[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

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Exo7

Séries

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile

I : Incontournable

Exercice 1Nature de la série de terme général

1) (*)lnn2+n+1n

2+n1

2) (*)1n+(1)npn

3) (**)n+32n+1

lnn4) (**)1ln(n)ln(chn)

5) (**)arccos3q11n

26) (*)n2(n1)!7)

cos1pn n1pe

8) (**)ln2p

arctann2+1n

9) (*)

Rp=2

0cos2xn

2+cos2xdx10) (**)np2sin(p4

+1n )11) (**)e1+1n n

Nature de la série de terme général

1) (***)

4pn

4+2n23pP(n)oùPest un polynôme.2) (**)1n

aS(n)oùS(n) =å+¥p=21p n.

3) (**)unoù8n2N,un=1n

eun1.

4) (****)un=1p

noùpnest len-ème nombre premier (indication : considérer

åNn=1ln

111p
n

åNn=1ln(1+pn+p2n+:::)).

5) (***)un=1n(c(n))aoùc(n)est le nombre de chiffres denen base 10.

6) (*)

(Õnk=2lnk)a(n!)ba>0 etb>0.7) (**)arctan1+1n a arctan11n a

8) (**)

1n aånk=1k3=2.9) (***)Õnk=11+kn a1.

Nature de la série de terme général

1) (***)sinpn2n+1

2) (**)(1)nn+(1)n13) (**)ln

1+(1)npn

4) (***)einan

,cos(na)n etsin(na)n

5) (**)(1)nlnnn

(1)nP(n)Q(n)oùPetQsont deux polynômes non nuls

7) (****)(sin(n!pe))ppentier naturel non nul.

Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.

1) (**)

å+¥n=0n+13

n2) (**)å+¥n=32n1n

34n3) (***)å+¥n=01(3n)!

4) (*)

å+¥n=21pn1+1pn+12pn

5) (**)

å+¥n=2ln

1+(1)nn

6) (***)

å+¥n=0lncosa2

na20;p2 textbf7)

å+¥n=0th

a2 n2 n 1 converge. Montrer queun=n!+¥o1n . Trouver un exemple de suite(un)n2Nde réels strictement positifs telle

que la série de terme généralunconverge mais telle que la suite de terme généralnunne tende pas vers 0.

2diverge.

u n)etRun0dx1+xesont de mêmes natures. terme généralpu nn

connaissant la nature de la série de terme généralunpuis en calculer la somme en cas de convergence.

Pourn2N, on poseSn=u0+:::+un. Etudier en fonction dea>0 la nature de la série de terme généralun(Sn)a.

2a,n>1.

+13 14 +:::=ln2.

A partir de la série précédente, on construit une nouvelle série en prenantptermes positifs,qtermes négatifs,p

termes positifs ... (Par exemple pourp=3 etq=2, on s"intéresse à 1+13 +15 12 14 +17 +19 +111
16 18 2

Convergence et somme de cette série.

Convergence et somme éventuelle de la série de terme général

1) (**)un=2n33n2+1(n+3)!2) (***)un=n!(a+1)(a+2):::(a+n),n>1,a2R+donné.

n!(a+1)(a+2):::(a+n)quandntend vers l"infini (aréel positif donné).

å+¥k=n+11k

2quandntend vers l"infini.

Partie principale quandntend vers+¥de

1) (***)

å+¥p=n+1(1)plnpp

2) (**)ånp=1pp.

n2N;n6=p1n 2p2 et

ån2N

p2N;p6=n1n 2p2 . Que peut-on en déduire ?

å+¥n=0(1)n3n+1.

. Montrer que si la série de terme général

(un)2converge alors la série de terme général(vn)2converge et queå+¥n=1(vn)264å+¥n=1(un)2(indication :

majorerv2n2unvn). 3

ånk=0(1)k2k+1,n>0.

Correction del"exer cice1 N1.Pour n>1, on poseun=lnn2+n+1n 2+n1 .8n>1,unexiste u n=ln1+1n +1n

2ln1+1n

1n

2=n!+¥

1n +O1n 21n
+O1n 2=O1n 2.

Comme la série de terme général

1n

2,n>1, converge (série de RIEMANNd"exposanta>1), la série de

terme généralunconverge. 2.

Pour n>2, on poseun=1n+(1)npn

.8n>2,unexiste et de plusunn!+¥1n . Comme la série de terme général 1n ,n>2, diverge et est positive, la série de terme généralundiverge. 3.

Pour n>1, on poseun=n+32n+1

lnn. Pourn>1,un>0 et ln(un) =ln(n)lnn+32n+1 =ln(n) ln12 +ln 1+3n ln 1+12n n!+¥ln(n) ln2+O1n n!+¥ln2ln(n)+o(1):

Doncun=eln(un)n!+¥eln2lnn=1n

ln2. Comme la série de terme général1n ln2,n>1, diverge (série de RIEMANNd"exposanta61) et est positive, la série de terme généralundiverge. 4. Pour n>2, on poseun=1ln(n)ln(chn).unexiste pourn>2. ln(chn)n!+¥lnen2 =nln2n!+¥net unn!+¥1nln(n)>0. Vérifions alors que la série de terme général

1nlnn,n>2, diverge. La fonctionx!xlnxest continue,

sur]1;+¥[). Par suite, la fonctionx!1xlnxest continue et décroissante sur]1;+¥[et pour tout entierk

supérieur ou égal à 2,

1klnk>Rk+1

k1xlnxdx

Par suite, pourn>2,

nk=2klnk>

ånk=2R

k+1 k1xlnxdx=Rn+1

Doncunest positif et équivalent au terme général d"une série divergente. La série de terme généralun

diverge. 5.

