1 Divisibilité dans Z congruences PDF

Corrigé terminale S

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Exercices congruences.pdf

Exercices sur les congruences. Exercice 1 Exercice 2. Compléter la table de congruence suivante modulo 5 ... Corrigé. Exercice 1.

Sans titre

corrigés. 5. 1. Divisibilité nombres premiers

Congruences - Arithmétique Spé Maths terminale S : Exercices

Spé Maths terminale S : Exercices. Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com On admet le crit`ere de divisibilité par 7 suivant :.

UNIVERSITÉ dORLÉANS SCL1 MA02 Département de

Arithmétique : Corrigé Feuille 4 (Congruences ). Exercice 1. Exercice 8. a) Factorisons 455 en produit de nombres premiers. On a 455 = 5×91 =.

Divisibilité et congruences.

Les exercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants : Divisibilité et congruence. Corrigés d'exercices / Version d'août 2012.

1 Divisibilité dans Z congruences

1 Divisibilité dans Z congruences. Proposition 1.1. Algèbre MPSI

DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES

DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES. I. Divisibilité dans ! Définition : Soit a et b deux entiers relatifs. a divise b s'il existe un entier relatif k tel que b

Devoir n°2 - 2016 corrigé

Corrigé du devoir n°2 du 11 octobre 2016. Exercice 1 : « chasse au » 1 pour Exercice 4 : une équation en congruence modulo 6 donc disjonction des cas.

Préparation à l"agrégation interne de mathématiques Arithmétique dansZ- Résumé de résultats de base

Pour référence : par exemple les livres [Mon06] et [WAC+02] pour plus de détails et de démons-

trations.

Sur ce thème, le travail sur un manuel de Terminale S (programme de l"enseignement de spécialité)

peut s"avérer très profitable également.

1 Divisibilité dansZ, congruences

Proposition 1.1.

1. Un sous-ensemble non-vide deNpossède un plus petit élément.

2. Un sous-ensemble non-vide et minoré deZpossède un plus petit élément.

3. Quels que soient l"entier naturelbnon nul et l"entier naturela, il existe un entier naturelntel

quea < nb. (Nestarchimédien).

Une liste de définitions/vocabulaires :

1. Un entierbdivise un entiera(on noteb|a) s"il existe un nombre entierktel quea=b×k.

2. L"ensembleDades diviseurs positifs d"un entieraest non vide (et fini siaest non nul).

3. L"entieraestpremiersiDacontient exactement deux éléments (qui sont alors1et|a|).

4. L"ensemble des multiples deaestaZ.

5. La notion de diviseur commun, de multiple commun à deux ( ouplus) nombres est naturelle.

6. Deux entiersaetb(ou plus...) sontpremiers entre euxsiDa∩ Db={1}.

Propriété 1.1.Sicdiviseaetb, alorscdivise toutes les combinaisons linéairesαa+βbavecαet

βentiers relatifs.

Propriété 1.2(Sur l"existence des nombres premiers).

1. Tout nombre entier natureln?2admet pour diviseur un nombre premier.

2. Tout nombre entier natureln?2non premier admet un diviseur premierpvérifiantp2?n.

3. L"ensemble des nombres premiers est infini.

Théorème 1(Division euclidienne).Soientaetbdeux entiers avecb?= 0. Il existe un unique couple(q;r)(quotient; reste) d"entiers vérifiant : a=bq+ret0?r <|b|. Définition 1.1.Deux entiers relatifsaetbsont ditscongrus modulo l"entiernsindiviseb-a.

On notea≡b(modn).

Remarque 1.1.Il est équivalent de dire queaetbont même reste dans la division euclidienne par n(sin?= 0).

Propriété 1.3.La congruence est compatible avec les opérations usuelles (+;-;×; exponentia-

tion). La congruence modulonest une relation d"équivalence surZconstituée denclasses (sin >0).

L"ensemble quotient est (l"anneau)Z/nZ=?

0;1;...;n-1?.

2 Décomposition,PGCD,PPCM, Euclide, Bézout, Gauss

Théorème 2(Décomposition en produit de facteurs premiers).Tout entier natureln?2 peut s"écrire de façon unique comme un produit : n=i=m? i=1p

αii=pα11pα22...pαmm

oùp1,p2,...,pmsont des nombres premiers vérifiant2?p1< p2< ... < pm etα1,α2,...,αmsont des nombres entiers naturels non nuls. Les deux définitions suivantes ne sont pas les plus habituelles mais ont l"avantage de ne pas nécessiter d"hypothèses de non-nullité suraetb. Propriété et définition 2.1(Plus Grand Commun Diviseur).Soientaetbdeux entiers relatifs. Il existe un unique entier naturelδ=PGCD(a;b) =PGCD(b;a)vérifiant :

δest un diviseur commun àaetb;

tout autre diviseur commun àaetbdiviseδ. Siaetbsont non nuls, le nombrePGCD(a;b)est le dernier reste non nul obtenu en appliquant l"algorithme d"Euclide aux entiersaetb. Propriété et définition 2.2(Plus Petit Commun Multiple).Soientaetbdeux entiers relatifs. Il existe un unique entier naturelμ=PPCM(a;b) =PPCM(b;a)vérifiant :

μest un multiple commun àaetb;

tout autre multiple commun àaetbest un multiple deμ. Remarque 2.1.Le nombreμ=PPCM(a;b)vérifieaZ∩bZ=μZ. Théorème 3(Bézout).Soientaetbdeux entiers relatifs.

1. il existe des entiers relatifsuetvtels queau+bv=PGCD(a;b).

2. (Corollaire) Les entiersaetbsont premiers entre eux si et seulement s"il existe des entiers

relatifsuetvtels queau+bv= 1. Propriété 2.1.Soienta,b,c,detkdes entiers relatifs.

1. Sia|cetb|d, alorsPGCD(a;b)|PGCD(c;d)etPPCM(a;b)|PPCM(c;d).

2.PGCD(ka;kb) =|k| ×PGCD(a;b)etPPCM(ka;kb) =|k| ×PPCM(a;b)

3.PGCD(a;b)×PPCM(a;b) =|ab|

Théorème 4(Gauss).Soienta,betctrois entiers relatifs. 1. a|bc

PGCD(a;c) = 1?

??a|b

2. Plus généralement : siPGCD(a;c) = 1alorsPGCD(a;bc) =PGCD(a;b).

3. (Corollaire) Un nombre premierpdiviseabsi et seulement sipdiviseaoupdiviseb.

Références

[Mon06] Jean-Marie Monier.

J"intègre. Dunod, Paris, 2006.

[WAC +02] André Warusfel, Paul Attali, Michel Collet, Christian Gautier, and Serge Nicolas. Arithmétique. Mathématiques, Cours et exercices TS. Vuibert, Paris, 2002. 2quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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