[PDF] Interpolation spatiale L'estimation globale du champ é

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Interpolation spatiale

Pierre Bosser

(Pierre.Bosser@ensg.eu)

Ecole Nationale des Sciences G´eographiques

D´epartement Positionnement Terrestre et Spatial

Ann´ee Scolaire 2011-2012

ENSG / DPTS

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INTERPOLATION SPATIALETable des mati`eres

Table des mati`eres

1 Introduction3

1.1 Objectifs du cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Caract´eristiques des m´ethodes d"interpolation. . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Repr´esentations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 L"interpolation d´eterministe globale10

2.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Polygone de Thiessen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 M´ethode des cellules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 L"interpolation d´eterministe locale15

3.1 Polygones de Thiessen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Interpolation `a partir d"une triangulation. . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.2 Interpolation lin´eaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.3 M´ethode d"Akima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 M´ethodes barycentriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.1 Inverse des distances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.2 Interpolation bilin´eaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Les surfaces de tendances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

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3.5 Les splines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5.1 G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5.2 Spline d"interpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5.3 Les splines de lissage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.6 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 L"interpolation stochastique34

4.1 Notion de fonction al´eatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.1.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.1.2 Moments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Inf´erence statistique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.2 Ergodicit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.3 Stationnarit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2.4 Combinaisons lin´eaires autoris´ees. . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.5 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3 Analyse variographique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.1 Propri´et´es du variogramme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.2 Inf´erence du variogramme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.4 Le krigeage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4.1 Origine de la m´ethode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4.2 Principe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4.3 Propri´et´es du krigeage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4.4 Impact du mod`ele de variogramme. . . . . . . . . . . . . . . 51

4.5 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Conclusion53

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INTERPOLATION SPATIALE1 Introduction

1 Introduction

1.1 Objectifs du cours

A partir d"observations g´eor´ef´erenc´ees, pas n´ecessairement r´eparties r´eguli`erement,

on cherche `a estimer les valeurs prises par le param`etre observ´e en d"autres points de l"espace. On parle alors d"estimation spatiale: c"est une proc´edure consistant `a estimer la valeur d"une grandeur en un site `a partir de d"´echantillons de cette grandeur r´ecolt´es dans d"autres sites. Ce besoin s"applique `a de nombreux domaines o`u la connaissance de ladistribu-

tion spatiale de ph´enom`enes est importante : altim´etrie, gravim´etrie, m´et´eorologie,

g´eologie, etc. Lors de ce cours, nous allons donc ´etudier les m´ethodes permettant l"estimation et l"interpolation de donn´ees g´eor´ef´erenc´ees. Ce cours sera une introduction aux diff´erentes m´ethodes existantes, mais pas une ´etude exhaustive (base pour des ´etudes plus approfondies). Les id´ees d´evelopp´ees ici sont largement inspir´ees des ouvrages suivants : -Akima, H.,?A method of bivariate interpolation and smooth surface fitting for values given at irregularly distributed points ?,OT Report 75-70, U.S. Department of Commerce. -Arnaud, M. &Emery, X.,?Estimation et interpolation spatiale : m´ethodes d´eterministes et g´eostatistiques ?,Hermes, 2000. -Baillargeon, S.,?Le krigeage : revue de la th´eorie et application `a l"inter- polation spatiale de donn´ees de pr´ecipitation ?,M´emoire de M. Sc., Universit´e

LAVAL, 2005.

-Verdun, J.,?M´ethodes d"estimation et d"interpolation spatiales?,Cours donn´e aux IT2, ENSG, 2006.

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INTERPOLATION SPATIALE1 Introduction

1.2 Notations

On d´efinit unevariable r´egionalis´eecomme ´etant une fonction num´erique prenant ses valeurs dans une r´egion limit´ee, appel´eechamp. Par la suite, on utilisera les notations suivantes : -z, la variable r´egionalis´ee. -D, le champ de la r´egionalisation, c"est `a dire le domaine dans lequel la variable r´egionalis´ee est d´efinie. En g´en´eral,D ?R,R2ouR3. -?s? D, le vecteur de coordonn´ees (x,y,z) qui indique la position d"un site dans le champD. -z(?s), la valeur prise par la variable r´egionalis´eezau site?s? D. -z(V), la valeur moyenne dezsur le domaineV? D. -n, le nombre de sites o`u la variable a ´et´e mesur´ee. -z(?s1),...,z(?sn), les valeurs prises parzaux sites d"observation?s1...?sn. - ˆz(?s0), une estimation dez(?s0) avec?s0? D.

