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Probabilit

´es et Statistiques

Avner Bar-Hen

Universit

´e Aix-Marseille III

2002-2003

Table des mati`eres

Table des mati

`eresi0 Analyse combinatoire11 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.1 D´enombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32.1 D´enombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33.1 D´enombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33.2 Deux relations importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54.1 D´eveloppement du binˆome de Newton . . . . . . . . . . . . . . .54.2 Le triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81 Premiers´el´ements de th´eorie des probabilit´es111 Notion d"exp´erience al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112 L"ensemble fondamentalΩ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123 Les´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124 Alg`ebre des´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135 La probabilit´e P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145.1 Notion d"espace de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156 Le cas´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157 Rappel de combinatoire : applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167.1 Arrangements avec r´ep´etition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167.2 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178 Probabilit´e conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188.1 Probabilit´e conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188.2 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219.1 Ind´ependance de deux´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . . .219.2 Ind´ependance de plusieurs´ev´enements . . . . . . . . . . . . . .2110 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

iiTABLE DES MATI`ERES11 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262 Variables al´eatoires discr`etes331 Variable al´eatoire`a valeurs dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331.1 Loi de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331.2 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341.3 Propri´et´es de la fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . .341.4 Fonction de r´epartition et loi de probabilit´e . . . . . . . . . . . .352 Variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .352.1 Fonction de r´epartition en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . .352.2 Repr´esentation graphique : l"histogramme . . . . . . . . . . . . .373 Param`etres descriptifs d"une distribution discr`ete . . . . . . . . . . . . .384 Variable indicatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .414.1 Loi de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .414.2 Param`etres descriptifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415 Loi discr`ete uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415.2 Param`etres descriptifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .426 La loi hyperg´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .426.1 Sch´ema du tirage exhaustif ou sans remise . . . . . . . . . . . . .426.2 Param`etres descriptifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .437 La loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .437.1 Sch´ema de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .437.2 Param`etres descriptifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .447.3 Formes de la distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .457.4 Approximation d"une loi hyperg´eom´etrique . . . . . . . . . . . .468 La loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .478.1 Calcul pratique des probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . .478.2 Param`etres descriptifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .488.3 Forme de la distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .488.4 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .488.5 Approximation d"une loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . .489 La loi g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .509.1 Param`etres descriptifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5010 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5111 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .573 Variables al´eatoires`a densit´e711 Densit´e de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .711.1 Variable al´eatoire de distribution continue . . . . . . . . . . . . .711.2 Densit´e de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .721.3 Densit´e de probabilit´e et loi de probabilit´e . . . . . . . . . . . . .721.4 Propri´et´es d"une densit´e de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . .731.5 Repr´esentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .742 Param`etres descriptifs d"une distribution`a densit´e . . . . . . . . . . . . .75bar-hen.net

TABLE DES MATI`ERESiii2.1 Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .752.2 Esp´erance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .752.3 Moment d"ordrek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .762.4 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .773 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .793.1 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .793.2 Param`etres descriptifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .794 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .804.1 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .804.2 Param`etres descriptifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .805 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .815.1 Param`etres descriptifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .815.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .825.3 Forme de la distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .825.4 Calcul des probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .825.5 Utilisation de la table11.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .835.6 Utilisation de la table11.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .845.7 Utilisation de la table11.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .855.8 Importance de la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .865.9 Approximation d"une loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . .865.10 Approximation d"une loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . .896 Autres lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .896.1 La loi gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .906.2 La loi log-normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .917 M´elanges de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .917.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .917.2 M´elanges de distribution discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . .927.3 M´elange de distributions`a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . .927.4 Cas interm´ediaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .938 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .949 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .994 Fonction d"une variable al´eatoire1131 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1131.1 Fonction d"une variable discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . .1131.2 Fonction d"une variable`a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . .1142 Un cas particulier :Y=aX+b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1162.1Xest une variable discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1162.2Xest une variable`a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1172.3 Variable centr´ee-variable r´eduite . . . . . . . . . . . . . . . . . .1193 Esp´erance deY=φ(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1204 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1225 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124bar-hen.net

ivTABLE DES MATI`ERES5 Tests d"hypoth`eses1311 Probl´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1311.1 Hypoth`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1312 Niveau et puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1323 Strat´egie d"un test d"hypoth`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1334 Tests non param´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1345 Quelquesapplicationspratiquesdesm´ethodesdestatistiquenonparam´etrique1355.1 Cas d"un´echantillon isol´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1355.2 Un test d"ajustement : le test binomial . . . . . . . . . . . . . . .1365.3 Test des signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1385.4 Test des rangs appliqu´e au cas d"´echantillons appari´es (Wilcoxon)1405.5 Testdesrangsappliqu´eaucasdes´echantillonsind´ependants(Mann-

