[PDF] Probabilités continues Une variable aléatoire continue

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Probabilites continues

Julie Delon

1/99

Plan du cours

PART 1: Introduction

PART 2: Esperance, variance, quantiles

PART 3: Lois usuelles

PART 4: Loi normale et cie

PART 5: Lois jointes, independance

PART 6: Theoremes limites

2/99

Premiere partie I

Introduction

3/99

Du discret au continu

Denition

Une variable aleatoire (abbr. v.a) reelle est une applicationmesurable X: !R !7!X(!)Unevariable aleatoire discreteprend ses valeurs dans un ensemble ni ou denombrablelance de de,X( ) =f1;2;3;4;5;6gnombre de photons emis par une source lumineuse pendant 1s,X( ) =N4/99

Du discret au continu

Denition

Une variable aleatoire (abbr. v.a) reelle est une applicationmesurable X: !R !7!X(!)Unevariable aleatoire continuepeut prendre une innite non denombrable de valeurs, par exemple dans un intervalle ou sur toutR.taille des individus d'une population,X( ) = [0;M]temps d'attente a la poste,X( ) =R+taux de cholesterol,X( ) =R+poids a la naissance,X( ) = [0;m]... 4/99 Loi d'une variable aleatoire : du discret au continu

0246810121416051020:15/99

Loi d'une variable aleatoire : du discret au continu

051015051020:15/99

Loi d'une variable aleatoire : du discret au continu

051015051020:15/99

Loi d'une variable aleatoire continue

SiXa une loi continue, la probabilite queXprenne une valeur bien preciseaest en general nulle.On ne peut donc pas denir la loi deXen se contentant de donner ses probabilites elementairesP[X=a] pour touta.SiXdesigne le taux de cholesterol d'un individu, alors

P[X= 0:53969252982mgjl] = 0.On s'interesse plut^ot a la probabilite queXsoit dans un intervalle donne [a;b], ou

qu'il soit inferieur a une valeur donneea. 6/99

Du discret au continu

Exercice

On jette un stylo sur une table, et on noteXl'angle (non signe, donc entre 0 et) qu'il forme avec le bord de la table. Quelle est la loi deX? Comment peut-on la representer graphiquement? Quelle est la probabilite de l'evenementf3 X2 g?7/99

Densite de probabilite

Denition

Une variable aleatoireXest ditea densitelorsqu'il existe une fonction positive f

X:R!R+telle que

P(aXb) =Z

b a f

X(x)dxpour tousa;b2R;ab:

Cette fonctionfXest appeleedensitedeX.remarque: on peut prendrea=1oub= +1dans cette formule.baLa probabiliteP(aXb)corres-

pond a l'aire du domaine situe sous le graphe defXentre les abscissesa etb.R +1

1fX(x)dx=P(X2R) = 1. Il faut toujours penser a le verier!8/99

Densite de probabilite

Denition

Une variable aleatoireXest ditea densitelorsqu'il existe une fonction positive f

X:R!R+telle que

P(aXb) =Z

b a f

X(x)dxpour tousa;b2R;ab:

Cette fonctionfXest appeleedensitedeX.remarque: on peut prendrea=1oub= +1dans cette formule.baLa probabiliteP(aXb)corres-

pond a l'aire du domaine situe sous le graphe defXentre les abscissesa etb.R +1

1fX(x)dx=P(X2R) = 1. Il faut toujours penser a le verier!8/99

Calculer la loi d'une variable a densite, c'est calculer sa densite! 9/99

P[X=x]

Si la variable aleatoireXa une densitefX, alors pour toute valeura, la probabilite queXprenne la valeuraest0!!!

P(X=a) =P(aXa) =Z

a a f

X(x)dx= 0

On s'interesse plut^ot a la probabilite queXprenne ses valeurs dans un intervalle donne [a;b] 10/99

Decrire une loi

M^eme terminologie que pour des distributions discretes : dyssymetrie (skewness), moyenne, variance, median, mode, quantiles, etc. 11/99

Exercice

Exercice

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des densites de probabilite?1f(x) =8 :x+ 1 si1x0

1xsi 0x11

0 sinon.2f(x) =(

x2si 0x1

0 sinon.3f(x) =(

2cos(x) si 0x2

0 sinon.4f(x) =(

34
(1x2) si1x1

0 sinon.

12/99

Fonction de repartition

Denition

Lafonction de repartitiond'une variable aleatoireXest la fonction denie pour tout t2Rpar F

X(t) =P(Xt):

Autrement dit,FX(t) est la probabilite de l'evenement "la valeur deXest inferieure ou egale at".F XF XFigure:Exemples de fonctions de r epartitiond'une va riablediscr eteet d'une va riablecontinue. 13/99

Proprietes de la Fonction de repartition

F

X(t)2[0;1] pour toutt2R;F

Xest une fonctioncroissantelim

x!1FX(x) = 0 et limx!+1FX(x) = 1pour toutaDensite de probabilite de fonction de repartition

Proposition

Si la fonction de repartitionFXest derivable, alorsXest une variable a densite et sa densite est la derivee deFX: f

X=F0XExercice

On jette un stylo sur une table, et on noteXl'angle (non signe, donc entre 0 et) qu'il forme avec le bord de la table. Quelle est la fonction de repartition de la loi deX?15/99

Deuxieme partie II

Esperance, variance, quantiles

16/99

Esperance

Denition

SoitXune variable aleatoire continue de densitefX, son esperance est

E[X] =Z

R tf

X(t)dt;

lorsque cette integrale est bien denie.Si l'integrale precedente n'est pas convergente, alors l'esperance deXn'est pas denie.

