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Sujets et corrigés des DS
de mathématiques et d"informatiqueBCPST1A lycée Hoche 2015-2016
Sébastien Godillon
Table des matières
Sujet du DS n
o1 (mathématiques, 3h) 3Corrigé du DS n
o15Exercice 1 (logique, nombres réels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5Problème 1 (nombres complexes, équations, polynôme, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . .
6Exercice 2 (nombres réels, inéquations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9Problème 2 (logique, nombres complexes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10Exercice 3 (nombres réels, équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14Sujet du DS n
o2 (mathématiques, 3h) 15Corrigé du DS n
o217Exercice 1 (sommes, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17Problème 1 (étude de fonctions, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18Exercice 2 (nombres complexes, trigonométrie, inéquations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22Problème 2 (suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25Exercice 3 (sommes, trigonométrie, équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28Sujet du DS n
o3 (mathématiques et informatique, 3h) 30Corrigé du DS n
o333Problème 1 (dénombrement, applications, logique, sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33Exercice (dénombrement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38Problème 2 (études de fonctions, informatique, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39Sujet du DS n
o4 (mathématiques, 3h) 43Corrigé du DS n
o445Exercice 1 (systèmes linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45Problème 1 (dérivées, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46Exercice 2 (inéquations, dérivées) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50Problème 2 (dénombrement, applications) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52Exercice 3 (systèmes linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54 BCPST1A lycée Hoche 2015-2016 1 sur 141 Sébastien Godillon
Sujet du DS n
o5 (mathématiques, 3h) 58Corrigé du DS n
o560Exercice 1 (géométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60Problème 1 (suites, sommes, limites, équivalents) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60Exercice 2 (équations différentielles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65Problème 2 (matrices, suites, limites, équivalents) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66Exercice 3 (matrices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72Sujet du DS n
o6 (mathématiques, 3h) 74Corrigé du DS n
o676Exercice 1 (étude de fonctions, suites, limites, équivalents) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76Problème 1 (polynômes, quantificateurs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79Exercice 2 (polynômes, systèmes linéaires, primitives) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82Problème 2 (polynômes, étude de fonctions, limites, équivalents, applications) . . . . . . . . . .
84Exercice 3 (nombres réels, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88Sujet du DS n
o7 (mathématiques, 3h) 89Corrigé du DS n
o791Problème 1 (probabilités, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91Exercice (étude de fonctions, continuité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94Problème 2 (fonctions, logique, suites, continuité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96Sujet du DS n
o8 (mathématiques et informatique, 4h) 101Corrigé du DS n
o8105Problème (étude de fonctions, informatique, continuité, dérivabilité, suites) . . . . . . . . . . . .
105Exercice (sous-espaces vectoriels, familles de vecteurs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119Sujet du DS n
o9 (mathématiques, 3h) 127Corrigé du DS n
o9129Problème 1 (familles de vecteurs, applications linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129Problème 2 (intégration, étude de fonctions, développements limités) . . . . . . . . . . . . . . .
1 34BCPST1A lycée Hoche 2015-2016 2 sur 141 Sébastien Godillon
DS n o1 de mathématiques durée : 3 heuresExercice 1
Le but de cet exercice est de démontrer l"existence de nombres réelsx6= 0tel que8n2N; xn+1x n2Z. 1. P ourcette question, on supp osequ"il existe x2R?tel quex+1x 2Z. (a)Soit n2N. Montrer que
x n+1+1x n+1 x+1x x n+1x n x n+2+1x n+2 (b)En déduire que 8n2N; xn+1x
n2Z. 2.Mon trerqu"il existe au moins un x2R?tel quex+1x
2Z. 3.Conclure.
Problème 1
Le but de ce problème est de calculer les valeurs exactes decos5 etsin5 1. (a)Résoudre l"équation z5= 1d"inconnuez2C. On écrira les solutions de cette équation, appelées
racines 5-ièmes de l"unité, sous forme exponentielle. (b)Écrire les racines 5-ièmes d el"unité sous forme algébrique à l"aide des fonctions trigonométriques.
On utilisera les valeurs ce ces fonctions uniquement aux angles 5 et25 2. (a) Mon trerqu"il existe une unique fonction p olynomialeP:z7!a0+a1z+a2z2+a3z3+a4z4où (a0;a1;a2;a3;a4)2R5telle quez51 = (z1)P(z)pour tout nombre complexez. (b) Déterminer trois nom bresréels a,betctels que8z2C?;P(z)z
2=a z+1z 2 +b z+1z +c: (c) Résoudre l"équation aZ2+bZ+c= 0d"inconnueZ2C. (d) En déduire les solutions de l"équation P(z) = 0d"inconnuez2C. On écrira les solutions de cette équation sous forme algébrique à l"aide d"expressions à radicaux imbriqués. 3. En utilisan tles résultats précéden ts,conclure en donnan tles v aleursexactes de cos5 etsin5Exercice 2
On considère l"équation suivante d"inconnuex2R: j2xp5x1k
= 0:(E) 1.Déterminer le domaine d edéfinition de (E).
2. P ourtout a2R, rappeler un encadrement de la partie entière deaen fonction dea. 3.Mon trerque résoudre (E) est équiv alentà résoudre deux inéquations qu"on déterminera.
4. Résoudre les deux inéquations obten uesà la question précéden te. 5. Résoudre (E). BCPST1A lycée Hoche 2015-2016 3 sur 141 Sébastien GodillonProblème 2
SoitU+l"ensemble des nombres complexes de module 1 dont les arguments sont compris entre 0 et, c"est-à-dire : U +=ei; 2[0;]:Le but de ce problème est d"étudier le module maximum et minimum des sommes d"éléments deU+.
1.Déterminer le mo duled"un élémen tde U+.
2. Dans cette question, o ns"in téresseau mo dulemaxim umdes sommes d"élémen tsde U+. (a) Dém ontrerp ourtout en tiern>1que8(z1;z2;:::;zn)2(U+)n;jz1+z2++znj6n. (b) En déduire le mo dulemaxim umdes sommes de néléments deU+pour tout entiern>1. (c) Que p eut-ondi redu mo dulemaxim umdes sommes d"élémen tsde U+? 3.Dans cette question, o ns"in téressedésormais au mo duleminim umdes sommes d"élémen tsU+.
(a)P ourtout (;)2R2, factoriser l"expressionei+ei.
(b) En déduire le mo dulemin imumdes sommes de deux élémen tsde U+. On donnera explicitement deux éléments deU+qui réalisent ce minimum. (c) Co njecturerla v aleurdu mo duleminim umdes sommes d"un nom brepair d"élémen tsde U+. Rédiger la démonstration de cette conjecture à l"aide d"un raisonnement par récurrence. (d)On considère (;;
)2R3tel que06666et on posea=etb=
i.Démon trerque
1 +eia+eib2= 1 + 4cosab2
cosa+b2 + 4cos 2ab2 ii.En déduire que
1 +eia+eib>1.
iii.Conclure que ei+ei+ei
>1. (e)Déduire de la question précéden tele mo duleminim umdes sommes de trois élémen tsde U+.
(f) Conjecturer la v aleurdu mo duleminim umdes sommes d "unnom breimpair d"élémen tsde U+.Exercice 3
On considère le nombre réel suivant :
x=3q10 + 6 p3 +3q106p3:
1.Mon trerque xvérifie l"égalitéx3= 206x.
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