[PDF] Planche dexercices Colles de mathématiques en BCPST1

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Planche d"exercices

Colles de mathématiques en BCPST1

Corentin Kilque

5 avril 2019

A propos

Ce document rassemble les exercices que j"ai récolté durant l"année 2018/2019 pour deux heures de colles de mathématiques en BCPST1. Mes sources principales sont la bibliothèque d"exercices de Bibmath.net, une banque d"exercices de colles de Gery Hurvent, ainsi que les livresCours de mathématiques, Sup MPSI PCSI PTSI TSIde Alain Soyeur, François Capaces et Emmanuel Vieillard-Baron,Les méthodes et exercices de mathématiques MPSI de Jean-Marie Monier etMaths MPSIde Marie Allano-Chevalier et Xavier Oudot. Le programme de colle de la semaine correspondante est brièvement rappelé, et les

exercices organisés par thème. Ils ont également une note de difficulté indiquée par des

étoiles. Le choix de ces exercices ainsi que mon appréciation de leur difficulté est tout à

fait personnel, et ceux-ci ne sont pas exempts d"erreurs. Je vous invite à me contacter si vous en déceler une ou pour toute question relative à ces exercices.

Table des matières

1 Semaine 1 3

2 Semaine 2 5

3 Semaine 3 6

4 Semaine 4 8

5 Semaine 5 10

6 Semaine 6 13

7 Semaine 7 16

8 Semaine 8 18

9 Semaine 9 20

10 Semaine 10 22

11 Semaine 11 25

12 Semaine 12 28

1

13 Semaine 13 29

14 Semaine 14 31

15 Semaine 15 34

16 Semaine 16 36

17 Semaine 17 39

18 Semaine 18 41

19 Semaine 19 43

20 Semaine 20 46

21 Semaine 21 48

2

1 Semaine 1

Fonctions spéciales, dérivée partielle, dérivée d"une fonction composée, calcul d"inté-

grale, intégration par parties.

Exercice 1.CalculerZ1

0 x2exdx: Exercice 2.Montrer que partout où le membre de droite est bien défini, on a l"inégalité 12

6xx(1x)1x:

Exercice 3.Trouver toutes les solutions réelles de 2cos

2(x)sin(x) = 1:

Exercice 4.On définit les fonctions

ch(x) =ex+ex2 ;sh(x) =exex2 ;etth(x) =sh(x)ch(x): a.) Donner le domaine de d éfinitionde ces trois fonctions. b.) Mon trerque lorsque la quan titées tbien définie, ch

2(x)sh2(x) = 1:

c.) Donner le domaine de dériv abilitédes fonctions et calculer leurs dér ivéessur ces domaines. d.)

Donner l"allure de scourb esdes fonctions chetsh.

Exercice 5.Pourn>0, calculer

I n=Z e 1 tnln(t)dt:

Exercice 6.Pourn>0on définit

I n=Z 2 0 sin(t)ndt: a.)

Calculer I0etI1.

b.)

P ourn>0, exprimerIn+2en fonction deIn.

c.)

En déduire par récurrence que p ourn>0,

I 2n=2 (2p)!(2 pp!)2etI2n+1=(2pp!)2(2p+ 1)!: 3

Exercice 7.CalculerZ1

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