Pour n>1, on poseun=arccos3q11n

2.unexiste pourn>1. De plusun!n!+¥0. On en déduit que

u nn!+¥sin(un) =sin arccos 3r11n 2! =s1 11n 2 2=3 =n!+¥s11+23n2+o1n 2 n!+¥r2 3 1n >0

terme général d"une série de RIEMANNdivergente. La série de terme général un diverge.

6. Pour n>1, on poseun=n2(n1)!.unexiste etun6=0 pourn>1. De plus, 5 un+1u n =(n+1)2n

2(n1)!n!=(n+1)2n

3n!+¥1n

!n!+¥0<1. D"après la règle de d"ALEMBERT, la série de terme généralunconverge. 7.

Pour n>1, on poseun=

cos1pn n1pe .unest défini pourn>1 car pourn>1,1pn 20;p2 et donc cos 1pn >0. Ensuite ln cos1pn n!+¥ln

112n+124n2+o1n

2 n!+¥12n+124n218n2+o1n 2 n!+¥12n112n2+o1n 2

Puisnln

cos1pn =n!+¥12

112n+o1n

et donc u n=enln(cos(1=pn)1pe =n!+¥1pe e112n+o(1n )1 n!+¥112npe <0.

La série de terme général112npe

est divergente et donc la série de terme généralundiverge. 8. ln 2p arctann2+1n =ln 12p arctannn 2+1 n!+¥2p arctannn 2+1 n!+¥2p nn

2+1n!+¥2np<0:

Donc, la série de terme généralundiverge. 9.

Pour n>1, on poseun=Rp=2

0cos2xn

2+cos2xdx.

Pourn>1, la fonctionx7!cos2xn

2+cos2xdxest continue sur0;p2

et positive et donc,unexiste et est positif.

De plus, pourn>1,

06un6Rp=2

01n

2+0dx=p2n2.

La série de terme général

p2n2converge et donc la série de terme généralunconverge.

10.p2sin

p4 +1n =sin1n cos1n =n!+¥1+O1n puis p2sin p4 +1n lnn=n!+¥ln(n)+Olnnn =n!+¥ln(n)+o(1).

Par suite,

0 (p4 +1n )lnnn!+¥elnn=1n

La série de terme général

1n diverge et la série de terme généralundiverge.

11.nln1+1n

=n!+¥112n+o1n et donc u n=n!+¥ee112n+o(1n )=n!+¥e11+12n+o1n n!+¥e2n>0. 6

La série de terme général

e2ndiverge et la série de terme généralundiverge.Correction del"exer cice2 N1.Si Pn"estpasunitairededegré3,unnetendpasvers0etlasériedetermegénéralundivergegrossièrement.

SoitPun polynôme unitaire de degré 3. PosonsP=X3+aX2+bX+c. u n=n 1+2n 2 1=4 1+an +bn 2+cn 3 1=3! n!+¥n

1+12n2+O1n

3

1+a3n+b3n2a29n2+O1n

3 n!+¥a3 +12 b3 +a29 1n +O1n 2 • Sia6=0,unne tend pas vers 0 et la série de terme généralundiverge grossièrement. • Sia=0 et12 b3

6=0,unn!+¥

12 b3 1n .unest donc de signe constant pourngrand et est équivalent au terme général d"une série divergente. Donc la série de terme généralundiverge. • Sia=0 et12 b3 =0,un=n!+¥O1n

2. Dans ce cas, la série de terme généralunconverge (absolument).

En résumé, la série de terme généralunconverge si et seulement sia=0 etb=32 ou encore la série de terme généralunconverge si et seulement siPest de la formeX3+32

X+c,c2R.

2.

Pour n>2, posonsun=1n

aS(n). Pourn>2,

0 1p n612

å+¥p=21p

n=12 S(n) et donc8n>2,S(n)6S(2)2 n2. Par suite, u n61n aS(2)2 n2=n!+¥o1n 2. Pour tout réela, la série de terme généralunconverge.

3.8u02R,8n2N,un>0. Par suite,8n>2, 0

On en déduit que lim

n!+¥un=0 et par suiteunn!+¥1n >0. La série de terme généralundiverge. 4. On sait qu"il e xisteune infinité de nombres premiers. Notons(pn)n2Nla suite croissante des nombres premiers. La suite(pn)n2Nest une suite strictement croissante d"entiers et donc lim n!+¥pn= +¥ou encore limn!+¥1p n=0.

Par suite, 0<1p

nn!+¥ln 11p n 1 et les séries de termes généraux 1p net ln 11p n 1 sont de même nature. Il reste donc à étudier la nature de la série de terme général ln 11p n 1

Montrons que8N2N,å+¥n=1ln

11p n 1 >lnåNk=11k

Soitn>. Alors1p

n<1 et la série de terme général1p kn,k2N, est une série géométrique convergente de somme :

å+¥k=01p

kn= 11p n 1. 7

Soit alorsNun entier naturel supérieur ou égal à 2 etp1 inférieurs ou égaux àN.

Tout entier entre 1 etNs"écrit de manière uniquepb11:::pbkkoù8i2[[1;n]], 06bi6ai=Eln(N)ln(pi)

et deux entiers distincts ont des décompositions distinctes. Donc k=1ln 11p k 1! >nå k=1ln 11p k 1! (car8k2N; 11p k 1 >1) nå k=1ln i=01p ik! >nå k=1ln akå i=01p ik! =ln nÕ k=1 akå i=01p ik!! =ln

06b16a1;:::;:::06bn6an1p

b11:::;pbnn! >ln Nå k=11k

Or lim

N!+¥lnåNk=11k

= +¥et doncå+¥k=1lnquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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