[PDF] 1 Chapitre 03 : Etude dune variable statistique continue

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1 Chapitre 03 : Etude d"une variable statistique

continue On appelle V.S continue (ou caractère continu) toute application de et à valeurs réelles et qui prend un nombre "important" de valeurs (Les caractères continus sont ceux qui ont une in...nité de modalités).

Question :Comment étudier ce caractère ?

Réponse: Partager les valeurs prises parXen classes de valeurs.

1.1 Classe de valeurs

De...nition 1On appelle classe de valeurs deXun intervalle de type[a;b[tel queX2[a;b[si et seulement siaX(w)< b, c"est à dire, que les valeurs du caractère sont dans la classe[a;b[. Dès qu"un caractère est identi...é en tant que continu, ces modalitésCk= [Lk;Lk+1[sont des intervalles avec

1.Lk: borne inférieure,Lk+1: borne supérieure.

2.L"amplitudede classeknotéeakdonnée par :

a k=Lk+1Lk

3.Le centrede classeknotéeCkdonnée par :

C k=Lk+Lk+12 dans ce chapitre trois formules suivant : pN;[pN] (partie entière)ou[pN] + 1. Donc, le nombre de classes k'pN:

La formule de sturge

k= 1 + 3:3log10(N):

La formule de yule

k= 2:54pN: Remarque :On peut avoir plusieurs tableaux statistiques selon le nombre de classes. 1

De...nition 2La quantité

n i=Cardf!2 :X(!)2Cig: Nombre d"individus qui prennent des valeursxidansCi:

De...nition 3Le nombre

f i=niN est appelé la fréquence partielle deCi: N i=iX j=1n j: De...nition 5On appelle la fréquence cumulé duCila quantité F i=iX j=1f j:

1.3 Répresentation graphique d"un caractère quantitatif

continue : Comme dans le cas dans variable statistique discret la répresentation graphique d"un caractère quantitatif continue se presente sous deux formes (diagramme

Example 6Tableau statistique :

2

Les classesn

if ia iC id i=nia iN iF

Total2001

1.3.1 Répresentation graphique : (Histogramme)

A chaque classe est associée un rectangledont la longeur est l"amplitude de la classe et dont la hauteur estnia ioùfia i:

1.3.2 Fonction de répartition

De...nition 7La fonctionFx:R![0;1]dé...nie parFx(x)représenter le pour- centage des individus tel que la valeur de leur caractère est inférieure ou égale

àx:Elle est donnée par

F x(x) =8 >>>:0sixxmin F

1sixminxxmin+1

F isixixxi+1

1sixxn

et elle s"appelle la fonction de répartition deX: 3 Nous expliquons cette formulation de la fonction de répartitionn dans cette remarque . La courbe deFxest nulle avanta0, constant égale à 1 aprésanet joint les points(a0;0);(a1;F1):::::(an;1)par des segments de droites.

La courbe des fréquences cumulées.

1.3.3 Caractéristique de position centrales :

On noteCile centre de classeCiet nous considéronsfila fréquence partielle.

1.La moyenne arithmétique :

x=1N m X i=1n iCi=mX i=1f iCi: (2)Le mode: La dé...nition suivante permet de comprendre la démarche à suivre pour calculer le mode d"une manière exacte et qui se trouve dans une des classes appelée "classe modale". De...nition 8Nous dé...nissions la classe modale comme étant la classe des valeurs deXqui a le plus

Dans l"example5

La classe modale est[400;600[dans ce cas on peut prendre M o=400 + 6002 = 500: 4 On peut aussi déterminer graphyquement le mode : La quantité M o=Li1+ai1 1+ 2

Tel que :

Li1:La borne inférieur de la classe modale.

ai:Le pas de classe modale.

1=n0n1;2=n0n2où bien1=f0f1;2=f0f2:

modale. Représentation ou détermination graphique du mode (cascontinu).

Dans l"example5:

M o= 400 + 2000:3000:225(0:3000:225) + (03000:285)'567 (2)La médianeMe:C"est la valeurMetel queF(Me) = 0:5oùFest la fonction cumulative la classe[Li1;Li[: Nous pouvons la déterminer graphiquement où par calcule:

Graphiquement à partir de la formule

5 tan=F(Li+1)F(Li)L i+1Li=F(Me)F(Li)M eLi=0:5F(Li)M eLi Plus précisément, dans la ...gure ci-dessous, nous mettonsF(x) = 0:5et x=Me.

Dans l"example 5:Me2[400;600[

M e= 400 + 2000:50:2250:5250:2255842[400;600[:

1.3.4 Caractéristique de dispersion :

(a)L"étendu: Le nombre

E=emaxemin:

S"appelle étendu deX.

Example 5:E= 1200200 = 1000

(b)La Variance: est la quantité

V ar(X) =1N

m X i=1n iciX2=mX i=1f iciX2: (c)L"écart typex:est la quantité 6 x=pV ar(X) =v uutm X i=1f iciX2: (d)L"écart absolue moyen : E ab=1N m X i=1n iciX Nous généralisons la notion de la médiane dans la dé...nition suivante. (e)Les quartiles :Pouri2 f1:2:3g;la quantitéQitel que

F(Qi) =i4

s"appelleiemequartile.

Pouri= 2; Q2telqueF(Q2) =24

= 0:5:DoncQ2=Me: Interprétation: Il y a25%d"individus dont la valeur du caractère est dans l"intervalle[a0;Q1]. De même pour les autres quartiles. Ces intervalles s"appellent "intervalles interquartiles". Q

1!25%;

Q

2!50%;

Q

3!75%:

Les quartiles.

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