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Chapitre1.

Analysecom binatoire-D´e nombre ment

Dispositions:arrangeme nt s,permutationsetCombinaison s, avecet sans r´ep´ etition Exercice1: Montrerles propr i´et´essuivantes:

1)?n,p?N

,A p 1 n 1 =(n+1)A pn n p C p 1 n 1 ;C pn =C n -pn etC pn =C p n 1 +C p 1 n 1

3)?a,b?R,(a+b)

n ∑nk=0 C kn a k b n k"formuledu bi nˆomedeNewton»

4)?n,k?N,k n nk=0 1 k C kn x k et2 n nk=0 Ck n Exercice2: Tirage ausort desgroup es delaphasefin aledelac oup edum onde de football.Uneurne contien t32bou lescontenantc hacunele nomd"unpays qualifi´edont8 boules son tdespaystˆ etesdes´ erie.Calculer,danschacun des cas suivants,lenombre detirages possibles d"un groupe de4pays:
1) tiragesim ultan´e(unseulti rage: onnetientpascom ptedel "ordre et
sans remise)des4b oules.
2) tiragesimultan ´ed"uneboulep armilestˆ etesdes´erie etde3b oulesp armi
les nontˆ etesdes´erie .
3) tiragessuc cessifs(ontientcompte de l"ordre)sansremisedes4b oules.

4) tiragessuc cessifsavecremisede s4boules. ******************************Exercice3: Avecu njeude 32c artes,com bien peut-onconstituerdemainsde

6 cartesd iff´erentesform´eesde:

1) 4as et 2roisou 4rois et2as ?

2) 3cartes noires ,de3cartesd ecoeur maiss ansaucun as?
Exercice4: Le responsabledupersonnel d"un eusi nedoitconstit uer,pour assurerunep erman ence,une´equipecompos´eede3surv eillant setde2ouvriers d"entretien.Ildispos ede 4surveillantsetde 5ou vriersd"en tretien.
1) Dec ombiendefa¸consd iff´ erentespeut-ilconstituercette ´equipe?

2) Sachantqu"ildoit´e viterde plac erdanslamˆeme´equip ele surveillant
S1 et l"ouvrierO1 . Entrecomb iend"´equipesdiff´ eremmentconstitu´ees peut-il choisir?
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12 Partie1.Ex ercice sd"application
Exercice5: Combiendesignau xdiff ´erents,c haquesignal´etantc onstitu´e de
8 pavillonsalign´ esverticalement,pe ut-onformer`apartird" unensemblede4
pavillonsrougesindisc ernables ,3pavillonsblancsindis cernable setunpavillon bleu? Exercice6: On consid`ereunjeude52cartes.Un em ain est ungrou pement de 13cartes diff ´erenteschoisiesau hasarddanslejeude52cartes.
1) Combieny-a-t-i ldemainsdistintes ?

2) Combienpeut -onconstituerde mainscomprenantdeu xAs ?
Exercice7: Un investisseura20M.e. `aplace rsurtroisaffairespot en tiel les. Chaquei nvestissementdoitˆetreunnombr eentieren milliersd"euros. Etil existe unengagem entminimum pourchaqueaffaireq uisontre spectivemen t
2,3et4M.e.
Combienya-t-il destrat ´egie sd" investissement:
1) siun inv estissementdoitˆetrefaitsurch aqueaffaire ?

2) sideux de stroisaffairesdoiv entˆetre cou vertes?
Exercice8: Un groupedesix ´etudian tss"appr `etent`as"installerautou rd"une tabler ondedurestau rant universitaire.
1) Dec ombiendemani`e re speuvent-ilss"assoir:
a) siles chaises sontnum ´erot ´ees? b) siles ch aisesnesontpasn um´ erot´ees?
2) Ons upposequ"ilyae nfaitdans cegrou pe autantd" ´etudiants que
d"´etudiantes.Decombien de mani`eresces´etudiant(e)s peuvent-ils s"assoiren respectantl"alternance: a) siles chaises sontnum ´erot ´ees? b) siles ch aisesnesontpasn um´ erot´ees? Exercice9: Une troupedeth ´eˆatreamateur, compos´eede14f emme setde10 hommes,v eutpr´ eparerunerepr´es entation.Dans lapi`ecedur´epertoirechoisie, il ya 10rˆ olesf ´eminins et5masculins.
1) Combienpeut -onimaginerdedistribu tionsdes rˆ oles?