1.3 Caract´eristiques des m´ethodes d"interpolation

Dans le cas g´en´eral, la variable r´egionalis´ee ne peut ˆetre repr´esent´ee par une fonction

math´ematique explicite. Cependant, elle pr´esente une structuration spatiale bien d´efinie, avec une corr´elation des valeurs prises en deux sites proches. Ceci rend possible la pr´evision d"une valeur inconnue `a partir d"observations.On parle ainsi d"interpolation pour l"estimation de cette valeur. On parle d"extrapolation lorsque le site inconnu est situ´e hors des limites du domaine g´eographique engendr´e par l"´echantillonnage des sites d"observation. On s"int´eresse dans de ce cours `a ces m´ethodes de pr´evision. Elles se divisent usuelle- ment en deux groupes, selon les mod`eles math´ematiques sur lesquels elles reposent : -M´ethodes d´eterministes: elles reposent sur des propri´et´es purement math´ema- tiques, g´en´eralement g´eom´etriques, sans tenir compte du ph´enom`ene physique qui nous int´eresse. -M´ethodes stochastiques: elles font appel `a des mod`eles probabilistes et d´ecou- lent de l"analyse statistique des donn´ees consid´er´ees. On parle alors de techniques g´eostatistiques.

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Réalité PhysiqueModèle déterministeModèle probabiliste f 2 Dgz s s( )/f 2 DgZ s s( )/Variable régionalisée

Fonction aléatoirePhénomène naturel

Valeurs régionalisées

Variables aléatoires

Interpolation spatiale

déterministeInterpolation spatiale stochastiquez s i n( ) = 1, ...,ipourZ s i n( ) = 1, ...,ipour FIG 1- M´ethodes d´eterministes et stochastiques : un ph´enom`ene physique observ´e en certains sites peut ˆetrees- tim´e en des sites quelconques via l"utilisation de m´ethodes d´eterministes (bas´ees sur de simples constats g´eom´etriques) ou de m´ethodes stochastiques (bas´ees sur des constats sta- tistiques). On diff´erencie ´egalement ces m´ethodes selon qu"elles soient globales ou locales. Une m´ethodeglobaleconsiste `a calculer la moyenne de la variable g´en´eralis´ee sur le champ `a partir de l"ensemble des observations disponibles; une m´ethodelocale r´ealise une estimation de cette moyenne sur une partie plus r´eduite du champ, voire en un site ponctuel. Une m´ethodeexacteconserve les valeurs des ´echantillons originaux, contrairement `a une m´ethodeapproch´ee. Enfin, on parle d"effet d"´ecranlorsqu"une observation commande l"impact d"une autre observation lors de l"interpolation. L"influence de l"observation ?´ecrant´ee?se- ra alors : - nulle dans le cas d"un ´ecran total, - peu ´elev´ee dans le cas d"un ´ecran partiel, - mod´er´ee dans le cas d"un ´ecran faible.

Pierre Bosser 52011-2012

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S3 S2 S1 S6 S5 S0S7 FIG 2- Effet d"´ecran : le siteS7peut potentiellement mas- quer le siteS6; l"interpolateur va donner moins d"importance au site masqu´e,S6, par rapport au site masquantS7.

1.4 Repr´esentations

A partir d"un champ dont on connait certaines valeurs prises par la variable r´egionali- s´ee, on veut d´eduire la repr´esentation d"ensemble de cette variable sur le champ. Cette repr´esentation peut se faire sous la forme : - de lignes de niveau, - de niveaux de couleur, - d"une perspective 3D, etc. On retrouve sur les figures suivantes diff´erents modes de repr´esentation du champ interpol´e.

140160180200220240260280

120
140
160
180
200
220
240
X Y FIG 3- Exemple de repr´esentation d"une variable r´e- gionalis´ee : sites d"observation.

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INTERPOLATION SPATIALE1 Introduction

140160180200220240260280

120
140
160
180
200
220
240
X Y

140160180200220240260280

120
140
160
180
200
220
240
X Y 500
550
600
650
700
FIG 4- Exemple de repr´esentation d"une variable r´e- gionalis´ee : repr´esentations planes. 140
160
180
200
220
240
260
280
120
140
160
180
200
220
240
400
500
600
700
800
Y X Z 140
160
180
200
220
240
260
280
120
140
160
180
200
220
240
400
500
600
700
800
Y X Z 140
160
180
200
220
240
260
280
120
140
160
180
200
220
240
400
500
600
700
800
Y X Z 500
550
600
650
700
FIG 5- Exemple de repr´esentation d"une variable r´e- gionalis´ee : perspectives.

