Corrigé du devoir surveillé no2 danalyse 2 Exercice 1 Exercice 2 PDF

Analyse 2

2 INTÉGRATION DES FONCTIONS CONTINUES 2.4 Exercices 2 . ... L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et intégral.

dAnalyse 2

Dans ce cours on commence par expliquer les notions dans le cas général puis on illustre le tout par des exemples clairs

EXERCICES CORRIGÉS DANALYSE Daniel ALIBERT

EXERCICES CORRIGÉS D'ANALYSE. AVEC RAPPELS DE COURS. TOME 2. ETUDE GLOBALE DES FONCTIONS. INTEGRATION. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. Daniel ALIBERT.

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Le lecteur y trouvera aussi des exercices supplémentaires sans corrigé. Je tiens à remercier les collègues qui ont bien voulu juger le manuscrit et m'aider à l'

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converge. Exercice 2. On considère la suite de fonctions (fn)n?N définie sur ]0+?[

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Corrigé du devoir surveillé n

o2 d"analyse 2

Exercice 1

Etudier la nature des intégrales suivantes.

I=Z +1 0tt

3+ 1dt J=Z

+1 1 tlnt4+ 1t 4 dt

La fonctiont7!tt

3+1est définie et continue sur l"intervalle[0;+1[. Il suffit donc d"étudier la

convergence en l"infini. En l"infini, on a l"équivalent tt

3+ 1t!11t

Or, l"intégrale

R1 11t

2dtest une intégrale de Riemann convergente. Par théorème de comparaison des

fonctions positives, on a donc la convergence de l"intégraleI.

La fonctiont7!tlnt4+1t

4 est définie et continue surR. En l"infini, on a l"équivalent tlnt4+ 1t 4 =tln 1 +1t 4 t!1t1t 4=1t 3

Or, l"intégrale

R1 11t

3dtest une intégrale de Riemann convergente. Par comparaison des fonctions po-

sitives, on a donc la convergence de l"intégraleR1

0tlnt4t

4+1 dt. En moins l"infini, on a le même

équivalent :

tlnt4+ 1t 4 t!11t 3

Et sur l"intervalle] 1;0]les fonctionst7!1t

3ett7! tlnt4t

4+1 sont positives, et l"intégraleR1 11t

3dt=R1

11t

3dt(par changement de variablet7! t) est une intégrale de Riemann convergente.

Par théorème de comparaison, l"intégraleR0

1tlnt4t

4+1 dtconverge donc. Finalement l"intégrale J=Z 1 1 tlnt4t 4+ 1 dt=Z 1 0 tlnt4t 4+ 1 dtZ 0 1 tlnt4t 4+ 1 dt converge.

Exercice 2

On considère la suite de fonctions(fn)n2Ndéfinie sur]0;+1[par f n(x) =nxenx:

1.Etudier la convergence simple de la suite(fn)n2Nsur]0;+1[.

Pourx >0fixé, on a

limn!1nxenx= 0 par croissances comparées. Donc la suite de fonctions(fn)n2Nconverge simplement vers la fonction nulle sur]0;+1[.TSVP!

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2.Rappeler la définition de la convergence uniforme de la suite(fn)n2Nversfsur une

partieIR. sup x2Ijfn(x)f(x)j !n!10

3.Montrer que la suite(fn)n2Nconverge uniformément versfsur tout intervalle de la

forme[a;+1[poura >0. Etudions les variations des fonctionsfnpour calculer la borne supérieuresupx2[a;+1[jfn(x)0j.

On a pour toutx >0

0n(x) =nenxn2xenx=n(1nx)enx:

Donc f

0n(x)0()x1n

La fonctionfnest nulle en0, tend vers0en+1et est croissance sur[0;1n ]puis décroissante sur 1n ;+1]. Pournassez grand (aétant fixé),1n est inférieur àa, et doncfnatteint son maximum ena. On a donc limn!1sup x2[a;+1[jfn(x)j= limn!1fn(a) = 0:

Cette dernière limite étant nulle d"après la convergence simple de la suite(fn)n2Nena. Ainsi,

la convergence de la suite(fn)n2Nest bien uniforme sur[a;+1[.

4.La suite(fn)n2Nconverge-t-elle uniformément versfsur]0;+1[?

D"après ce que l"on a fait à la question précédente, la fonctionfnatteint son maximum surR+en1n

. Ce maximum vaut sup x2R+jfn(x)j=fn1n =e1; qui ne tend pas vers0. La convergence n"est donc pas uniforme surR+.

Exercice 3

Le but de cet exercice est de montrer le résultat suivant :

SoitP+1

n=0anune série à termes strictement positifs convergente, et soitRn=P+1 k=n+1ak son reste. Alors la série+1X n=0a nR n est divergente.

1.Donner une expression deanen fonction des restesRnetRn1pour tout entier

n2N. On a R n1=+1X k=na k=an++1X k=n+1a k=an+Rn doncan=Rn1Rn. TSVP!

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2.Démontrer l"inégalitéx1ln(x)pour tout réelx0.

Etudions la fonctionfdéfinie parf(x) =x1ln(x)pour toutx2R+. La fonction est dérivable, et on a f

0(x) = 11x

Cette dérivée est positive si et seulement six1. La fonction atteint donc son minimum en 1.

Donc on a pour toutx2R+f(x)f(1) = 0:

D"où l"inégalité

x1ln(x) pour toutx2R+.

