[PDF] Seconde 7 année 2013-2014 Exercices: corrigés • 1/6 CALCUL

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Seconde 7, année 2013-2014 CALCUL LITTÉRALExercices: corrigés²1/6CALCUL LITTÉRAL:CORRIGÉSExercice 1 DÉVELOPPER

A(x)AE(4x¡1)2Å(3x¡2)(xÅ4)

AE16x2¡8xÅ1Å3x2Å10x¡8

AE9x2Å12xÅ4Å15x2¡7x¡2

AE1¡4x2Åx2¡2xÅ1

AE¡2¡9x6Å12x3Å4¢

AE16¡x4¡2¡x6Å2x3Å1¢

AE16¡x4¡2x6¡4x3¡2

F(x)AE¡2x6¡x4¡4x3Å14Exercice 2 DÉVELOPPER

A(x)AE(xÅ1)¡x2ÅxÅ1¢

AEx3Åx2ÅxÅx2ÅxÅ1

AE3x3¡x2¡3x2ÅxÅ6x¡2

C(x)AE3x4¡4x3Å5x2¡2xÅ1

Seconde 7, année 2013-2014 CALCUL LITTÉRALExercices: corrigés²2/6Exercice 3 FACTORISER a(x)AE¡(xÅ1)(x¡1)Å3x(x¡1)

AE(x¡1)(¡x¡1Å3x)

AE(xÅ2)(xÅ2)Å(xÅ2)£1

d(x)AE(xÅ2)(xÅ3)Exercice 4 FACTORISER a(x)AEx2¡4xÅ4

AEx2¡2£2£xÅ4

a(x)AE(x¡2)2 b(x)AE6xÅ9Åx2

AEx2Å2£3£xÅ32

b(x)AE(xÅ3)2c(x)AE25x2¡4

AE(5x)2¡22

c(x)AE(5x¡2)(5xÅ2) d(x)AE9¡4x2

AE32¡(2x)2

AE(2x¡1)2¡(3x)2

AE e(x)AE(¡x¡1)(5x¡1) f(x)AE(xÅ2)2¡(3¡2x)2 AE AE f(x)AE(3x¡1)(¡xÅ5)Exercice 5 Écrire les expressions suivantes sous la formea.xn, oùadésigne un réel. a)

2Exercice 6

Développer les expressions algébriques suivantes :

d)d(x)AE¡3¡2x2¢¡3Å2x2¢¡¡4¡3x2¢2e)e(x)AE(2x¡5)(2xÅ5)¡3(xÅ1)(4¡x)Exercice 7

Factoriser les expressions algébriques suivantes : d)d(x)AE4x2¡(3xÅ2)2e)e(x)AE9x2¡(¡xÅ1)2f)f(x)AE3x¡1¡(x¡2)(3x¡1)Exercice 8 Factoriser les expressions algébriques suivantes : Seconde 7, année 2013-2014 CALCUL LITTÉRALExercices: corrigés²3/6Exercice 5

2AEx5¡2AEx3Exercice 6 DÉVELOPPER

a(x)AE(x¡3)2¡(4x¡3)(xÅ2)

AEx2¡6xÅ9¡4x2¡5xÅ6

AE¡3x2¡7x¡2¡4Å12x¡9x2

AE6x2¡2x3¡9xÅ3x2Å3¡x

AE9¡4x4¡¡16¡24xÅ9x4¢

AE9¡4x4¡16Å24x¡9x4

AE4x2¡25Å3x2¡9x¡12

e(x)AE7x2¡9x¡37Exercice 7 FACTORISER

AE(x¡2)(3x¡1¡2x¡5)

AE(2xÅ3)(2xÅ3¡4x¡2)

AE42¡x2

AE(2x)2¡(3xÅ2)2

AE

AE(2x¡3x¡2)(2xÅ3xÅ2)

AE(3x)2¡(¡xÅ1)2

AE

AE(3xÅx¡1)(3x¡xÅ1)

AE1.(3x¡1)¡(x¡2)(3x¡1)

AE(3x¡1)(1¡xÅ2)

f(x)AE(3x¡1)(¡xÅ3)Exercice 8 FACTORISER

Cet exercice est plus difficile car il faut d"abord faire apparaître le facteur commun qui n"est pas évident. Pour les deux

premières, on peut procéder de différentes façons.