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1.5 Applications

L"interpolation spatiale est outil que l"on retrouve dans diff´erents domaines. Citons par exemple : - En m´et´eorologie : mesures sol du champ de pression, de temp´erature, d"humidit´e, de pluviom´etrie. - En g´eod´esie : mesures du champ de gravit´e, retards troposph´eriques et iono- sph´eriques, hauteur du g´eo¨ıde. - En g´eologie : teneur du sol en ´el´ements min´eraux. Les figures suivantes pr´esentent diff´erentes visualisations d"interpolation spatiale d"un jeu d"observation (pression, temp´erature, pluviom´etrie, retards troposph´erique

GPS, anomalie de gravit´e).

FIG 6- Exemple d"observations interpol´ees spatialement : mesures de pression, temp´erature, pr´ecipitation ( ?M´et´eo-

France).

Pierre Bosser 82011-2012

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INTERPOLATION SPATIALE1 Introduction

FIG 7- Exemple d"observations interpol´ees spatialement : retards troposph´eriques GPS ( ?RGP / IGN), anomalies de gravit´e ( ?LAREG / IGN) et temp´erature `a 500 m de profondeur ( ?BRGM).

Pierre Bosser 92011-2012

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INTERPOLATION SPATIALE 2 L"interpolation d´eterministe globale

2 L"interpolation d´eterministe globale

2.1 D´efinition

L"estimation globale vise `a estimer la moyenne arithm´etique d"une ensemble d"ob- servations (valeurs de la variable r´egionalis´ee) dans un domaine g´eographique (le champ). Cette estimation n"est pas triviale puisque les observationsne sont pas

forc´ement repr´esentatives et peuvent pr´esenter une densit´e diff´erentes en fonction

de la zone du champ, donnant alors une influence trop importante `acertaines parties de la zone ´etudi´ee. Deux solutions sont alors envisageables. La premi`ere consiste enune s´election des donn´ees observ´ees. Le probl`eme r´eside alors dans le choix des observations `a prendre en compte. Aucun crit`ere objectif ne peut permettre d"ˆetre certain ni de la qua- lit´e ni de la pertinence des observations choisies. Une seconde solution consiste `a pond´erer l"ensemble des observations lors du calcul de la moyenne.Nous allons ici nous int´eresser `a des m´ethodes globales bas´ees sur cette solution.

2.2 Polygone de Thiessen

Pour tous les points d"observation du champs, on d´efinit un polygone d"influence tel que chaque point du polygone est plus proche du point d"observationque de tout autre site : ??s? Pi,??sj? D?Pi,??si-?s????sj-?s? Dest alors partitionn´e en une famille de polygone convexes, nomm´espolygone de Thiessen(aussi appel´espolygones de Voronoioucellules de Dirichlet).

Pierre Bosser 102011-2012

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INTERPOLATION SPATIALE 2 L"interpolation d´eterministe globale S3 S 2 S 1S 6 S 5S 0

FIG 8- Construction des polygones de Thiessen.

Les observations group´ees vont ainsi se voir affecter un polygone d"influence de petite surface, les donn´ees isol´ee un polygone de grande surface. Notons que le d´ecoupage de Thiessen d´epend uniquement de la configuration g´eom´etriqueet non pas des valeurs observ´ees. Les polygones ne sont pas n´ecessairementferm´es dans certaines directions de l"espace : il faut ainsi limiter la partition aux fronti`eres de D, ou fixer une distance d"influence limite. S3 S 2 S 1S 6 S 5 S0

FIG 9- D´ecoupage en polygones de Thiessen.

Les surfaces des polygones de Thiessen ainsi obtenus vont alors permettre la pond´e- ration des observations pour le calcul de la moyenne de la variable r´egionalis´ee sur le champ d"´etude :

ˆz(D) =n?

i=1|Pi| |D|z?si(1) O`u|Pi|est l"aire du polygonePiassoci´ee au site?siet|D|l"aire du champ : |D|=n? i=1|Pi|(2) Par construction, les zones `a observations denses sont les zones `a polygones de Thiessen de surface moindre : l"influence de ces zones est donc limit´ee.

Pierre Bosser 112011-2012

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INTERPOLATION SPATIALE 2 L"interpolation d´eterministe globale

140160180200220240260280100

150
200
250
X Y FIG 10- Exemple de d´ecoupage en polygones de Thiessen.

