Exercices corrigés Chaˆ?nes de Markov discr`etes
Déterminer le graphe et la matrice de transition de la cha?ne ainsi obtenue. Quelle est la période de ses états? L'ensemble des états est E = {1 2
Corrigé de lexamen du 26 avril 2012 (durée 2h)
26 avr. 2012 Les trois parties sont indépendantes. Exercice 1 : On considère une chaîne de Markov (Xn)n?0 sur {1...
Processus aléatoires et applications
2 mars 2019 A Solution de quelques exercices. 109. A.1 Exercices du Chapitre 1 . ... cha?ne de Markov de matrice de transition P et de distribution ...
Exercices sur les chaînes de Markov
Exercice 4. Soit (Xn)n?0 une chaîne de Markov homogène à valeurs dans l'ensemble E = {1 2
GRAPHES - EXERCICES CORRIGES Compilation réalisée à partir
Écrire la matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre. 3. Préciser l'état initial P0 puis montrer que P1 = (052 0
CORRIGÉ
CORRIGÉ. Date : 30 septembre-4 octobre 2013. PRÉNOM : Groupe : Exercice 1. ... Donner la matrice de transition P de la cha?ne de Markov d'ensemble ...
Mary - TD 11 – Chaînes de Markov (récurrence/transience) (corrigé)
Exercice 1. Récurrence et Transience. Sur l'ensemble S = {0 1
Exercices corrigés
Déterminer la densité de probabilité conjointe du couple (UV ). 2. En déduire les lois marginales de U et V . 3. Calculer les matrices de covariance de [X Y ]t
CHAÎNES DE MARKOV
5.3.2 Probabilités et matrices de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.3 Exercices : dynamique d'une chaîne de Markov .
Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices
Exercice 12 – Soit A et B deux matrices carrées de même ordre on suppose que la matrice. AB est inversible d'inverse la matrice C. Montrer alors que B est
Feuille d’exercices n 2 : Chaînes de Markov : exemples et
de matrice de transition Q et de mesure initiale à préciser Correction Cet exercice montre que la chaîne de Markov renversée en temps (à horizon ?ni donc) est encore une chaîne de Markov si on la considère sous sa mesure stationnaire un résultat non intuitif dans la cas non réversible; il précise aussi la matrice de transition de la
1 Puissances d'une matrice - hmalherbefr
1 Donner la matrice de transition P de la chaˆ?ne de Markov d’ensemble d’´etats S = {IMR} mod´elisant la population a laquelle appartient cet individu I M R ? P = 08 0 02 075 025 0 0 04 06 I M R Pour remplir la matrice P on utilise le fait que la somme des ´el´ements d’une ligne vaut 1 2
Exercice 1 - univ-angersfr
n) est une cha^ ne de Markov et calculer sa matrice de transition Q 2 Calculer Qn n 1 puis lim n!+1Qn 3 Calculer lim n!+1P (X n= j) j= 1;2;3: 4 Montrer que si = (1 3; 1 3; 1 3) alors (X n) est une suite stationnaire Exercice 7 Soit (X n) une cha^ ne de Markov dont l’espace d’ etats est E= f1;2;3;4get de matrice de transition : Q= 0
Chapitre 8 Chaˆ?nes de Markov - ENS
Une matrice de transition P est parfois repr·esent·ee par son graphe de transition G un graphe dont les nœuds sont les ·etats de E et qui a une arˆete orient·ee de i vers j si et seulement si pij > 0 auquel cas cette arˆete est orn·ee de l’·etiquette pij
Feuille d'exercices 3 : Chaînes de Markov - univ-rennes1fr
matrices de transition : (a) Ym = Xnm où (nm)m 0 ˆ N est une sous-suite croissante non-bornée; (b) Zn = Xk+n où k 1 entier; (c) Wn = Xkn où k 2 entier 3 Même question pour la suite Vn = (Xn;Xn+1) Exercice 2 Propriété de Markov forte Soit (Xn)n 0 une chaîne de Markov ( ;P) à aleursv dans E et soit T un temps d'arrêt pour la
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Exercice 2 Soit ????=(1 0 2 1) 1 Exprimer ???? á en fonction de Pour tout ?? 2 Si ???? est inversible calculer ?????1 et ???? á pour tout ?? Allez à : Correction exercice2 Exercice 3 Soit ????=(1 2 3 0 0 1 ?1 0 ?2) 1 3Calculer ????2 et ???? Calculer ????3+????2+???? 2 Exprimer ?????1 en fonction de ????2 ???? et
Quelle est la matrice de transition?