E[X] est une moyenne ponderee des valeurs que peut prendreX. 17/99

Proprietes de l'esperance

Proposition

Soient X et Y deux variables aleatoires et2Run nombre reel, on a alorsE() =E(X) =E(X)E(X+) =E(X) +E(1X+2Y) =1E(X) +2E(Y)BAttention cependant, meme si l'esperance admet beaucoup de proprietes qui la

rendent agreable, elle ne respecte pas en general la multiplication (E(XY)6=E(X)E(Y)), sauf pour des variables independantes. 18/99

Proprietes de l'esperance

Proposition

SoientXune variable aleatoire continue de densitefX, etg:R!Rune fonction quelconque. L'esperance deg(X) se calcule ainsi :

E(g(X)) =Z

R g(x)fX(x)dx:BIl se peut tres bien queE(g(X)) n'existe pas alors queE(X) existe! 19/99

Esperance

Que pouvez-vous dire des esperances relatives de ces densites?1050510051020:10:150:220/99

Esperance

Que pouvez-vous dire des esperances relatives de ces densites?105051000:10:20:30:420/99

Variance

Denition

SoitXune variable aleatoire continue de densitefX, sa variance est

Var[X] =E[(XE[X])2] =Z

R (tE[X])2fX(t)dt =E[X2]E[X]2=Z R t2fX(t)dt Z R tf

X(t)dt

2

lorsque ces integrales sont bien denies.La variance est un nombre positif, qui peut ^etre inni m^eme si l'esperance existe.

Denition

L'ecart-typed'une variable aleatoireXest la racine carree de sa variance : (X) =pVar(X):21/99

Proprietes de la variance

Proposition

Soit X une variable aleatoire et2Run nombre reel, on a alorsVar() =Var(X+) =Var(X) =22/99

Proprietes de la variance

Proposition

Soit X une variable aleatoire et2Run nombre reel, on a alorsVar() = 0Var(X+) =Var(X)Var(X) =2Var(X)22/99

Variance

Que pouvez-vous dire des variances de ces densites?105051000:10:20:30:423/99

Quantile

Denition

Lesquantilesd'une distributionfsont les valeurs permettant de diviser le support de

la distribution en intervalles de poids egaux.On parle de q-quantile lorsqu'on divise le poids de la distribution en q intervalles. Il y

en aq1

Par exemple2-quantile = median

3-quantile = tercile

4-quantile = quartile

10-quantile = decile

Lesq-quantiles de la distributionfXde fonction de repartitionFXsont les valeurs F 1 Xiq ;i2 f1;:::;q1g 24/99

Exercice

Exercice

SoitXune variable aleatoire de densite

f

X(x) =(

43
x1=3si 0x1

0 sinon.1Quelle est la fonction de repartition deX?2Quelle est l'esperance deX?3Quelle est la variance deX?4Quelle est la probabilite de l'evenementf13

X12 g?5Quelles sont les terciles de la loi deX?25/99 Decrire une loi : relation entre moyenne et median 26/99

Cas des lois symetriques

Si une loi est symetrique par rapport a la valeur, sa moyenne et sa mediane concident et valent. Dans ce cas, soniemeq-quantile et son (qi)emequantile sont symetriques l'un de l'autre par rapport aa: F1 Xiq =F1 Xqiq F 1

X(110)F

1

X(910)

27/99

Troisieme partie III

Lois usuelles

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Loi uniforme

Denition

La loi uniforme sur un intervalle [;] est la loi de densite f(x) =

1six2[;];

0 sinon.

On noteX U([;]) ("Xsuit la loi uniforme sur [;]").Dans l'exemple du stylo qui tombe sur une table, il est raisonnable de supposer que

l'angleXsuit la loi uniforme sur [0;]. On aura donc par exemple : P X2 =Z 2 01 dx=12 ou encore : P4 X2 =Z 2 41
dx=14 :29/99

Fonction de repartition d'une loi uniforme

SiXsuit la loi uniforme sur [;], on a

f

X(x) =

1six2[;];

0 sinon,

et donc F

X(x) =8

:0 six xsix2[;];

1 six20246810051020:10:150:22024681000:20:40:60:81

Figure:Densit e( agauche) et fonction de r epartition( adroite) de la loi unifo rmesur l'intervalle [2;7].30/99

Loi uniforme

ExerciceSoitXune variable aleatoire de loi uniforme sur [;]. Calculez l'esperance et la variance deX.31/99

Loi exponentielle

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