Cours de statistique descriptive
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La moyenne de cette série statistique est le réel noté Pour calculer la moyenne on détermine les milieux des classes de la distribution puis on
Comment on calcule le mode en statistique ?
Mode : La valeur la plus fréquente d'une série statistique — C'est la (ou les) valeur(s) du caractère dont l'effectif est le plus grand. Exemple : le mode de la série {4 , 2, 4, 3, 2, 2} est 2 car il apparaît trois fois. 2 est la valeur qui a le plus grand nombre d'occurrences.Comment calculer le mode d'une classe ?
Le mode de la classe modale est donc donné par : Mod=48+(99+12)?, soit 49,3 au dixième près. Ce qui est assez près de la valeur centrale de la classe modale qui est 49,5.
1LMod=48.2d1=9.3d2=12.4a=3.Comment déterminer le mode et la médiane ?
Mode : Le mode est la valeur la plus fréquente dans un échantillon. Médiane : la médiane est un nombre qui divise en 2 parties la population telle que chaque partie contient le même nombre de valeurs.- La médiane
On la calcule de la manière suivante : Si le nombre d'observations de l'échantillon est impair alors il s'agit de l'observation x[n/2+1], sachant que les x[i] représentent l'observation se trouvant en ième position après tri des observations.
Laetitia Perrier Bruslé
Cours de statistique descriptive
Cours de statistique
descriptiveTD 2 : Les valeurs centrales
2Introduction et définition des
valeurs centrales Les valeurs centrales permettent de résumeren une seule valeur l'ensemble des valeurs d'une distribution statistique. Il existe trois valeurs centrales : le mode, la médiane, la moyenne. Les indicateurs de valeurs centrales ne concernent que les caractères quantitatifs. Ils s'expriment toujours dans la même unité que celle du caractèreLaetitia Perrier Bruslé
Cours de statistique descriptive
I - La moyenne
4Introduction
En théorie, on ne peut calculer la moyenne que pour les caractères quantitatifs continus. Dans la pratique, on la calcule aussi pour des caractères quantitatifs discrets.Il existe deux types de moyenne
La moyenne simple: calculée à partir d'un tableau élémentaire où à chaque élément ne correspond qu'une seule donnée. La moyenne pondérée: calculée à partir d'un tableau de dénombrement. Dans ce cas là l'effectif n i pour la valeur x d'un caractère sert de coefficient pondérateur. 51-1 La moyenne arithmétique
simple La moyenne est la somme des valeurs divisée par le nombre d'éléments.N = nombre d'éléments de l'ensemble.
Xi = la valeur du caractère X pour un élément i pris au hasard. Xi = Somme des valeurs du caractère X pour la totalité deséléments de l'ensemble.
6Exemple de moyenne arithmétique
simple : Calcul du salaire moyen dans une entreprise100 000directeur général2030 000directeur adjoint1920 000directeur adjoint185 500cadres175 500cadres165 000cadres154 500cadres144 500cadres132 900ouvriers122 900ouvriers112 700ouvriers102 500ouvriers92 300ouvriers82 100ouvriers72 100ouvriers61 700apprentis51 700apprentis41 500apprentis31 300apprentis21 300apprentis1salaireCatégorien°
7Question 1 et 2 : Calcul du salaire
moyen à partir de différents ensemblesSalaire moyen 10 000 euros
200 000/20 = 10 000
Salaire moyen sans le directeur :
100 000/19 = 5263
Salaire moyen sans le directeur et les sous directeurs50 000/17 = 2941
8La moyenne arithmétique résume
très mal la distributionRépartition des salaires
020 00040 00060 00080 000100 000120 000
0 5 10 15 20 25
Employés
Valeur du salaire en e
Valeurs très dispersées (directeur) et forte dissymétrie (concentration des salaires dans les faibles valeurs et