Remarques : Si a = 0 et b = 0, la matrice de transition est la matrice unité. La suite des états est constante, donc elle converge, mais la limite dépend de la distribution initiale : il n'y a pas d'état stable.
Comment effectuer la transposition d’une matrice ?
La transposition d’une matrice est une opération dans laquelle on convertit les lignes de la matrice en colonne et la colonne de la matrice en lignes. L’équation générale pour effectuer la transposition d’une matrice est la suivante. Matrix M ---> [1, 8, 9 12, 6, 2 19, 42, 3] Transpose of M Output ---> [1, 12, 19 8, 6, 42, 9, 2, 3]
Quels sont les exercices corrigés sur les matrices ?
Exercices java Exercices langage c Exercices python récursivité Tableaux Complexité analyse des algorithmes C'est la deuxième série d'exercices corrigés sur les matrices, nous continuons à effectuer des opérations intéressantes de calcul matriciel.
Comment calculer la courbe de transition ?
Mathématiquement, la courbe de transition se calcule comme pour une entrée progressive en courbe et correspond à une « clotoïde ». Dans la pratique, j’utilise simplement la souplesse du tracé en contreplaqué qui prend de lui-même la forme adéquate. Il faut toutefois savoir qu’adoucir les transitions rallonge la pente.
![CORRIGÉ CORRIGÉ](https://pdfprof.com/Listes/18/2312-18TD3MarkovCor.pdf.pdf.jpg)
´ENOM :Groupe :
Math´ematiques pour la Biologie : Feuille-r´eponses du TD 3´Evolution vers une distribution stationnaire
Exercice 1. :Un individu vit dans un milieu o`u il est susceptible d"attraper une maladiepar piqˆure
d"insecte. Il peut ˆetre dans l"un des trois ´etats suivants : ni malade ni immunis´e (R), malade (M) ou
immunis´e (I). D"un mois sur l"autre, son ´etat peut changer selon les r`egles suivantes :´etant immunis´e, il a une probabilit´e de 0,8 de le rester et de 0,2 de passer `a l"´etatR,
´etant malade, il a une probabilit´e de 0,25 de le rester et de 0,75 de devenir immunis´e,enfin, ´etant dans l"´etatR, il a une probabilit´e de 0,6 de le rester et de 0,4 de tomber malade.
1. Donner la matrice de transitionPde la chaˆıne de Markov d"ensemble d"´etatsS={I,M,R}
mod´elisant la population `a laquelle appartient cet individu.I M R?
P=((0,8 0 0,2
0,75 0,25 0
0 0,4 0,6))
I M RPour remplir la matricePon utilise le fait que la somme des ´el´ements d"une ligne vaut 1.2. Calculer la proportion d"individus malades dans la population apr`es un mois si 4% des individus
´etaient malades au d´epart et les autres ni malades ni immunis´es. On aπ0= (0 0,04 0,96), on ne calcule que la composante deπ1qui nous int´eresse :1=π0P= (0 0,04 0,96)((
0,8 0 0,2
0,75 0,25 0
0 0,4 0,6))
= (...0,04×0,25 + 0,96×0,4...) =0,394...) Au bout d"un mois il y a 39,4% de malades, c"est inqui´etant.
3. Si l"on calcule avec un ordinateur la puissanceP100de la matrice de transition,
on trouve (en arrondissant `a 3 d´ecimales)P100=((0,566 0,151 0,283
0,566 0,151 0,283
0,566 0,151 0,283))
Peut-on en d´eduire que la matrice de transition de cette chaine de Markov est une matrice primi- tive? Pourquoi?Pest une matrice positive etP100est une matrice strictement positive : tous ses ´el´ements sont
positifs non nuls. DoncPest une matrice primitive : c"est une matrice positive dont une puissance est strictement positive, c"est la d´efinition de matrice primitive dansle cours.4. Quelle sera la proportion d"individus malades dans cette population `a long terme? Expliquer.