Whitney) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1426 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1477 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1506 Variables al´eatoires`a valeurs dansR21571 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1571.1 Loi de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1581.2 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1581.3 Les couples de variables discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . .1591.4 Les couples`a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1602 Lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1632.1 Couples de variables discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1632.2 Couples`a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1643 Variables ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1653.1 Couples de variables discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1653.2 Couples`a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1664 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1674.1 Couples de variables discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1674.2 Couple`a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1695 Esp´erances conditionnelles et courbes de r´egression . . . . . . . . . . . .1706 Covariance et coefficient de corr´elation . . . . . . . . . . . . . . . . . .1736.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1736.2 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1746.3 Coefficient de corr´elation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1747 Variables al´eatoires dansRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1767.1 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1778 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1789 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1807 Fonctions de plusieurs variables al´eatoires1911 Esp´erance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1912 Variable somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1922.1 couple de variables discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192bar-hen.net

TABLE DES MATI`ERESv2.2 Couples de variables`a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1932.3 Somme denvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1952.4 Application`a la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1992.5 G´en´eralisation : combinaisons lin´eaire de variables . . . . . . . .2003 Variable diff´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2004 Variable moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2014.1 Cas d"unn-´echantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2014.2 Application a la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2015 Variable produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2026 Variable quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2037 Variable variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2048 In´egalit´e de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2058.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2059 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20610 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2088 L"estimation2171 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2171.1 Une in´egalit´e importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2171.2 In´egalit´e de Bienaym´e-Tchebichev . . . . . . . . . . . . . . . . .2172 Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2172.1 Estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2172.2´Ecart quadratique moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2182.3´Ecart quadratique moyen et variance . . . . . . . . . . . . . . . .2182.4 Biais d"un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2182.5 Suite consistante d"estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2182.6 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2193 Estimation par intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2203.1 Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2203.2 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2213.3 Utilisation de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2213.4 Utilisation de la loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2223.5 Utilisation de la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2233.6 Absence de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2244 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2255 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2279 Les mod`eles gaussiens et leur utilisation`a l"´etude des moyennes et des va-

riances2311 Les lois du chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2311.1 Densit´e de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2311.2 Propri´et´e d"additivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2321.3 Esp´erance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2321.4 Formes de la distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2331.5 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233bar-hen.net

viTABLE DES MATI`ERES1.6 Calcul de probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2342 Les lois de Fisher-Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2352.1 Densit´e de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2352.2 Esp´erance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2352.3 Forme de la distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2352.4 Calcul de probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2353 Application`a l"´etude des variances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2363.1 Probl`emes`a un´echantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2364 Test d"hypoth`ese surσ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2374.1 Intervalle de confiance d"une variance . . . . . . . . . . . . . . .2394.2 Probl`emes`a deux´echantillons . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2394.3 Comparaison de deux variances. TestF. . . . . . . . . . . . . .2405 Les lois de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2415.1 Densit´e de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2415.2 Esp´erance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2425.3 Forme de la distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2425.4 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2425.5 Calcul des probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2426 Application`a l"´etude des moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2436.1 Probl`emes`a un´echantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2436.2 Test d"hypoth`ese surμ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2446.3 Intervalle de confiance d"une esp´erance . . . . . . . . . . . . . .2456.4 Probl`emes`a deux´echantillons . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2466.5 Comparaison de deux esp´erances . . . . . . . . . . . . . . . . .2477 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2498 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25310 Le test chi-deux2631 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2632 Test sur une loi multinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2632.1 Distribution`a deux classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2632.2 Distribution`arclasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2643 Test d"ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2663.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2663.2 Estimation de param`etres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2674 Tests d"homog´en´eit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2704.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2704.2 G´en´eralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2714.3`A propos d"un cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2725 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2756 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .277bar-hen.net

