[PDF] CORRECTION DES ERREURS ET SOLUTIONS DES EXERCICES

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CORRECTION DES ERREURS ET SOLUTIONS DES EXERCICES ET DES

PROBLµEMES

du livre

Dunod (2003)

Hung T. Diep

5, mail Gay-Lussac, Neuville sur Oise, 95031 Cergy-Pontoise Cedex, France

DATE DE LA MISE A JOUR: 26 JANVIER 2004 avec l'ajout des solutions des exercices 12.2, 12.3, 12.4, 13.4,

13.7, 15.3, 15.4 et 18.4.

I. CORRECTION DES ERREURS DU LIVRE

p.65: remplacer p

NparNdans (5.7).

p.67: remplacer dans (5.21)V(~r¡~Ri) par exp(i~k¢~Ri)Á(~r¡~Ri).

¯¹h!E'1 +¯¹h!E.

p.170: dans (12.5) et dans la ligne suivante remplacerjDparjDj. p.248: remplacerCdans (15.32) parZ Chapitre 10: p. 147, remplacer [18] par [19], [22] par [23];[46]par[51]

Chapitre 13: p. 207, remplacer [19] par [20]

Chapitre 15: p. 245 remplacer [19] par [20], p. 253 remplacer [citeRocco] par [38] Chapitre 17: p. 288 remplacer [10;17] par [11;18], p. 292 remplacer [Cercignani] par [44]

Chapitre 18: les citations dans le texte du chapitre sont µa ajouter 5, par exemple µa la page 302, on remplace [40]

par [45], [41] par [46], etc.

II. EXERCICES ET PROBL

µEMES DU CHAPITRE 8: SYSTµEMES DE SPINS SANS INTERACTION orbital est ~Mt=¡¹B(~L+g~S).

Exercice 8.2 E®et Zeeman

2 ferM= 56.

Guide:

a) Le nombre d'atomes de fer dans 1 m 3

N=7970£6;025£1026

56
= 8;58£1028(le nombre d'Avogadro par kilogramme est 6;025£1026)

M=1;7£106

= 1;16£10¡29JA/m).

Pour¹0H= 0;5 tesla, ¢E= 0;464£10¡23J

Pour¹0H= 1 tesla, ¢E= 0;927£10¡23J

Pour¹0H= 2 tesla, ¢E= 1;85£10¡23J.

a) Ecrire la relation entrei,metA. etrle rayon de son orbite. ~Hfait un angleµavec la normale du plan de l'orbite? a)m=iA L dÁ dt =¡1 L dBA dt =¡A L dB dt (L= 2¼r). dt =eE m e=¡er 2medB dt =¡¹0er 2medH dt Rv2 v

1dv=v2¡v1=¡¹0er

2meH.

¢m=er(v2¡v1)=2 =¡¹0e2r2H

4me

d)On doit projeter l'orbite de rayonrsur le plan normal au champ. On aR=rcosµ. On doit remplacerrpar

¢m=¡¹0e2H

4meZ r

2cos2µsinµdµ(1)

=¡¹0e2r2H

4me[¡cos3µ

3 ]¼0(2) =¡¹0e2r2H

6me(3)

3

Â= ¢M=H=¡N¹0Ze2r2H

4me<0

M=NmL(¹0mH

k BT) oµuL(x) = coth(x)¡1 x

C2¼R¼

0sinµdµexp(¯mBcosµ) d'oµu

C=N=2¼R¼

0sinµdµexp(¯mBcosµ)

M=Z 0 mcosµdn(4)

NmR¼

0cosµsinµdµexp(¯mBcosµ)

R

0sinµdµexp(¯mBcosµ)(5)

=NmL(mB k

BT) (6)

=NmL(¹0mH k

BT) (7)

y da la fonctionL(y) donneM=N¹0m2H=(3kBT) ce qui donne la loi de CurieÂ=M=H=N¹0m2=(3kBT)>0

Exercice 8.5Calculer la variation de la bande interdite dans un semi-conducteur sous l'e®et de~Ben supposant

m b) On considµere le cas oµu ~H=~H0+~H1(t) oµu~H0est la composante suivant l'axezet~H1(t) la composante dans 4

III. EXERCICES ET PROBL

DU CHAMP MOYEN

a) Problµeme µa deux spins:

Soit l'hamiltonien

H=¡2J~S1¢~S2¡D[(Sz1)2+ (Sz2)2]¡B(Sz1+Sz2) (8) parallµelement µaOz. Trouver les valeurs et vecteurs propres deHpour des spins 1/2. On considµere le modµele de Heisenberg:H=¡2JP

l'interaction entre 2 spins de maniµere exacte et les interactions de cette paire avec les autres spins par l'approximation

du champ moyen. Explicitement, on considµere deux spins H ij=¡2J~S1¢~S2¡2(Z¡1)J < Sz>(Szi+Szj) (9) e

¡2J=kBTc+ 3¡2(Z¡1)J=kBTc= 0 (10)

a) Guide: On exprime

S1¢~S2=Sz1Sz2+ (S+1S¡2+S¡1S+2)=2

Pour calculer [Sz1Sz2+ (S+1S¡2+S¡1S+2)=2¡D[(Sz1)2+ (Sz2)2]¡B(Sz1+Sz2)]jÁi>, on utilise les relations suivantes

S §jjm >= [j(j+ 1)¡m(m§1)]1=2¹hjj;m§1>(j= 1=2,m=§1=2), S zjm >= ¹hmjm >.

On obtient une matrice 4x4 . Une simple diagonalisation donne ¯nalement les valeurs propres suivantes

E

1=J=2¡D=2¡B,E2=¡3J=2¡D=2,E3=J=2¡D=2,E4=J=2¡D=2 +B(on a pris ¹h= 1).

" "E1=¡J=2¡2(Z¡1)< Sz> " #+# "E2=¡J=2 # #E3=¡J=2 + 2(Z¡1)< Sz> " # ¡ # "E4= 3J=2

On considµere les deux spins comme un superspin dont la composantezestSz= (Szi+Szj)=2 qui est la m^eme que

celle des autres spins voisins. On a < S z>=Tr1 2 (Szi+Szj)exp(¡¯E)=Trexp(¡¯E)

Trexp(¡¯E) = exp(¯J=2)exp(¯X)+exp(¯J=2)+exp(¯J=2)exp(¡¯X)+exp(¡¯3J=2) avecX= 2(Z¡1)< Sz>.

Tr 1 2 (Szi+Szj)exp(¡¯E)] =1 2 exp(¯J=2)exp(¯X) + 0¡1 2 exp(¯J=2)exp(¡¯X) + 0 (11) = exp(¯J=2)sinh¯X(12) d'oµu < S z>=sinh¯X

2(cosh¯X+ exp(¡¯J)cosh¯J)(13)

2< Sz>[¡3 + 2¯(Z¡1)J¡exp(¡2¯J)

2 ] =¯24(Z¡1)2J2< Sz>3(14) 5

La solution< Sz>6= 0 est possible si¡3+2¯(Z¡1)J¡exp(¡2¯J)>0.kBTc=¯¡1cest obtenu par¡3+2¯c(Z¡

1)J¡exp(¡2¯cJ) = 0.

H=¡J1X

(i;j)¾ i¾j¡J2X (i;k)¾ i¾k(15)

oµu¾iest le spin du sitei,J1(>0) l'interaction entre deux spins premiers voisins, etJ2(>0) celle entre les spins

deuxiµemes voisins . Les premiµere et deuxiµeme sommes s'e®ectuent sur les paires de spins premiers et deuxiµemes voisins,

respectivement. de transition. a) Les spins sont parallµeles µaT= 0. Toutes les interactions sont pleinement satisfaites.

d) Le m^eme calcul que dans le cours en rempla»cantCJparZ1J1+Z2J2dans Eq.(9.8) et Eq.(9.10), on obtient

2Z2ouJc2=¡Z1J1

IV. EXERCICES ET PROBL

X k² ~k< n~k>'N (2¼)2Z 1 0

2JS(ka)2l=1X

l=1e

¡l¯2JS(ka)2k2dk(16)

6

Exercice 10.2 Cha^³ne de spins de Heisenberga) Calculer le spectre des magnons²(k) dans le cas d'une cha^³ne de constantea, de spins de Heisenberg avec les

en fonction dekdans la premiµere zone de Brillouin (ZB). a)!= 2J1SZ(1¡cos(ka)) + 2J2SZ(1¡cos(2ka)) (Z=2, le nombre de voisins) b)SiJ2<0,!= 2J1SZ(1¡cos(ka))¡2jJ2jSZ(1¡cos(2ka)). On trace!en fonction dek. On voit que!est

d!=dk= 2J1SZasin(ka)¡4ajJ2jSZsin(2ka) = 2SZa[J1sin(ka)¡4jJ2jsin(ka)cos(ka)] = 2SZasin(ka)[J1¡

