[PDF] Analyse 2 2 INTÉGRATION DES FONCTIONS

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Analyse 2

Notes de cours

Andr´e Giroux

D´epartement de Math´ematiques et Statistique

Universit´e de Montr´eal

Avril 2004

Table des mati`eres1 INTRODUCTION41.1 Exercices 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 INT´EGRATION DES FONCTIONS CONTINUES72.1 La continuit´e uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72.2 D´efinition de l"int´egrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82.3 Propri´et´es de l"int´egrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122.4 Exercices 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153 TH´EOR`EME FONDAMENTAL DU CALCUL173.1 Le th´eor`eme fondamental du calcul. . . . . . . . . . . . . . .173.2 Propri´et´es suppl´ementaires de l"int´egrale. . . . . . . . . . . .193.3 Exercices 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224 LOGARITHME ET EXPONENTIELLE244.1 Le logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244.2 La fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274.3 Exposants irrationnels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294.4 Les fonctions hyperboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . .304.5 Exercices 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .325 FONCTIONS TRIGONOM´ETRIQUES365.1 D´efinition des fonctions trigonom´etriques. . . . . . . . . . .365.2 Propri´et´es des fonctions trigonom´etriques. . . . . . . . . . .395.3 Les fonctions trigonom´etriques inverses. . . . . . . . . . . . .415.4 La notion d"angle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .435.5 Exercices 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .476 CALCUL DES PRIMITIVES506.1 Primitives des fonctions analytiques usuelles. . . . . . . . . .506.2 Primitives des fonctions rationnelles. . . . . . . . . . . . . .536.3 Exercices 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .557 INT´EGRALES IMPROPRES587.1 G´en´eralisation de l"int´egrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . .587.2 La fonction gamma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .627.3 Exercices 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .661

8 SUITES ET S´ERIES DE FONCTIONS698.1 La convergence uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .698.2 L"approximation des fonction continues. . . . . . . . . . . .748.3 Les s´eries enti`eres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .768.4 Exercices 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .819 S´ERIES DE TAYLOR849.1 D´eveloppements limit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .849.1.1 Notations de Landau. . . . . . . . . . . . . . . . . . .889.2 S´eries infinies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .899.3 Exercices 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9510 S´ERIES DE FOURIER9710.1 La s´erie de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9710.2 Th´eor`emes de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10110.3 L"approximation des fonctions continues p´eriodiques. . . . .10710.4 Exercices 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109Table des figures1 Sommes de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 Sommes de Darboux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 D´efinition du logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244 Graphe du logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265 Graphe de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286 Les fonctions hyperboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . .317 L"arcsinus hyperbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .328 Une fonction convexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .349 D´efinition de l"arccosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3610 Le sinus et le cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3811 La tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3912 L"arcsinus et l"arccosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4213 L"arctangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4314 Angle entre deux droites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4415 Le triangle rectangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4516 Angle et longueur d"arc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4617 Une substitution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5618 Comparaison de s´eries et d"int´egrales. . . . . . . . . . . . . .6119 La fonction gamma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6320 Quelques fonctionsQn(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .742

21 Les conditions de Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9822 Quelques fonctionsDn(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10423 Fonctionsf2etS6(f2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10624 Fonctionsf3etS12(f3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10725 Quelques fonctionsFn(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1093

1 INTRODUCTION

L"analyse math´ematique est l"´etude approfondie du calcul diff´erentiel et int´egral. Ce cours porte sur le calcul int´egral. Il se divise en trois parties. La premi`ere pr´esente la d´efinition et les propri´et´es de l"int´egrale d"une fonction continue d"une variable r´eelle. La seconde utilise cet outil pour introduire les fonctions analytiques ´el´ementaires (les fonctions logarithmique, exponen- tielle, trigonom´etriques directes et inverses, eul´eriennes). La derni`ere, enfin, porte sur la repr´esentation de ces fonctions par des s´eries de Taylor et des s´eries de Fourier. Il s"agit d"un cours de math´ematique formel, avec des d´emonstrations rigoureuses et compl`etes de tous les th´eor`emes pr´esent´es. Les exercices pro- pos´es sont de mˆeme nature et exigent de l"´etudiant qu"il en compose des solutions rigoureuses et compl`etes. Ce cours est un deuxi`eme cours d"ana-

lyse et suppose que l"´etudiant connaˆıt d´ej`a les propri´et´es des fonctions conti-

nues ainsi que celles des fonctions d´erivables. Rappelons quelques-unes de ces propri´et´es. On note [a,b] un intervallecompact(c"est-`a-dire ferm´e born´e), ]a,b[ un intervalleouvert, ]a,b[={x|a < x < b}

intervalle compact peut ˆetre caract´eris´e par la propri´et´e suivante :•Toute suite{xn}n≥1de points de [a,b] contient une suite partielle{xnk}k≥1

qui converge vers un point de [a,b] (th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass). Soitf: (a,b)→Rune fonction. Elle est ditecontinuesur (a,b) si elle est continue en chaque pointx0de (a,b), c"est-`a-dire si en chaque pointx0 de (a,b), limx→x0f(x) =f(x0).