TABLE DES MATI`ERESvii11 Tables de valeurs num´eriques281Factorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281Test du signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282Intervalle de confiance d"une probabilit´e (loi binomiale) . . . . . . . . . . . . .283Lois de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284Intervalle de confiance pour une esp´erance (loi de Poisson) . . . . . . . . . . .285Loi normale centr´ee r´eduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286Loi normale centr´ee r´eduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .287Loi normale centr´ee r´eduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .288Lois de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .289Lois du chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .290Lois de Fisher-Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291Lois de Fisher-Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292Valeurs critiques du test de Mann-Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293Valeur critique du test du nombre de paires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294Test de Mann-Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295Test de Wilcoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .296A Fonction de plusieurs variables2971 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2971.1 Repr´esentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2971.2 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2981.3 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2992 Fonctions compos´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2992.1 Fonction de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2992.2 Fonction compos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3002.3 Autre cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3013 D´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3013.1 D´eriv´ees partielles secondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3024 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .306B Int´egrales multiples3091 Int´egrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3091.1 Notion d"int´egrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3091.2 Calcul d"une int´egrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3091.3 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3111.4 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3111.5 Calcul de volumes et de surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . .3121.6 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3132 Int´egrale triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3152.1 Notion d"int´egrale triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3152.2 Calcul d"une int´egrale triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3152.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3172.4 G´en´eralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3173 Rappels de m´ecanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .317bar-hen.net

viiiTABLE DES MATI`ERES4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3195 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .321bar-hen.net

Chapitre 0

Analyse combinatoire

L"analyse combinatoire fournit des m

´ethodes de d´enombrement particuli`erement utiles enth du bin ˆome de Newton; ce d´eveloppement sera beaucoup utilis´e par la suite.

1 ArrangementsD´efinition 0.1´Etantdonn´eunensembledenobjets,onappellearrangementsdepobjets

toute suite depde ces objets.

Cette d

´efinition implique que, pour obtenir un arrangement, il faut choisirpobjets parmi net les ordonner, par exemple en leur attribuant une place parmipou un num´ero de 1`a p. Dans le langage de la th´eorie des ensemble, on dit : "Soit un ensembleE`an´el´ements. On appelle arrangement dep´el´ements deE, une injection de l"ensemble{1,2,3,...,p}dansE".

Deux arrangements form

´es depobjets peuvent doncˆetre distincts soit par la nature des objets, soit par leur ordre. On pr ´ecise parfois "arrangement sans r´ep´etition", parce qu"`a un objet ne peut

ˆetre attribu´e qu"une place.Exemple 0.1Combien d"arrangements peut-on r´ealiser en prenant deux objets parmi

4? Soient les objetsa,,b,c,d. En choisissant 2 objets et en les ordonnant, par exemple en les alignant, on peut obtenir 12 arrangements :a,b a,c a,d b,c b,d c,d b,a c,a d,a c,b d,b d,c 1.1 D

´enombrement

On se propose de d

´enombrer les arrangements possibles depobjets parmin. On notera A pnle nombre de ces arrangements.1

2ArrangementsIl est ais´e de calculerA1n=n, puisA2n=n(n-1); il existe en effetnfac¸ons de choisir

le premier objet et(n-1)fac¸ons de choisir le deuxi`eme lorsqu"on a d´ej`a le premier.

Pour d

´eterminerApn, on raisonne par r´ecurrence. On supposeAp-1nconnu. On en d´eduit : A pn=Ap-1n(n-p+ 1) Il existe en effetAp-1nfac¸ons de choisir les(p-1)premiers objets de la suite et pour chacune de ces possibilit ´e, il resten-(p-1) = (n-p+1)fac¸ons de choisit le dernier.

On a donc successivement :

A 1n=n A

2n=n(n-1)

A

3n=n(n-1)(n-2)

A pn=n(n-1)(n-2)···(n-p+ 1)

On peut

´ecrire :Apn=n(n-1)(n-2)···(n-p+ 1)(n-p)(n-p-1)···(2)(1)(n-p)(n-p-1)···(2)(1)Si pourk?Netk?= 0, on notek! = 1×2×3×...×(k-1)×k(k!se lit : factorielle

k), on a plus simplement : A pn=n!(n-p)!(1)Exemple 0.2En prenant 3 objets parmi 4, on peut r´ealiserA34=4!1!= 24arrangements.