4jJ2jcos(ka)]

4jJ2j=¡J1

4J2(J2<0). Cette derniµere solution ,

chapitre 18). Elle est valable pourJ2<¡J1=4. Exercice 10.3Systµeme de spins de Heisenberg en deux dimensions

Jentre les premiers voisins

n'est pas nulle. Commentaires. !!2JS(ka)2quand~k!0. b)< Sz>= 1=2¡AR

ZB2¼kdk

exp(¯!)¡1(A: une constante, consulter Eq. (10.55) et Eq. (10.56)). La contribution

ZB2¼kdk

1+¯JS(ka)2¡1'

1=2¡AR

ZB2¼kdk

Exercice 10.4 Anisotropie uniaxiale

a) Montrer que si on inclut dans l'hamiltonien de Heisenberg un terme d'anisotropie du type¡DP i(Szi)2oµu la somme s'e®ectue sur tous les spins, on obtient le spectre suivant ~k= 2ZJS(1¡°~k+d) oµud´D

Exercice 10.5 Interaction dipolaire

voisins, on inclut l'interaction dipolaire suivant dans l'hamiltonien: H d=DX (i;j)" ~Si¢~Sj R

3ij¡3(~Si¢~Rij)(~Sj¢~Rij)

R 5ij# (17) 7

oµuD >0 est l'amplitude de l'interaction dipolaire,~Rij=~Ri¡~Rjle vecteur de moduleRijliant deux sitesietj, et

(xy). quand

~Sik~Sjk~Rij. Autrement dit, le second terme est minimum quand les spins sont parallµeles au planxy. L'ordre

Note: si les spins sont perpendiculaire au planxy, le second terme est nul, le premier terme induit un ordre

au planxy.

V. EXERCICES ET PROBL

Exercice 11.3Calculer le champ critiqueHcdans les cas suivants J

2entre les deuxiµemes voisins.

a)Hc= 6jJj(J: interaction entre deux premiers voisins). b)Hc= 4jJ1j+ 4J2 [®~k;®+ ~k0] = [a~kcoshµk+b+ ~ksinhµk;a+ ~k0coshµ0k+b~k0sinhµ0k] (18) = coshµkcoshµ0k[a~k;a+ ~k0] + coshµksinhµ0k[a~k;b+ ~k0] (19) + sinhµkcoshµ0k[b+ ~k;a+ ~k0] + sinhµksinhµ0k[b+ ~k;b~k0] (20) = coshµkcoshµ0k±(k;k0) + 0 + 0¡sinhµksinhµ0k±(k;k0) (21) = [cosh

2µk¡sinh2µk]±(k;k0) =±(k;k0) (22)

Exercice 11.5Montrer que le spectre des magnons (11.108) devient instable quand l'interaction entre les deuxiµemes

valeur critique. Analytiquement, on voit que l'interactionJ2a®ecte les modes akx=ky=kz=¼=a. AugmenterJ2

3

1¡j®j

1+j®j

8

VI. EXERCICES ET PROBL

µEMES DU CHAPITRE 12: ELECTRONS EN INTERACTION :

APPROXIMATION DE HARTREE-FOCK

Soit un systµeme de 2

H

2N=P2N

i=1[~p2 i

2m+V(~ri)] +1

2 P 2N i;j=1e2 j~ri¡~rjj

T(i) =< 'i(~ri)j[~p2

i

2m+V(~ri)]j'i(~ri)>

K(i;j) =e2< 'i(~ri)'j(~rj)j1

j~ri¡~rjjj'i(~ri)'j(~rj)>

J(i;j) =e2< 'i(~ri)'j(~rj)j1

j~ri¡~rjjj'i(~rj)'j(~ri)> a) E

2N´<ª2NjH2Njª2N>(23)

X i;¾< Ã i;¾(~ri)j~p2i

2m+V(~r¡i)jÃi;¾(~ri)>+1

2 X i;j;¾;¾

0< Ã

i;¾(~ri)Ãj;¾0(~rj)je2 1 2quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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