2.3 M´ethode des cellules

La m´ethode des cellules consiste `a diviser le champ en cellules rectangulaires de mˆeme taille, contenant chacune un nombre variable de sites d"observation. La pon- d´eration des observations lors de l"estimation globale est r´ealis´ee`a l"aide du nombre de sites contenus dans chaque cellule.

La proc´edure d"estimation est la suivante :

1. On calcule la moyenne des sites d"observations contenus dans chaque cellule.

2. On calcule ensuite la moyenne des moyennes de toutes les cellules, sans pon-

d´eration. L"estimation globale du champ ´etudi´e est donc donn´e par la formule :

ˆz(D) =1

NN

α=1??

n i

α=1?s(iα)??

(3) O`uNest le nombre de cellules de d´ecoupage du domaineDcontenant au moins un site d"observation,?s(iα) les sites d"observation localis´es dans la celluleα. En pratique, on r´ep`ete l"algorithme plusieurs fois (5 `a 10) avec diff´erents d´ecoupages dans le but d"obtenir une estimation globale ind´ependante du r´eseau.

Pierre Bosser 122011-2012

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INTERPOLATION SPATIALE 2 L"interpolation d´eterministe globale Notons que si la taille des cellules est trop petite, chacune contiendra au plus un site d"observation et les donn´ees auront toutes le mˆeme poids. Sila taille est trop grande, toutes les observations appartiendront `a la mˆeme celluleet auront donc le mˆeme poids. Dans ces 2 cas, l"estimation globale reviendra alors `a calculer la moyenne arithm´etique de toutes les observations.

140160180200220240260280100

150
200
250
X Y

FIG 11- Exemple de d´ecoupage en cellules.

2.4 Conclusion

Les m´ethodes d"estimation globale pr´esent´ees ici reposent uniquement sur la confi- guration g´eom´etrique des donn´ees. Elles permettent donc de quantifier la quantit´e totale ou moyenne d"un ensemble d"observations de r´epartition variable dans l"es- pace. Les m´ethodes abord´ees sont appliqu´ees sur un jeu de donn´ees test (tableau suivant). Mis `a part un cas (d´ecoupage en cellules de taille minimale), on observe que les r´esultats obtenus sont dans l"ensemble relativement homog`ene.

Pierre Bosser 132011-2012

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INTERPOLATION SPATIALE 2 L"interpolation d´eterministe globale

Interpolation ˆz(D)

Polygones de Thiessen 620.6693

Cellules, pas de 1 m 609.9030

Cellules, pas de 10 m 615.4803

Cellules, pas de 20 m 618.9132

Cellules, pas de 50 m 619.6649

Cellules, pas de 100 m 614.0666

TAB 1- Estimation globale par diff´erentes m´ethodes : esti- mation de l"altitude moyenne. Il est cependant plus important de pouvoir localiser / cartographier les zones de fortes valeurs et celles de valeurs moindres : c"est le but de l"estimation locale que nous allons voir par la suite.

Pierre Bosser 142011-2012

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INTERPOLATION SPATIALE 3 L"interpolation d´eterministe locale

3 L"interpolation d´eterministe locale

Nous nous int´eressons ici aux m´ethodes d´eterministes pour l"estimation locale et

ponctuelle d"une valeur de la variable r´egionalis´ee. Cette estimationsera r´ealis´ee `a

partir de combinaisons lin´eaires des observations en tenant compte de leur dispo- sition les unes par rapport aux autres mais aussi de la distance entre le secteur `a estimer et les points de donn´ees.

3.1 Polygones de Thiessen

Nous avons abord´e pr´ec´edemment l"utilisation des polygones de Thiessen dans le cas de l"estimation globale. L"interpolation par la m´ethode de Thiessen consiste `a affec- ter `a l"ensemble des points d"un polygone donn´e la valeur de la variabler´egionalis´ee correspondante (on parle aussi deplus proche voisin). On obtient alors une sur- face discontinue; ces discontinuit´es n"ont rien `a voir avec de possibles discontinuit´es

r´eelles, mais sont simplement li´ees `a la configuration g´eom´etrique des observations.

On trouve dans la litt´erature diff´erentes m´ethodes pour palier ce probl`eme de discon- tinuit´es (m´ethode de Sibson par exemple bas´ee sur l"interpolationpar combinaison lin´eaire des valeurs aux sommets voisins). S? S3 S 2 S 1Squotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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