CommePest une matrice primitive on sait qu"il existe une distribution stationnaireπ∞vers la- quelle on tendra `a partir de n"importe quelle distribution initialeπ0. On obtient cette distributionπ∞en calculant une puissancePkdePassez grande pour que ses lignes soient ´egales. Cette ligne est alorsπ∞. Donc iciπ∞=?0,566 0,151 0,283?, `a long terme il y aura15,1% de malades.
5. Que se passerait-il selon ce mod`ele dans une r´egion o`u la proportion de malades serait de 48% au
d´epart? Peut-on pr´evoir une ´epid´emie dans ce cas?Quelle que soit la distribution initialeπ0on tendra vers la distributionπ∞, donc la proportion
de malades chutera de 48% au d´epart `a 15,1% `a long terme.Il n"y aura pas d"´epid´emie.
Exercice 2. :On veut ´etudier l"effet de la pr´esence d"un couple de lions dans une portion de savane dans
laquelle cohabitent trois populations d"animaux dont les lions se nourrissent. On mod´elise les animaux
mang´es, antilopes (a), gnous (g) et z`ebres (z) comme les ´etats d"une chaˆıne de Markov dont les trajectoires
sont des successions de proies mang´ees par les lions, comme par exemple (gzzaggaa). On fait l"hypoth`ese
que la probabilit´e qu"un lion mange une proiea(ougouz) apr`es avoir mang´e une proieg(ouaouz) ne
d´epend pas de ce qu"il avait mang´e avantg(ouaouz) et que cette probabilit´e est invariante au cours du
temps. D"o`u la mod´elisation par une chaˆıne de Markov d"espace d"´etatsS={a,g,z}et dont on propose
la matrice de transition suivante : P=((0,5 0,1 0,4
0,2 0,3 0,5
0,2 0,2 0,6))
1. Quelle est, selon ce mod`ele, la probabilit´e que les lions mangent un z`ebre apr`es avoir mang´e une
antilope? La probabilit´eP(Xt+1=z/Xt=a) =P(X1=z/X0=a) (invariance au cours du temps) se litdirectement dans la matriceP: c"est l"´el´ement de la premi`ere ligne, troisi`eme colonne qui vaut
0,4.2. Des deux trajectoires suivantes, (gazg) et (gzag), quelle est la plus probable? Justifier votre r´eponse
par un calcul. P(X0=g,X1=a,X2=z,X3=g) =P(X1=a/X0=g)P(X2=z/X1=a)P(X3=g/X2=z) =0,2×0,4×0,2 = 0,016
P(X0=g,X1=z,X2=a,X3=g) =P(X1=z/X0=g)P(X2=a/X1=z)P(X3=g/X2=a) =0,5×0,2×0,1 = 0,010
Donc la trajectoire (gazg) est plus probable que (gzag).3. La distributionπ0suivante est-elle une distribution stationnaire pour la chaˆıne de Markov des
animaux successivement mang´es par les lions? Justifier votre r´eponse. S agzπ06
214 21
11 21
π0P=?6214211121?((0,5 0,1 0,4
0,2 0,3 0,5
0,2 0,2 0,6))
621×0,5 +421×0,2 +1121×0,2621×0,1 +421×0,3 +1121×0,2621×0,4 +421×0,5 +1121×0,6?
?6214211121?On a bienπ0P=π0, doncπ0est une distribution stationnaire.
4. Si au d´epart la nourriture des lions se composait pour
34de z`ebres, cette proportion dans leur r´egime
alimentaire va-t-elle, selon ce mod`ele, diminuer, augmenter ou rester constante?Expliquer.
La matricePest primitive : tous ses coefficients sont strictement positifs, ce n"est donc pas la peine de chercher une puissance strictement positive,Pconvient.On peut donc appliquer la th´eorie de Perron-Frobenius : quelle que soit la distribution initiale on
tendra vers l"unique distribution stationnaire de cette chaˆıne de Markov?6214211121?trouv´ee
dans la question 3. Donc, si au d´epart les z`ebres repr´esentent les 34= 75% de la nourriture des lions, au fil du temps
cette proportion va tendre vers 1121?52,4%.
Cette proportion diminue des34`a un peu plus de la moiti´e.quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36[PDF] fiche technique café
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