[PDF] [PDF] Cinétique - Opérateur dinertie - Sciences Industrielles en CPGE

View - Download [PDF] Cinétique - Opérateur dinertie - Sciences Industrielles en CPGE

Previous PDF

Next PDF

Cinetique

Operateur d'inertie

Papanicola

Lycee Jacques Amyot

23 septembre 2012Sommaire

Operateur d'inertie

Operateur d'inertie en 1 point

Denition

Matrice d'inertie

Determination du moment d'inertie par rapport a un axe quelconque

Theoreme de Huygens generalise

Changement de base

Proprietes et directions principales

Axes principaux d'inertie, base principale d'inertie

Solide avec un plan de symetrie

Solide avec deux plans de symetrie

Solide avec une symetrie de revolution

Solide plan d'epaisseur negligeable

Matrices d'inertie de quelques solides elementairesOperateur d'inertie

Operateur d'inertie en 1 point - DenitionDenition

On appelle operateur d'inertieI

O(S) au pointOd'un solideS

l'operateur qui a tout vecteur#ude l'espace associe le vecteurI

O(S)#u=Z

P2S # OP^#u^# OP dm:(1)L'operateur d'inertie permet de synthetiser l'ensemble des caracteristiques d'inertie d'un solide. Cet operateur est une fonction lineaire et peut ^etre represente par une matrice.Operateur d'inertie

Matrice d'inertie - Matrice d'inertie

Soit (O;#x;#y;#z), un repere, et (#x;#y;#z) une base, P, un point du solideS, avec# OP=x#x+y#y+z#z,#u=#x+#y+ #z, un vecteur.

Determinons :# OP^#u^# OP

OP^#u^# OP

=(x#x+y#y+z#z)^(#u^(x#x+y#y+z#z))

OP^#u^# OP

+y2+z2xy xz#x xy+z2+x2 yz#y xzyz+ x2+y2#z

Operateur d'inertie

Matrice d'inertie

En integrant

Z p2S#

OP^#u^# OP

dm= Z p2S y2+z2dmZ p2Sxydm Z p2Sxzdm#x Z p2Sxydm+Z p2S z2+x2dm Z p2Syzdm#y Z p2SxzdmZ p2Syzdm+ Z p2S x2+y2dm#zOperateur d'inertie

Matrice d'inertie

On peut mettre ce resultat sous la forme du produit d'une matrice nommeeI

O(S) et du vecteur#uI

O(S)#u=0

B

BBBBBBBBBB@+

Z p2S y2+z2dmZ p2SxydmZ p2Sxzdm Z p2Sxydm+Z p2S z2+x2dmZ p2Syzdm Z p2SxzdmZ p2Syzdm+Z p2S x2+y2dm1 C

CCCCCCCCCCA0

B

BBBBBBBBBB@

1 C

CCCCCCCCCCA

Cette matrice est caracteristique de la repartition de la matiere d'un solide autour d'un point (iciO) et dans une base donnee (#x;#y;#z). On peut pour chaque solide denir une matrice d'inertie.Operateur d'inertie

Matrice d'inertieI

O(S) =0

B

BBBBBBBBBB@+

Z p2S y2+z2dmZ p2SxydmZ p2Sxzdm Z p2Sxydm+Z p2S z2+x2dmZ p2Syzdm Z p2SxzdmZ p2Syzdm+Z p2S x2+y2dm1 C

CCCCCCCCCCA

O (#x;#y;#z)Operateur d'inertie

Matrice d'inertie

Remarques :

I La matrice d'inertie depend de la base et du point de calcul, il est donc important de les preciser; I

La matrice d'inertie est une matrice symetrique;

I

On nomme aussi cette matrice tenseur d'inertie.

Par convention, on pose :I

O(S) =0

@AFE F BD ED C1 A O (#x;#y;#z)=0 @I (O;#x)PxyPxy

PxyI(O;#y)Pxz

PxyPxzI(O;#z)1

A O (#x;#y;#z)

Operateur d'inertie

Matrice d'inertie - moment d'inertie

On reconna^t sur la diagonale de la matrice

Le moment d'inertie du solideSautour de l'axe (O;#x) :

A=I(O;#x)=Z

p2S y2+z2dm, Le moment d'inertie du solideSautour de l'axe (O;#y) :

B=I(O;#y)=Z

p2S z2+x2dm, Le moment d'inertie du solideSautour de l'axe (O;#z) :

C=I(O;#z)=Z

p2S x2+y2dmOperateur d'inertie

Matrice d'inertie - produits d'inertie

A partir de cette denition de la matrice d'inertie on nomme les trois autres termesproduits d'inertie, soit :

Le produit d'inertie par rapport plan (O;#x;#y) :

F=Pxy=Z

p2Sxydm;

Le produit d'inertie par rapport plan (O;#x;#z) :

E=Pxz=Z

p2Sxzdm; le produit d'inertie par rapport plan (O;#y;#z) :

E=Pyz=Z

p2Syzdm.Operateur d'inertie Determination du moment d'inertie par rapport a un axe quelconque

Le moment d'inertie autour de l'axe

O;# s'ecrit : I (S) =Z P2S #^# OP 2dm=Z P2S #^# OP #^# OP dm:

On sait que (produit mixte) :

#u(#v^#w) =#v(#w^#u)

On pose :

#u=#,#v=# OPet#w=#^# OP alors #^# OP#^# OP =# OP^#^# OP Le moment d'inertie peut se mettre sous la forme : I (S) =#R P2S # OP^~^# OP dm:Operateur d'inertie Determination du moment d'inertie par rapport a un axe quelconque On reconna^t, sous l'integrale, l'operateur d'inertie au pointOdu solideS. Donc I (S) =#I O()# (2) SiI

O(S) =0

@AFE F BD ED C1 A O Bet ) alors I (S) = (;; )0 @AFE F BD ED C1 A O B0 B 1 C A(3)

Operateur d'inertie

Theoreme de Huygens generalise

On recherche la relation entre la matrice d'inertie enAdu solideSet la matrice d'inertie enGle centre d'inertie du solide.I

A(S)#u=Z

S # AM^#u^# AM dmI

G(S)#u=Z

S # GM^#u^# GM dm soitI

A(S)#u=Z

S # AG+# GM ^#u^# AG+# GM dmI

A(S)#u=Z

S # AG^#u^# AG dm+Z S # AG^#u^# GM dm Z S # GM^#u^# AG dm+Z S # GM^#u^# GM dmOperateur d'inertie

Theoreme de Huygens generalise

quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

[PDF] centre d'inertie d'un cylindre creux

[PDF] moment d inertie d un cone tronqué

[PDF] cout moyen calcul

[PDF] calculer le mode d'une classe modale

[PDF] calcul du mode en statistique

[PDF] moyenne variable continue

[PDF] la classe modale

[PDF] série statistique discrète et continue

[PDF] formule pib optique demande

[PDF] pib = cf + fbcf + vs + xm

[PDF] pib optique revenu

[PDF] comment calculer le pouvoir d'achat formule

[PDF] exemple de calcul du pouvoir d'achat

[PDF] calcul indice prix consommation

[PDF] calcul pouvoir d'achat ses