Pour v

´erifier ce r´esultat, on peut utiliser l"exemple0.1. Soient les objetsa,b,c,d. Les ar- rangements form ´es de trois objets parmi ces quatre s"obtiennent en ajoutant un troisi`eme objet aux arrangements form ´es de deux objets. On obtient :a,b,c a,c,b a,d,b b,c,a b,d,a c,d,a a,b,d a,c,d a,d,c b,c,d b,d,c c,d,b b,a,c c,a,c d,a,b c,b,a d,b,a d,c,a b,a,d c,a,d d,a,c c,b,d d,b,c d,c,b

On a bienA34=A24×2 = 12×2

Un arrangement depobjets choisis parminpeutˆetre obtenu en tirant d"abord un objet parmi lesn, puis un deuxi`eme parmi les(n-1)restants, etc. Le rang du tirage sert alors a ordonner les objets retenus.

On peut imaginer un type de tirage enti

`erement diff´erent : on tire d"abord un objet, on le remet parmi lesnapr`es avoir not´e sa nature, et on r´ep`etepfois l"op´eration. La suite obtenue s"appelle un "arrangement avec r

´ep´etition " depobjets parmin.

Il est clair que le nombre d"arrangements avec r

´ep´etition depobjets parminestnp.

On a en effetnpossibilit´es pour chaque place, soitn×n× ··· ×n=nppossibilit´es

d"arrangement.bar-hen.net

0. ANALYSE COMBINATOIRE32 PermutationsD´efinition 0.2´Etant donn´e un ensemble denobjets, on appelle permutation toute suite

de cesnobjets. Une permutation est donc obtenue en ordonnant l"ensemble de cesnobjets. C"est un arrangement particulier o `u tous les objets sont choisis; deux permutations denobjets donn

´es ne peuvent donc diff´erer que par l"ordre de ces objets.Exemple 0.3Avec deux objetsxety, on peut obtenir 2 permutations :x,yety,xsi on

les ordonne en les alignant. 2.1 D

´enombrement

SoitPnle nombre de permutations possibles avecnobjets donn´es. Le calcul dePnest simple.

On a en effet :Pn=Ann=n(n-1)(n-2)···1

D"o `u P n=n!(2)Exemple 0.4Avec trois objetsa,b,con obtientP3= 3! = 6permutations,`a savoir : a,b,c b,c,a c,a,b c,b,a b,a,c a,c,b

3 CombinaisonsD´efinition 0.3´Etant donn´e un ensemble denobjets distincts, on appelle combinaison

depde ces objets tout ensemble depde ces objets.

La notion d"ordre a maintenant compl

`etement disparu. Deux combinaisons contenantp objets peuvent donc seulement diff

´erer par la nature des objets.Exemple 0.5Soient les nombre 1, 2 , 3, 4. En choisissant 2 nombres, on peut obtenir 6

combinaisons :{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}, 3.1 D

´enombrement

On se propose de d

´enombrer les combinaisons possibles depobjets pris parmin. On noteCpnle nombre de ces combinaisons. On note aussi parfois?n p? On remarque qu"on peut ordonner une combinaison contenantpobjets donn´es dep! mani

`eres (autant que de permutations). En proc´edant de mˆeme pour chacune desCpncombinaisons, on doit obtenirApnarrangements.

On a donc :

p!Cpn=Apnbar-hen.net

4CombinaisonsD"o`u :

C pn=n(n-1)(n-2)...(n-p+ 1)p! ce que l"on peut

´ecrire

C

pn=n!p!(n-p)!(3)La definition0.2implique :C1n=netCnn= 1. Pour g´en´eraliser la relation3`a ce dernier

cas, on posera par convention :0! = 1.

Ceci permet d"

´ecrire :1 =n!n!0!=C0n; si on ne prend aucun objet parmin, on obtient l"ensemble vide.

3.2 Deux relations importantes1.Cpn=Cn-pn(4)On a en effet, d"apr`es la relation3:n!p!(n-p)!=n!(n-p)!p!

Onpeutaussiremarquerqu"

form

´e des(n-p)objets restants.2.Cpn=Cp

n-1+Cp-1 n-1(5)En explicitant on a successivement : C p n-1+Cp-1 n-1=(n-1)!(n-1-p)!p!+(n-1)!(n-1-p+ 1)!(p-1)! (n-1)(n-2)...(n-p)p!+(n-1)(n-2)...(n-p+ 1)(p-1)! (n-1)(n-2)...(n-p+ 1)p!(n-p+p) n(n-1)(n-2)...(n-p)p! =Cpn