Un fonction continue jouit des propri´et´es suivantes :•L"image d"un intervalle quelconque par une fonction continue est un in-

tervalle (propri´et´e des valeurs interm´ediaires).•L"image d"un intervalle compact par une fonction continue est un intervalle

compact (propri´et´e des valeurs extrˆemes).4 Une fonctionfcontinue et strictement monotone sur un intervalle y admet une fonction inversef-1qui est elle aussi continue et strictement monotone.

Exemple.

Sin?N, la fonctionx?→x1/nest d´efinie et continue pourx≥0 sinest pair et pour toutxsinest impair. La fonctionf: (a,b)→Rest dited´erivablesur (a,b) si elle est d´erivable en chaque pointx0de (a,b), c"est-`a-dire si en chaque pointx0de (a,b), la limite suivante lim x→x0f(x)-f(x0)x-x0 existe. On ´ecrit alors f ?(x0) = limx→x0f(x)-f(x0)x-x0. La fonctionfest ditecontinˆument d´erivablesi sa d´eriv´eef?est continue. Le th´eor`eme fondamental du calcul diff´erentiel est leth´eor`eme des ac- croissements finis(quelquefois appel´e th´eor`eme de la moyenne ou encore

th´eor`eme de Rolle lorsquef(a) =f(b) = 0) :•Sif: [a,b]→Rest continue sur [a,b] et d´erivable sur ]a,b[, il existe un

nombrec?]a,b[ tel que f(b)-f(a) =f?(c)(b-a). L"inverse d"une fonction d´erivable est d´erivable aux pointsycorrespon- dant aux pointsxo`uf?(x)?= 0 (y=f(x) etx=f-1(y)) et alors ?f-1??(y) =1f?(x).

Exemple.

Un polynˆome de degr´en,

P n(x) =a0+a1x+a2x2+···+anxn, est d´erivable sur tout l"axe r´eel et P ?n(x) =a1+ 2a2x+···+nanxn-1.

Une fonction rationnelle,

R(x) =Pn(x)Qm(x),5

est d´erivable aux points o`u elle est d´efinie (c"est-`a-dire aux points o`u le d´enominateurQm(x) ne s"annule pas) et R ?(x) =P?n(x)Qm(x)-Pn(x)Q?m(x)Q2m(x).

Sip?Q,ddxxp=pxp-1, x >0.

1.1 Exercices 1

Justifier compl`etement toutes ses affirmations.1.V´erifier que la suite de points de [-1,1] d´efinie par

x n=1 + (-1)nn1 +n

ne converge pas. En exhiber une suite partielle convergente.2.Montrer qu"une fonction continue sur un intervalle ferm´e peut toujours

ˆetre prolong´ee `a une fonction continue surRtout entier. Cela reste-t-il

vrai pour un intervalle quelconque?3.Donner un exemple d"une fonction continue sur un intervalle ferm´e qui

n"y est pas born´ee ou qui n"y atteint pas ses bornes. Mˆeme question

pour un intervalle born´e.4.Montrer qu"une fonction d´erivable sur un intervalle ferm´e peut toujours

ˆetre prolong´ee `a une fonction d´erivable surRtout entier.5.Les fonctions suivantes sont-elles d´erivables en tous les points de leur

domaine de d´efinition : x

1/2, x1/3, x3/2, x4/3?6.Soient 0< a < b. D´eterminer le pointcdu th´eor`eme des accroisse-

ments finis pour la fonctionf(x) =x2. Mˆeme question pour la fonction f(x) =x3.6

2 INT´EGRATION DES FONCTIONS CONTINUES

L"int´egration des fonctions continues repose sur une propri´et´e suppl´ementaire de ces fonctions lorsqu"on les consid`ere sur des intervalles compacts.