3.En déduire l"inégalitéanR

nln(Rn1)ln(Rn) pour tout entiern2N.

Daprès la question 1., on aa

nR n=Rn1RnR n=Rn1R n1:

En utilisant alors la question 2. pourx=Rn1R

n>0on obtient a nR nln(Rn1R n) = ln(Rn1)ln(Rn):

4.Que peut-on dire de la série de terme généralln(Rn1)ln(Rn)?

C"est une série téléscopique. Sa somme de0à l"infini est donc égale à ln(R1)limn!1ln(Rn): Or,Rnest le reste d"une série convergente, donclimn!1Rn= 0. On a donc lim n!1ln(Rn) =1:

Donc la somme de la série vaut

1X n=0ln(Rn1)ln(Rn) = +1:

5.Conclure.

En sommant l"inégalité de la question 3., on a +1X n=0a nR nX n2Nln(Rn1)ln(Rn) Or, d"après ce que l"on a fait dans la question 4., on a X n2Nln(Rn1)ln(Rn) = +1:

D"où

+1X n=0a nR n= +1: On a bien montré la divergence de la série de terme général anR n. TSVP!

Question bonus (facultative)

Calculer les intégralesIetJde l"exercice 1.

Pour calculer l"intégraleI, on peut décomposer en éléments simples. Pour cela on factorise le

dénominateur :t3+ 1 = (t+ 1)(t2t+ 1). On obtient la décomposition tt

3+ 1=13

1 +t1t+t211 +t

On sait alors calculer l"intégrale

011 +tdt= ln(1 +x):

Pour calculer l"intégrale de la fonction

1+t1t+t2, on la coupe en deux parties :

1 +t1t+t2=t12

1t+t2+32

1t+t2 afin de faire apparaître une fraction de la forme u0u . On a Z x 0t12

1t+t2dt=12

ln(1x+x2): Quant au dernier morceau, on le réécrit pour faire apparaître une intégrale usuelle : Z x 032

1t+t2dt=Z

x 032
(t12 )2+ 114 dt=Z x

021 + (

2t1p3 )2dt On effectue le changement de variable affineu= (2t1)=p3. On a alorsdu=2p3 dt. Z x 032

1t+t2dt=Z

(2x1)=p3 1p3 p3

1 +u2du=p3

arctan2x1p3 arctan 1p3

En remettant tout ensemble, on a :

Z x

0t1 +t3dt=p3

3 arctan2x1p3 arctan 1p3 +12 ln(1x+x2)ln(1 +x): Si l"on passe maintenant à la limite quandxtend vers l"infini, on a lim x!1arctan(2x1p3 ) =2 et lim x!112 ln(1x+x2)ln(1 +x) = limx!112 ln1x+x2(1 +x)2 =12 ln(1) = 0:

De plus, on a

arctan 1p3 =6

On obtient donc

I=23 p3

:L"intégrale J est nullepuisque l"on a vu qu"elle était convergente, et que c"est l"intégrale d"une fonction

impaire sur un domaine symétrique en0.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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Corrigé du devoir surveillé n

Exercice 1

Etudier la nature des intégrales suivantes.

3+ 1dt J=Z

La fonctiont7!tt

3+1est définie et continue sur l"intervalle[0;+1[. Il suffit donc d"étudier la

3+ 1t!11t

Or, l"intégrale

2dtest une intégrale de Riemann convergente. Par théorème de comparaison des

La fonctiont7!tlnt4+1t

Or, l"intégrale

3dtest une intégrale de Riemann convergente. Par comparaison des fonctions po-

0tlnt4t

équivalent :

Et sur l"intervalle] 1;0]les fonctionst7!1t

3ett7! tlnt4t

3dt=R1

3dt(par changement de variablet7! t) est une intégrale de Riemann convergente.

1tlnt4t

Exercice 2

1.Etudier la convergence simple de la suite(fn)n2Nsur]0;+1[.

Pourx >0fixé, on a

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2.Rappeler la définition de la convergence uniforme de la suite(fn)n2Nversfsur une

3.Montrer que la suite(fn)n2Nconverge uniformément versfsur tout intervalle de la

On a pour toutx >0

0n(x) =nenxn2xenx=n(1nx)enx:

0n(x)0()x1n

4.La suite(fn)n2Nconverge-t-elle uniformément versfsur]0;+1[?

Exercice 3

SoitP+1

1.Donner une expression deanen fonction des restesRnetRn1pour tout entier

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2.Démontrer l"inégalitéx1ln(x)pour tout réelx0.

0(x) = 11x

Donc on a pour toutx2R+f(x)f(1) = 0:

D"où l"inégalité

3.En déduire l"inégalitéanR

Daprès la question 1., on aa

En utilisant alors la question 2. pourx=Rn1R

4.Que peut-on dire de la série de terme généralln(Rn1)ln(Rn)?

Donc la somme de la série vaut

5.Conclure.

D"où

Question bonus (facultative)

Calculer les intégralesIetJde l"exercice 1.

3+ 1=13

1 +t1t+t211 +t

On sait alors calculer l"intégrale

011 +tdt= ln(1 +x):

Pour calculer l"intégrale de la fonction

1+t1t+t2, on la coupe en deux parties :

1 +t1t+t2=t12

1t+t2+32

1t+t2dt=12

1t+t2dt=Z

021 + (

1t+t2dt=Z

1 +u2du=p3

En remettant tout ensemble, on a :

0t1 +t3dt=p3

De plus, on a

On obtient donc