQv+12 xTQTv+12 vTQv+bTv =f(x) + (12 xT(Q+QT) +bT)v+12 vTQv Les équations précédentes nous conduisent alors à poser: f0F(^x)(v) = (12
xT(Q+QT) +bT)veto(v) =12 vTQv 1 Il nous faut alors vérifier quef0F(^x)(v)est linéaire env(ce qui est trivial); et il faut nous assurer quelimv7!0jjo(v)jjjjvjj= 0En posantqm= maxi;j2f1;:::;ngqij:jjo(v)jj=jj12
vTQvjj=j12 vTQvj j12 qmjjvjj2jNous avons donc:0jjo(v)jjjjvjj jqmjjjvjj2
Orlimv!0jqmjjjvjj2= 0. Donclimv!0jjo(v)jjjjvjj= 0. fest donc différentiable au sens de Fréchet (et par conséquent au sens deGâteaux) etf0F(^x)(v) =@f@x
(^x)v; et par identification: @f@x (^x) =12 ^xT(Q+QT) +bTCalcul du Hessien
Calculer le Hessien defest fondé sur le principe précédent, appliqué au gradient def. En effet, montrer quefest deux fois différentiable revient à montrer quef0F(:)(v)est différentiable; donc quef0F(^x+w)(v) =f0F(^x)(v) + f00(^x)(v)(w) +o(w)avecf00(^x)(v)(:)2 L(Rn;R)etlimw!0jjo(w)jjw
= 0. f0F(^x+w)(v) =@f@x
(^x+w)v @f@x (^x+w) =12 (^x+w)T(Q+QT) +bT 12 ^xT(Q+QT) +bT+12 wT(Q+QT) @f@x (^x) +12 wT(Q+QT)On pose alorsf00(^x)(v)(w) =12
wT(Q+QT)eto(w) = 0. Il faut alors s"assurer quef00(^x)(v)(w)est linéaire enw(ce qui est trivial) et quelimw!0jjo(w)jjjjwjj= 0(ce qui est trivial aussi); ainsi le Hessien defest 2f@x 2=12 (Q+QT)L"expression def00(x)(v)(v)est<@2f@x
2v;v >=12
vT(Q+QT)vConvexité
Si l"on supposeQsymétrique alorsQ=QT; et@f@x
=xTQ+bTet@2f@x 2=Q. Rappelons qu"une matrice est définie positive (resp. semi-définie positive) si et seulement si ses valeurs propres sont toutes strictement positives (resp. positives ou nulles). Pour montrer quefest convexe, deux méthodes sont proposées. Une fonction est strictement convexe (resp. convexe) si son Hessien est défini positif (resp. semi-défini positif). Dans notre application, le Hessien estQet, donc,fest strictement convexe (resp. convexe) siQest défini positive (resp. semi-défini positive). 2 En utilisant la proposition donnée dans l"exercice, nous pouvons vérifier ceci d"une autre manière. On pose:A(x;y) =f(y)f(x)@f@x
(x)(yx) yTQy2 +bTyxTQx2 bTxxTQ(yx)bT(yx) yTQy2 xTQx2 +xTQxxTQy yTQy2 +xTQx2 xTQyOrxTQy=xTQy2
+xTQy2T=xTQy2
+yTQx2DoncA(x;y) =12
(yx)TQ(yx)et doncA(x;y)0siQest semi-définie positive (A(x;y)>0siQest définie positive).Exercice 2: Approximation de fonction
Dans cet exercice, nous cherchons un polynômehqui approxime la fonction gau sens des moindres carrés. Cela signifie quehdoit minimiser la grandeur suivante: f=mX i=1[g(xi)h(xi)]2Résolution générale du problème
Cet exercice se prête bien à un traitement matriciel. On pose: H=2 64h(x1)
h(xm)3 7 5=2 6 4x01xn1......
x0mxnm3
7 526 4a 0... a n3 7
5=XaetG=2
64g(x1)
g(xm)3 7 5On a alors:
f=(HG)T(HG) =HTH+GTG2GTH(carGTGest un scalaire) =aTXTXa+GTG2GTXa Par définition,XTXest une matrice symétrique; et en posantQ= 2XTX etb=2XTG, on se ramène à la fonction quadratique de l"exercice prédécent. Donc: @f@a (a) =aTQ+bT 3La condition du premier ordre nous donne:
aTQ+bT= 0 =)a=bTQ1=QTb
La matriceXTXest diagonalisable. En effet,Q=XTX:
Q=2 6 4x01x0m......
x n1xnm3 7 526 4a 0... a n3 7 52
6 4x
01xn1......
x0mxnm3
7 526 4a 0... a n3 7 5
Doncqij=mP
k=1xi+j2 k:Qest bien symétrique. Par ailleurs,8v2Rn+1, vTQv=vTXTXv= (Xv)T(Xv) =jjXvjj 0.
DoncXTXest semi-définie positive; doncQest semi-définie positive (car Q= 2XTX). L"optimumatrouvé est donc bien un mimimum au sens des moindres carrés.Application numérique
Dans l"application:
X=2 41 11 2 1 33 5 etG=2 48
25
523
5
On obtient:
XTX=3 6
6 14 etXTG=85 214Nous cherchonsa=QTb, doncQ1etb:
Q1= (2XTX)1=112
1466 3 =QTetb= 2XTG=170 428
Par conséquent:
a= (2XTX)1(2XTG) =473 22Donc,h(x) = 22x473
Nous pouvons vérifier la validité de cette approximation carh(1) = 6;33, h(2) = 28;33eth(3) = 50;33pourg(1) = 8,g(2) = 25etg(3) = 52.Exercice 3: Production
Remarques d"ordre général pour l"optimisation Dans cet exercice, nous cherchons à maximiser une quantité. Notre problème peut donc être modélisé de la façon suivante: max x i0qh(x1:::xn)nX i=1p ixi 4 Nous négligerons les contraintes de positivité; et nous les vérifieronsa poste- riori. En effet, chaquexiest nécessairement positif car il représente une quantité de matière première. La condition du premier ordre pour trouver un optimum est d"annuler le gradient.8i2 f1;:::;ng;@f@x
i(x1;:::;xn) =q@h(x1:::xn)@x ipi La condition du second ordre est d"avoir un Hessien semi-défini négatif (resp. défini négatif) afin d"avoir un maximum (resp. strict). Ici, 2f@x 2=q2 6 64@2h@x
2:::@2h@x
1xn......
2h@x nx1:::@2h@x 2n3 7 75Application 1
Soith(x1;x2) =x13
1x132. La condition du premier ordre nous donne:
@f@x q3 x23 1x13 2p1 q3 x13 1x23 2p2# = 0Il nous faut résoudre le système:
q3 x23 1x13 2p1=0 q3 x13 1x232p2=0()8
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