2.1 La continuit´e uniforme

Dire d"une fonctionf: (a,b)→Rqu"elle est continue, c"est dire qu"elle est continue en chaque pointx0de (a,b), c"est-`a-dire qu"`a chaque pointx0 et `a chaque? >0 correspondδ >0 tel que |x-x0|< δetx?(a,b) impliquent|f(x)-f(x0)|< ?.

Le nombreδd´epend `a la fois dex0et de?:

δ=δ(x0,?).

Lorsqu"il peut ˆetre choisi ind´ependamment du pointx0, on dit que la fonction est uniform´ement continue sur l"intervalle (a,b). En d"autres termes, une fonctionf: (a,b)→Restuniform´ement continuesur (a,b) si `a chaque? >0 correspondδ >0 tel que |x-y|< δetx,y?(a,b) impliquent|f(x)-f(y)|< ?. Exemples.-La fonctionf(x) =x2est uniform´ement continue sur [0,1] puisque : vertu du th´eor`eme des accroissements finis en effet, il existezentrex etytel que : soient en effetxn= (n+ 1/n) etyn=n. On a toujours |f(xn)-f(yn)|= 2 +1n2>2 bien que |xn-yn|=1n.

Aucun nombreδne peut correspondre `a?= 2.7

-La fonctionf(x) =⎷xest uniform´ement continue sur l"intervalle [0,1],

en vertu du th´eor`eme suivant.Th´eor`eme 1Une fonctionf: [a,b]→Rcontinue sur un intervalle com-

pact y est uniform´ement continue. D´emonstration. Supposons que le th´eor`eme est faux. Il existe alors? >0 tel que, quelque soitδ >0, on peut trouver deux pointsx,yde l"intervalle [a,b] pour lesquels : |x-y|< δet|g(x)-g(y)|> ?. Choisissons successivementδ= 1,1/2,1/3,1/4,...On obtient deux suites de pointsxnetynde [a,b] tels que |xn-yn|<1net|g(xn)-g(yn)|> ?. Par compacit´e, la suite{xn}n≥1contient une suite partielle{xnk}k≥1qui converge vers un pointzde [a,b]. Comme |xnk-ynk|<1nk, la suite partielle{ynk}k≥1correspondante converge aussi versz. Par conti- nuit´e, on a donc lim k→+∞(g(xnk)-g(ynk)) =g(z)-g(z) = 0 ce qui est absurde puisque l"on a toujours |g(xnk)-g(ynk)|> ?.

C.Q.F.D.

2.2 D´efinition de l"int´egrale

Soitf: [a,b]→Rune fonction continue sur un intervalle compact.`A chaque partitionPde l"intervalle, P={x0,x1,x2,...,xn}o`ua=x0< x1<···< xn=b, associons avec Riemann une somme sup´erieureS(P,f),

S(P,f) =n?

et une somme inf´erieures(P,f), s(P,f) =n? Lorsque la fonction est positive, ces sommes majorent et minorent respec- tivement l"aire d´etermin´ee par l"axe des abscisses, les droitesx=aetx=b et le graphe de la fonction (figure (1) - les points de la partition ne sont pas n´ecessairement ´equidistants).x y y?f?x abFig.1 - Sommes de RiemannIl est clair que l"on a pour toute partitionP. Observons maintenant que, siQest une partition plus fine queP, c"est-`a-dire siP ? Q, on a En effet, il suffit de v´erifier ces in´egalit´es lorsqueQs"obtient dePpar adjonc- tion d"un seul point,Q=P?{x?}; or sijest l"indice tel quexj-1< x?< xj, on a et les autres termes de la sommeS(P,f) restent inchang´es. De ceci d´ecoule

la premi`ere des in´egalit´es (1). L"autre in´egalit´e s"obtient de fa¸con similaire.9

On d´eduit de ces relations que, quelles que soient les partitionsPetQ, on a c"est-`a-dire que toute somme inf´erieure est plus petite que toute somme sup´erieure. Ainsi sup

En fait, on a toujours

sup

Ps(P,f) = infPS(P,f).(2)

Cela est une cons´equence de la continuit´e uniforme d"une fonction continue sur un intervalle compact. D´emontrons la relation (2). Soit? >0 arbitraire.

Soitδ >0 un nombre tel que

|x-y|< δetx,y?[a,b] impliquent|f(x)-f(y)|Soit aussi

P={x0,x1,x2,...,xn}

une partition pour laquelle x k-xk-1< δpour toutk.