On peut aussi d

´emontrer la relation5en notant que, si on d´esigne`a l"avance un ob- jet parmin, les combinaisons possibles avec cesnobjets prisp`apse d´ecomposent en deux cat ´egories :•celles qui contiennent cet objet. Il y en aCp-1 n-1; pour compl´eter chaque combi-

naison il suffit en effet de choisir(p-1)objets parmi les(n-1)restants.•celles qui ne contiennent pas cet objet. Il y en aCp

n-1; pour les obtenir il faut en effet choisirpobjets parmi les(n-1)qui sont diff´erents de l"objet d´esign´e.bar-hen.net

0. ANALYSE COMBINATOIRE54 Applications

4.1 D

´eveloppement du binˆome de Newton1L"analyse combinatoire permet ais´ement le d´eveloppement de(a+x)no`unest un entier

strictement positif (n?N,n?= 0)´Elever(a+x)`a la puissancenrevient`a multipliernbinˆomes identiques`a(a+x). Le

r ´esultat est une somme; chaque´el´ement de cette somme est le produit denfacteurs, du typeaoux, choisis chacun dans un binˆome diff´erent. autant de fois qu"il existe de fac¸ons de choisir lespfacteursa, c"est-`a-dire de choi- sirpbinˆomes parmi lesn(les binˆomes o`u l"on choisit les facteursxsont alors bien d ´etermin´es); il y en a doncCpn. SommerCpntermes identiques`aapxn-previent`a multi- plierapxn-ppar le coefficient num´eriqueCpn. On obtient ainsi, sin?Netn?= 0: du d ´eveloppement du binˆome de Newton rang´e suivant les puissances croissantes dea (ou dex).Exemple 0.6En donnant`ansuccessivement les valeurs 1, 2, 3 on obtient : (a+x)1= 1a+ 1x (a+x)2= 1a2+ 2ax+ 1x2 (a+x)3= 1a3+ 3a2x+ 3ax2+ 1x3

4.2 Le triangle de Pascal2On consid`ere les d´eveloppements :

(x+a)n-1=C0n-1xn-1+C1n-1axn-2 ????+···+Cp-1 n-1ap-1xn-p+Cp n-1apxn-p-1 On s"aperc¸oit que le coefficientCpn, d"apr`es la relation5peutˆetre obtenu par l"addition de C p n-1et deCp-1 n-1. D"o`u l"id´ee du triangle de Pascal qui permet d"obtenir, par r´ecurrence, les coefficients num

´eriques du d´eveloppement du binˆome de Newton.Exemple 0.7En utilisant le triangle de Pascal (Table1), on peut´ecrire :

(a+x)6=x6+ 6ax5+ 15a2x4+ 20a3x3+ 15a4x2+ 6a5x+a61NEWTON Issac (1642-1727), math´ematicien et physicien anglais

2PASCAL Blaise (1623-1662), math´ematicien, physicien, philosophe et´ecrivain franc¸aisbar-hen.net

6ApplicationsL"analyse combinatoire conduit`a utiliser des factorielles.

Quand on sait que20!≈2.432 1018, on se rend compte des difficult´es rencontr´ees dans les calculs. Par la suite il sera surtout int ´eressant de connaˆıtre l"ordre de grandeur d"une probabilit ´e. Il est donc utile d"obtenir une valeur approch´ee den!pour les valeurs´elev´ees den; ceci est possible par l"interm´ediaire de la formule de Stirling3: n! =nne-n⎷2πn[1 +?(n)](7)o`u?(n)→0lorsquen→+∞ Sinest suffisamment grand, on peut donc, dans les calculs,´ecrire :

n!≈nne-n⎷2πn(8)En utilisant les logarithmes, il est alors facile d"obtenir une bonne approximation den!Exemple 0.8On se propose d"estimer20!en utilisant l"´equation8.

log(20!)≈20log20-20loge+12log20 + log⎷2 +12logπ ≈20.5log20-20loge+ 0.39908 On obtient :log(20!)≈18.38439, d"o`u20!≈2.423 1018, soit une erreur relative qui est seulement de l"ordre de4.3 10-33STIRLING James (1698-1770), math´ematicien anglaisbar-hen.net

0. ANALYSE COMBINATOIRE7Tableau 1 - Triangle de Pascalnp0 1 2 3 4 5 6 711 1

21 2 1

31 3 3 1414 64 151 51010 5 161 6 15 20 15 6 1

71 7 21 35 35 21 7 1

On lit :C25= 10. Ce r´esultat s"obtient en ajoutantC24(mˆeme colonne, ligne du dessus) et C