AE(2x¡1)(x¡3¡x¡4)

AE(3x¡1)2¡(x¡2)(3x¡1)

AE(3x¡1)(3x¡1¡xÅ2)

AE(x¡5)(xÅ2)Å(x¡5)2

c(x)AE(x¡5)(2x¡3) Seconde 7, année 2013-2014 CALCUL LITTÉRALExercices: corrigés²4/6APPROFONDISSEMENT

Dans l"exercice 8, on est amené à" faire apparaître »le facteur commun (ce qui ne signifie pas que l"on peut faire cela

n"importe comment). On utilise souvent pour cela les résultats suivants :

A(x)AE(axÅb)(cxÅd)B(x)AE(axÅb)2

A(x)AE(¡ax¡b)(¡cx¡d)

qu"on peut énoncer de la façon suivante : d ansu npr oduitde deux expr essionsalgébr iquesen trepar enthèses,o npeut c hangert ousles sign esà l "intérieurdes deu xpar enthèses;

c hangerle sig nedev antle p roduitdes deu xp arenthèseset cha ngert ousl essig nesdan sl "unedes deu xpa -

renthèses seulement;

d ansu neexp ressionalgébr iquee ntrep arenthèsesau c arré,o np eutch angert ousl essign esà l "intérieurdes pa-

renthèses.

Dans le corrigé précédent, pour (1¡2x)(xÅ4) (dansa(x)) et pour (x¡2)(¡3xÅ1) (dansb(x)), on a changé tous les

signes dans l"une des deux parenthèsesetchangé le signe devant le produit des deux. On a aussi par exemple :

On peut alors proposer d"autres corrigés poura(x) etb(x) dans l"exercice 8. Par exemple :

AE(3x¡1)2Å(¡xÅ2)(3x¡1)

AE(¡3xÅ1)2Å(x¡2)(3x¡1)

b(x)AE(¡3xÅ1)(¡2x¡1)Remarque : les deux derniers résultats sont bien cohérents puisque (3x¡1)(2xÅ1)AE(¡3xÅ1)(¡2x¡1) (tous les signes

sont opposés dans les deux parenthèses).Exercice 9

Reconnaître les expressions similaires. Indiquer les réponses sous la forme " 1 : a, b » par exemple.

1. ( x¡1)(3¡2x) a) ( xÅ1)(3Å2x) b) ( ¡xÅ1)(¡3Å2x) c)¡(x¡1)(2x¡3) 2. (2 x¡1)(3¡x) a) ( ¡2xÅ1)(x¡3) b)¡(1¡2x)(3¡x) c)¡(2x¡1)(3Åx)

3.¡(xÅ1)(x¡5)

a) (5 ¡x)(xÅ1) b)¡(¡x¡1)(¡xÅ5) c) ( ¡x¡1)(¡5Åx)4.1 ¡(x¡1)2 a)

1 Å(¡xÅ1)2

b)

1 ¡(¡1Åx)2

c)

1 ¡(1¡x)2

5.¡(4x¡1)(2x¡1)

a) ( ¡4xÅ1)(2x¡1) b)¡(¡1Å2x)(¡1Å4x) c)¡(1¡4x)(1¡2x) 6. (3 x¡1)(¡2xÅ1) a)¡(3x¡1)(2xÅ1) b) ( ¡3xÅ1)(2xÅ1) c)¡(3xÅ1)(2xÅ1)7.( ¡x¡1)(xÅ2) a) ( xÅ1)(¡x¡2) b) (2 ¡x)(xÅ1) c)¡(xÅ2)(xÅ1)

8.¡(2x¡3)2(xÅ2)

a)¡(3¡2x)2(xÅ2) b) (2 x¡3)2(¡x¡2) c) ( ¡2xÅ3)2(xÅ2)

9.¡xÅ1¡(x¡1)2

a)x¡1Å(¡xÅ1)2 b)¡(x¡1)¡(1¡x)2 c)

1 ¡xÅ(¡xÅ1)2On est souvent amené à factoriser dans un produit de facteurs ou à l"intérieur d"une parenthèse au carré.

Par exemples : (4x¡6)(x¡5)AE2(2x¡3)(x¡5) et (4x¡6)2AE4(2x¡3)2.

On a de même :

Seconde 7, année 2013-2014 CALCUL LITTÉRALExercices: corrigés²5/6Exercice 10

Reconnaître les expressions similaires.