Soient enfinuk,vk?[xk-1,xk] tels que, pour toutk,

(propri´et´e des valeurs extrˆemes). Alors

S(P,f)-s(P,f)

n? n? k=1?b-a(xk-xk-1) =? ce qui d´emontre la relation (2). On exprime l"´equation (2) en disant que la fonctionfestint´egrablesur l"intervalle [a,b], d"int´egrale : b a f(x)dx= sup

Ps(P,f) = infPS(P,f).10

Lorsquefest positive, l"int´egrale est donc exactement le nombre qui donne l"aire d´etermin´ee par l"axe des abscisses, les droitesx=aetx=bet le graphe de la fonction. La signification de l"int´egrale ayant ´et´e bien ´etablie, nous pouvons main- tenant donner avec Darboux une fa¸con plus commode de la calculer (fi- gure (2) - les points o`u la fonction est ´evalu´ee ne sont pas n´ecessairement

´equidistants).x

y y?f?x abFig.2 - Sommes de DarbouxTh´eor`eme 2 (Darboux)Quels que soient les nombres x k,n?[a+k-1n(b-a),a+kn(b-a)], on a ?b a f(x)dx= limn→+∞b-ann k=1f(xk,n).

D´emonstration. Soit

P n={a,a+1n(b-a),a+2n(b-a),...,b} la partition uniforme de [a,b]. On a et b a

Ainsi??????

b a f(x)dx-b-ann k=1f(xk,n)? Or, en utilisant la continuit´e uniforme de la fonctionfet la propri´et´e des valeurs extrˆemes, on voit comme pr´ec´edemment que lim n→+∞(S(Pn,f)-s(Pn,f)) = 0.

C.Q.F.D.

Exemple.

On a?1

0 xdx= limn→+∞1nn k=1kn= limn→+∞n+ 12n=12.

2.3 Propri´et´es de l"int´egrale

Les trois propri´et´es essentielles de l"int´egrale d"une fonction continue sont

la lin´earit´e, la positivit´e et l"additivit´e.Th´eor`eme 3 (Lin´earit´e de l"int´egrale)Soientf1,f2: [a,b]→Rdes

fonctions continues etc1,c2?Rdes nombres. Alors b a (c1f1(x) +c2f2(x))dx=c1? b a f

1(x)dx+c2?

b a f

2(x)dx.

D´emonstration. En utilisant les sommes de Darboux-Riemann, on obtient : b a (c1f1(x) +c2f2(x))dx = lim n→+∞b-ann k=1? c 1f1? a+kn(b-a)? +c2f2? a+kn(b-a)?? =c1limn→+∞b-ann k=1f 1? a+kn(b-a)? +c2limn→+∞b-ann k=1f 2? a+kn(b-a)? =c1? b a f

1(x)dx+c2?

b a f

2(x)dx.

C.Q.F.D.12

Th´eor`eme 4 (Positivit´e de l"int´egrale)Soientf1,f2: [a,b]→Rdes fonctions continues telles que f Alors ?b a f b a f

2(x)dx.

D´emonstration. En utilisant les sommes de Darboux-Riemann, on obtient : b a f

1(x)dx= limn→+∞b-ann

k=1f 1? a+kn(b-a)? k=1f 2? a+kn(b-a)? b a f

2(x)dx.

C.Q.F.D.

L"application de ce th´eor`eme aux fonctionsf1=±fetf2=|f|conduit `al"in´egalit´e du trianglepour les int´egrales : b a b a |f(x)|dx.Th´eor`eme 5 (Additivit´e de l"int´egrale)Soientf: [a,b]→Rune fonc- tion continue eta < c < b. Alors b a f(x)dx=? c a f(x)dx+? b c f(x)dx. D´emonstration. SoientP,P?etP??des partitions des intervalles [a,b],[a,c] et [c,b] respectivement. On a donc :

P ? {c}=P?? P??.

En utilisant les in´egalit´es (1), on voit d"une part que b a f(x)dx= sup

Ps(P ? {c},f) = sup

P ??P??(s(P?,f) +s(P??,f)) P ?s(P?,f) + sup P ??s(P??,f) =? c a f(x)dx+? b c f(x)dx13 (exercice (11)) et d"autre part que b a f(x)dx= infPS(P,f)≥infPS(P ? {c},f) = infP??P??(S(P?,f) +S(P??,f)) ≥infP?S(P?,f) + infP??S(P??,f) =? c a f(x)dx+? b c f(x)dx.

C.Q.F.D.

Il commode de poser

a b f(x)dx=-?quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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