dispersion dans les fortes valeurs) 91-2 La moyenne arithmétique
pondérée Calcul à partir d'un tableau de dénombrement : Regrouper les valeurs du caractère X en classe.Calculer le centre de chaque classe: X
j Pondérer par l'effectif (nombre d'élément de chaque classe) : n jDiviser la somme des produits X
j n j par l'effectif total de l'ensemble statistique : N 10 Question 3 : réaliser un tableau de dénombrement à partir du tableau élémentaireTableau de dénombrement
Salaire dans l'entreprise X
en 20061100 0001
30 0001
20 0002
5 5001
5 0002
4 5002
2 9001
2 7001
2 5001
2 3002
2 1002
1 7001
1 5002
1 300EffectifSalaire
11Définition relative aux classes
Les classes :
Elles correspondent à une partition de l'ensemble de l'intervalle de variation du caractère. (intervalle allant de la valeur minimum prise par le caractère X dans l'ensemble étudié, à la valeur minimum prise par X dans l'ensemble étudié). Elles sont donc définies par une borne supérieureet une borne inférieure.Amplitude de la classe
Amplitude = Valeur de la borne supérieure - valeur de la borne inférieureCentre de la classe (deux méthodes de calcul)
Centre = Somme de la borne supérieure et de la borne inf. divisée par 2. Centre = Amplitude divisée par deux + borne inf.Calcul de la moyenne pondérée
On considère que le centre de la classe correspond à la moyenne des individus rassemblés dans cette classe. 12Question 4 : Répartition en classe et
calcul de l'amplitude et du centre de chaque classe52 0003 0001 500Centre de la classe
2187525001500 Moyenne de la classe
96 0008[4000; 100 000]2000
7[2000, 4000[1000
5[1000 ; 2000[Amplitude
de la classe effectifSalaires en euro Nb : Noter que les classes sont disjointes (l'intersection de deux classes est nulle, un élément ne peut appartenir qu'à une seule classe) et continues(la partition doit être exhaustive, elle doit intégrer toutes les valeurs que pourrait prendre le caractère dans l'intervalle de variation considéré). 13Question 5 : A partir de ce nouveau tableau
de dénombrement calculer la moyenne pondérée.Rappel :
Moyenne pondérée =
(5*1500)+(7*3000)+(52000*8)/20 = 22 500Centre de la
classeEffectif de
la classeEffectif
totalNb : Cette valeur est beaucoup plus élevée que le salaire moyen réel car les centres des deux dernières classes ne sont pas représentatifs
et beaucoup plus élevés que les moyennes des classes auxquelles ils correspondent 14Calcul des moyennes pondérées
sans tableau de dénombrementSouvent les lignes contenues dans un tableau
élémentaire correspondent àdes ensembles
d'individuset non pas à des individus.Les modalités du caractère X correspondent alors déjà à des moyennes et la moyenne générale
devra pondérer chaque valeur du caractère par le nombre d'individu qu'elle représente. 15Calcul des moyennes pondérées
sans tableau de dénombrementCalcul de la moyenne pondérée dans ce cas :
Moyenne
pondéréeSomme des
produits Xi fois PiModalité du
caractère X pour une " classe i »Effectif des
éléments pour
la " classe i »Effectif total
de l'ensemble deséléments
16Calcul des moyennes pondérées
sans tableau de dénombrementSouvent les lignes contenues dans un tableau
élémentaire correspondent àdes ensembles
d'individuset non pas à des individus.Les modalités du caractère X correspondent alors déjà à des moyennes et la moyenne générale
devra pondérer chaque valeur du caractère par le nombre d'individu qu'elle représente. 17Exemple : calculer la moyenne
pondérée à partir de ce tableau de dénombrement Il faut pondérer le salaire moyen de chaque catégorie de salariés par son effectif. Moyenne pondérée = (5*1500 + 7*2500 + 5*5000 +2*25000 +1*100 000) / 20 = 10 000 euros.
