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Chap2 : Eléments d"inertie

EXERCICES de MECANIQUE

Professeur

: Franck Besnard

CPGE PSI

1

Exercice 5

: détermination de la matrice centrale d"inertie d"un cylindre (CORRECTION)

De plus, les axes

(G,x)?? et (G,y)?? jouent le même rôle dans la répartition des masses. On en déduit que A=B.

On a donc la matrice suivante :

G R

A B 0 0

I (S) 0 B A 0

0 0 C

Choix du paramétrage :

Nous utiliserons les coordonnées cylindriques r, q et z avec dV=rdrdqdz

Domaine d"intégration :

r varie de 0 à R, z de -H/2 à H/2 et q de 0 à 2p

Calcul :

H 2 R 42
3 H 0 0

2RC (x² y²)dm r .dr.d .dz .2 .H.4

p = + = r q = r p∫∫∫ ∫ ∫ ∫ avec 2M .R .Hr =p soit

2MRC2=

oxGxz GxyI A (y² z²)dm y²dm z²dm I I B" C"= = + = + = + = +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

oyGyz GxyI B (x² z²)dm x²dm z²dm I I A" C"= = + = + = + = +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

ozGyz GxzI C (x² y²)dm x²dm y²dm I I A" B"= = + = + = + = +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

Les plans [Gxz] et [Gyz] jouent le même rôle pour la répartition de la matière. On peut donc

en déduire que A"=B"=C/2 et par conséquent que

GxyC CA I C"2 2= + = +

H 2 R 32
Gxy H 0 0 2 M H R² MH²I C" z²dm z².rdr.d .dz .2 . .R²H 12 2 12 p = = =r q = p =p∫∫∫ ∫ ∫ ∫

D"où :

MR² MH²A4 12= +

1) Déterminez la matrice centrale d"inertie d"un cylindre de

révolution plein et homogène de masse M , de rayon R et de hauteur H.

Détermination de la base centrale d"inertie :

Le repère

(G,x,y,z)?? ?? ? est bien le repère central d"inertie du cylindre. L"axe (G,z)? est axe de symétrie donc E=D=0.

De même l"axe

(G,x)?? est axe de symétrie donc F=E=0.

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: Franck Besnard

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2 La matrice centrale d"inertie du cylindre s"écrit ainsi : G R

MR² MH²0 04 12

MR² MH²I (S) 0 04 12

MR²0 02

2) Déduisez-en la matrice d"inertie au centre de l"une de ses bases.

On peut appliquer le théorème de Huygens, soit : O G R b² c² ab ac

I I M. ab c² a² bc

ac bc a² b² Avec

HGO a.x b.y c.z .z2= + + = -???? ?? ?? ? ?

On obtient :

O G R x,y,z

R² H²H²0 00 04 34

H² R² H²I I M. 0 0 M. 0 04 4 3

0 0 0

R²0 02( )

3) Cas particulier d"un disque et d"un barreau cylindrique.

Masse M, rayon R et d"épaisseur négligeable devant R :

Le terme

MH²

12 est alors négligeable devant MR²

4 et on obtient alors au centre du disque :

G x,y,z

1 0 0MR²I (disque) . 0 1 040 0 2( )( )

Cas d"une tige cylindrique de masse M dont le rayon est négligeable devant la longueur H.

C"est alors le terme

MR²

4 qui très petit devant le termeMH²

12. Si G est le centre d"inertie du

barreau et O l"une de ses extrémités.

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3 G R

H²0 012

H²I (tige) M. 0 012

R²0 02

et O R

H²0 03

H²I (tige) M. 0 03

R²0 02

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Exercice 6 :

1)

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