14(colonne de gauche, ligne du dessus)bar-hen.net

8Exercices5 Exercices1.Combiendenombrespeut-onformeravecleschiffres0,1,2,3,4,5,6,7,chaquechiffre

n" ´etant pr´esent q"une fois, de fac¸on que chaque nombre commence par un 7 et soit divisible par 5,•si les nombres sont de 8 chiffres?•si les nombres sont de 6 chiffres? R

´eponses : 1440; 7202.Cinq hommes et quatre femmes vont au cin´ema. Ils disposent d"une rang´ee de

neuf places. De combien de fac¸ons diff

´erentes peuvent-ils s"asseoir si l"on veut

que chaque femme soit entour

´ee de deux hommes?

R ´eponse : 28803.Ondisposedenboules.Onveutformerkgroupescontenantrespectivementr1,r2,...,rk boules, en utilisant toutes les boules (r1+r2+···+rk=n). De combien de fac¸ons peut-on le r

´ealiser?

R

´eponses :n!r1!r2!···rk!4.On dispose de 5 billes rouges, 2 blanches et 3 bleues. Si les billes de mˆeme couleur

sont indiscernables, de combien de fac¸ons peut-on les aligner? R

´eponses : 25205.Un groupe de 5 math´ematiciens et 7 physiciens doit´elire un comit´e repr´esentatif

form ´e de 2 math´ematiciens et 2 physiciens. Quel est le nombre de r´esultats pos-

sibles si :•les 12 personnes sont´eligibles?•un physicien est´elu d"office?•2 math´ematiciens ne sont pas´eligibles?

R

´eponses : 210; 60; 636.Le jeu de l"´ecart´e se joue avec 32 cartes, chaque joueur en recevant 5.•combien de mains diff´erentes peut avoir un joueur?•combien y-a-t-il de mains contenant 2 atouts et 2 seulement?

R ´eponses : 201376; 566727.Quelestlenombredegroupesdesixpersonnesquel"onpeutformeravec4garc¸ons

et 6 filles si l"on veut qu"ils contiennent obligatoirement 2 garc¸ons,•donn´es?•seulement?•au moins?

R ´eponses : 70; 90; 1858.D´emontrer les trois relations : n? i=0C in= 2n(9)n? i=1,iimpairC in=n? i=1,ipairC in= 2n-1(10)bar-hen.net

0. ANALYSE COMBINATOIRE9(11)9.D´evelopper :(P+Q)10

R

120P7Q3+ 45P8Q2+ 10P9Q+P1010.Estimerc50100

R

´eponse :1.011 1029bar-hen.net

Chapitre 1

Premiers

´el´ements de th´eorie des

probabilit

´es

Le but de la th

´eorie des probabilit´es est de d´egager des m´ethodes permettant de faire des pr

´edictions, qualitatives ou quantifi´ees, sur le d´eroulement des ph´enom`enes qui sont r´egis

par le hasard. On va d"abord pr

´eciser et isoler l"objet de notre´etude :

1 Notion d"exp

´erience al´eatoire

Dans chaque cas, le ph

´enom`ene´etudi´e peutˆetre conc¸u comme une "exp´erience" dont le r

´esultat est al´eatoire : lorsqu"on reproduit l"exp´erience (dans des conditions pr´ecis´ees)

le r ´esultat de l"exp´erience varie et semble d´ependre du hasard. On dit qu"il s"agit d"une exp

´erience al´eatoire; on la repr´esentera par la lettreE.Exemple 1.1on jette deux d´es de couleurs diff´erentes : le r´esultat de l"exp´erience est

exprim

´e par la donn´ee des nombres affich´es par chacun des d´es.Exemple 1.2On tire "au hasard" successivement et sans remise, deux boules d"une

urne contenant 10 boules num ´erot´ees de 1`a 10 : le r´esultat peutˆetre exprim´e par la succession des deux num

´eros des boules tir´ees.Exemple 1.3On note la taille d"un individu pris "au hasard" dans une population

donn ´ee, le nombre consiste en un nombre r´eel (l"unit´e de longueur ayant´et´e choisie)

Remarquons que tr

`es souvent le hasard r´esulte, ou bien d"un manque d"informations sur les conditions exp ´erimentales, ou bien de l"impossibilit´e pratique d"exploiter les donn´ees exp

´erimentales pour pr´evoir le r´esultat.Exemple 1.4jeux de cartes, roulettes, jeu de d´es, etc.

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