200 000Total masse salariale100 000directeur général25 000directeurs adjoints5 000cadres2 500ouvriers1 500apprentissalaire moyen en euro (Xi)Catégorie
2012575Effectif (Pi)
181-3 Calcul sur les moyennes :
moyenne des taux et taux moyen Une application directe de la moyenne pondérée concerne les caractère quantitatif de taux, < caractères X définis comme le rapport de deux caractères de stock V (numérateur) et P (dénominateur). Lorsque l'on considère un ensemble de N d'éléments décrits par le caractère X, il faut clairement distinguer le taux moyenet la moyenne des taux. Taux moyen = La valeur du rapport V/P si tous les individusétaient fusionnés
Moyenne des taux = La moyenne des valeurs d'individus de poids différents 19Exemple d'application : calculer la
moyenne des taux et la moyenne pondérée 2018 500
Taïwan
13003 500
Chine Populaire
Population en million
d'habitantsPIB ($ / hab.)
- Caractère de taux - Pays (18 500 + 3500)/2 = 11 000Moyenne des
taux (3500*1300) + (18500*20)/1320 = 3727Taux moyen
= Moyenne pondérée 20Question 6 : description du tableau
Ensemble : les régions françaises.
Elément : chacune des régions.
Population en milliers : quantitatif, mesurable, de stock, discretBac +2 : quantitatif, mesurable, de taux, continu
Zone : qualitatif, nominal
Moyenne des taux = moyenne régionale métropolitaine Additionner les valeurs de X pour le caractère " Bac+2 » et divisé par l'effectif (=nombre de région = 22) : 343/22=15,63 21Question 7 Moyenne des régions et
moyenne françaiseMoyenne des régions (moyenne des taux) :
15,6 (moyenne des modalités du caractère Bac+2 pour les 22
régions).Moyenne française (taux moyen)
18,4 (hommes ayant un niveau bac+2 rapportée à la population
masculine) Pour la calculer : faire la somme des produits (taux Bac+2*population régionale)/population totale française De cette façon : chaque taux est pondéré par le poids de la population régionale 22Question 8 : Moyenne par sous
ensemble régional15,2Moyenne sans IDF
19,9Taux moyen16,4Moyenne des taux30,1
11 131Île-de-France19,2
5 814Rhône Alpes18,7
4 665PACA18,1
1 775Alsace14,9
4 013Nord-Pas de Calais14,7
1 131Franche Comté14,5
2 319Lorraine14
2 467Centre13,9
1 787Hte Normandie13,2
1 869Picardie13,11 612Bourgogne12,61 337
Champagne
ArdennesBac+2
ansPop°2003zone NNE
14,68Moyenne des taux18,2
2 638Midi-Pyrénées16,82 402Languedoc Roussillon16,32 988Aquitaine16
2 978Bretagne14,7
3 312Pays-de-Loire13,4
266Corse13,4
1 314Auvergne12,7
1 668Poitou-Charente12,7
1 436Bse Normandie12,6
711LimousinBac+2an
sPop° 2003ZONE SSO 2324
Conclusion : propriété de la
moyenne La somme des écarts à la moyenne est égale à zéroLa moyenne minimise les distances au carré
est minimum si ,et seulement si, A est la moyenne du caractère XLaetitia Perrier Bruslé
Cours de statistique descriptive
II - La médiane
26Introduction
La médiane ne peut-être calculée que pour les caractères quantitatifs. Les éléments étant classés en fonction des valeurs du caractère par ordre croissant. La médiane est la valeur du caractère qui partage l'ensemble statistique en deux ensembles d'effectifs égaux: 50 % des valeurs lui sont supérieures et 50 % lui sont inférieures. La médiane n'est qu'une forme particulière de fractile(appelés aussi quantile). Les fractiles sont des paramètres de position. Ils divisent la distribution en un certain nombre de parties égales en fonction du nombre d'individus et non pas en fonction de leur valeur 27Calcul de la médiane à partir du
tableau élémentaire Ordonner le tableau et repérer l'élément qui partage la distribution en deux parties égales, c'est à dire celui qui a le rang (n+1)/2. Deux cas de figure sont possibles : Soit la distribution a un nombre impair d'élément on trouve une valeur unique qui est laquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] la classe modale
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