1. (3 x¡3)2 a)

3( x¡1)2

b) (3 ¡3x)2 c)

9( ¡xÅ1)22.2(2 xÅ4)2

a)¡2(¡2x¡4)2 b)

4( xÅ2)2

c)

8( xÅ2)23.(3 x¡6)2¡(4xÅ8)(¡xÅ1)

a)

9( x¡2)2Å4(2Åx)(x¡1)

b) ( ¡3xÅ6)2¡4(¡2¡x)(x¡1) c)¡4(1¡x)(2Åx)Å9(2¡x)2Exercice 11 Factoriser les expressions algébriques suivantes en un produit de facteurs du premier degré.

d)d(x)AE(3xÅ1)2¡(9xÅ3)(x¡4)e)e(x)AE(5¡x)(¡x¡2)Å(4xÅ8)2f)f(x)AE2xÅ1¡(¡4x¡2)(3x¡4)Exercice 12

Factoriser les expressions algébriques suivantes en produit de facteurs du premier degré. E(x)AE9x2¡1Å(2¡6x)(xÅ1)¡1Å6x¡9x2F(x)AE(3xÅ5)(3x¡5)¡3xÅ5Exercice 13 Factoriser les expressions algébriques suivantes en produit de facteurs du premier degré. I(x)AE(x¡4)4¡(x2¡8xÅ16)J(x)AEx2Å2xÅ1¡(xÅ1)4Corrigé de l"exercice 12

A(x)AE(2¡x)[3(3xÅ1)¡(xÅ2)]

A(x)AE(2¡x)(9xÅ3¡x¡2)

B(x)AE[2(2x¡1)¡3][2(2x¡1)Å3]

B(x)AE(4x¡2¡3)(4x¡2Å3)

D(x)AE(2¡x)(18¡9x¡6x¡2¡1)

D(x)AE(2¡x)(15¡15x)

F(x)AE(3x¡5)(3xÅ4)

Seconde 7, année 2013-2014 CALCUL LITTÉRALExercices: corrigés²6/6Corrigé de l"exercice 13

(on change tous les signes dans la parenthèse au carré) (on permute l"ordre de l"addition)

A(x)AE(x¡2)(2xÅ4)

C(x)AE3(2x¡3)2¡2x(3¡2x)

C(x)AE3(3¡2x)2¡2x(3¡2x)

(on change les signes et on permute l"ordre dans la paren- thèse au carré)

C(x)AE(3¡2x)[3(3¡2x)¡2x]

C(x)AE(3¡2x)(9¡8x)On peut aussi faire :

C(x)AE3(2x¡3)2¡2x(3¡2x)

C(x)AE3(2x¡3)2Å2x(2x¡3)

(on change les signes dans une parenthèse (et on permute l"ordre de l"opération) et on change le signe devant le pro- duit)

C(x)AE(2x¡3)[3(2x¡3)Å2x]

(on permute juste les termes)

D(x)AE(3x¡1)[¡(3x¡1)¡1¡2]

D(x)AE(3x¡1)(¡3x¡2)On peut aussi faire :

(on change les signes et on permute dans la parenthèse au carré; on change les signes et on permute dans la dernière parenthèse et on change le signe devant)

D(x)AE(1¡3x)[¡(1¡3x)Å1Å2]

E(x)AE(2x¡1)(2xÅ1)Å4(2x¡1)

E(x)AE(2x¡1)[(2xÅ1)Å4]

F(x)AE2(x2Å2xÅ1)Å(xÅ1)

F(x)AE2(xÅ1)2Å(xÅ1)

F(x)AE(xÅ1)[2(xÅ1)Å1]

PourG(x), on peut démarrer en utilisant la factorisation deA2¡B2, ce qui donne : (on a utiliséA2¡B2AE[A¡B][AÅB])

G(x)AE(¡x2Å4x¡3)(x2Å4x¡5)

Le problème, c"est qu"ici on obtient des facteurs du second degré que l"on ne sait pas factoriser plus (ce ne sont pas des identités remarquables). En fait, on peut obtenir une meilleure factorisation en démarrant ainsi :

G(x)AE16(x¡1)2¡(x¡1)2(xÅ1)2

Ici, on reconnaît aussi une factorisation du typeA2¡B2 d"où : cer ainsi : (on a utiliséA2¡B2AE[A¡B][AÅB])

H(x)AE(9x2¡6xÅ1)(9x2Å6x¡3)

H(x)AE(3x¡1)2(9x2Å6x¡3)

mais, comme pourG(x), on obtient un facteur du second degré qu"on ne sait pas factoriser car ce dernier n"est pas une identité remarquable. Reprenons : (on a mis (3x¡1)2en facteur) (on a utiliséA2¡B2AE[A¡B][AÅB])

H(x)AE(3x¡1)2(3x¡1)(3xÅ3)

I(x)AE(x¡4)4¡(x¡4)2

I(x)AE(x¡4)2(x¡4)2¡(x¡4)2

(on a mis (x¡4)2en facteur) (on a utiliséA2¡B2AE[A¡B][AÅB])

J(x)AE(xÅ1)2¡(xÅ1)4

J(x)AE(xÅ1)2¡(xÅ1)2(xÅ1)2(même idée que pourI(x))

J(x)AE(xÅ1)2(¡x)(xÅ2)

J(x)AE¡(xÅ1)2x(xÅ2)

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