2) Combienya-t-i lde distributionsdans lesquellesj oueMadameDupont,
quie stl"unedes femmes dela troupe? Chapitre1. Analys ecombinatoire -D´enombrement13 Exercice10: Le championnatdeFrancede fo otball,appel´ eLigue1 regroupe vingtc lubs.Chaquematc hopposede ux´e quipes.On proc`ede`ad esmatchs allers etde smatchsre tours.
1) Dec ombiendematchsautot ale stconstitu´ece champion nat?

2) Enc ombiendejourn´ees sed ´eroulecechamp ionnat defootball?
Exercice11: Dansun eFacul t´e,uneassociationd"´etudiants compr end78´e tu- diantesde 1 `ere ann´ee,87´etudi ants de1 `ere ann´ee,41´etud iantes de2 `eme ann´ee,
37 ´etudiantsde2
`eme ann´ee.
1) Dec ombiendemani`e resp eut-onformerlebureau decette association
quidoit comporter 8´etudian t(e )sde1 `ere ann´eeet6de 2 `eme ann´ee.
2) Dec ombiendemani` erespeut-onformer cebureausil"ond´ esireres pe cter
la parit´edessexe sp ourchaqueann´e e? Exercice12: Une associationcompre ndvingtmembresdon tdouze hommeset huitfemmes .Elleveu tformer uncomit´ede cinqpersonnesdans lequeld oivent se trouveraumoinsdeux hommes et de uxfemmes .Calculerlenom brede fa¸consde former cecomit ´edans chacundescassuivan ts:
1) Chaquememb redel"associationac cep tedefairepartiedu comit´e.

2) Deuxd eshommesrefus entd"e nfairepartie.

3) MonsieurDupontetMadam eDuboisref usen tdesi`e gerensemble.
Exercice13: Pourl"arbre deNo¨el d"une´ecole maternelle,chacundes vingt- cinq enfantsd"uneclasse doitchoi sirun cadeauparm itrentetypesde cadeaux possibles. Afin depasser lacommande correspond ante,lamaˆıtr esseenregistrele s choixdes enfants enconstituan tunelisteo `ufigureen fac ed echaquenom le typede cadeausouhait´ e.
1) Combienya- t-ilde listespossibles dansc hacundesde uxcasqu isuiv ent:
cas a)il n"y aqu"un cadeaud echaquetyp eq uisoitdisp onible,aussi deux enfantsnepeuve nt- ilschoisirlemˆemetypede cadeau? cas b)len ombre decadeaux dec haquetypen"estpas lim it´e?
2) Vuducˆ ot´ edufournisseur,quilui nes "int´eressequ"aux quantit ´es ,com-
bienya-t-il de command esposs ibles,danschacu ndesdeuxcasqui pr´ ec`edent?
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12 Partie1.Ex ercice sd"application
Exercice5: Combiendesignau xdiff ´erents,c haquesignal´etantc onstitu´e de
8 pavillonsalign´ esverticalement,pe ut-onformer`apartird" unensemblede4
pavillonsrougesindisc ernables ,3pavillonsblancsindis cernable setunpavillon bleu? Exercice6: On consid`ereunjeude52cartes.Un em ain est ungrou pement de 13cartes diff ´erenteschoisiesau hasarddanslejeude52cartes.
1) Combieny-a-t-i ldemainsdistintes ?

2) Combienpeut -onconstituerde mainscomprenantdeu xAs ?
Exercice7: Un investisseura20M.e. `aplace rsurtroisaffairespot en tiel les. Chaquei nvestissementdoitˆetreunnombr eentieren milliersd"euros. Etil existe unengagem entminimum pourchaqueaffaireq uisontre spectivemen t
2,3et4M.e.
Combienya-t-il destrat ´egie sd" investissement:
1) siun inv estissementdoitˆetrefaitsurch aqueaffaire ?

2) sideux de stroisaffairesdoiv entˆetre cou vertes?
Exercice8: Un groupedesix ´etudian tss"appr `etent`as"installerautou rd"une tabler ondedurestau rant universitaire.
1) Dec ombiendemani`e re speuvent-ilss"assoir:
a) siles chaises sontnum ´erot ´ees? b) siles ch aisesnesontpasn um´ erot´ees?
2) Ons upposequ"ilyae nfaitdans cegrou pe autantd" ´etudiants que
d"´etudiantes.Decombien de mani`eresces´etudiant(e)s peuvent-ils s"assoiren respectantl"alternance: a) siles chaises sontnum ´erot ´ees? b) siles ch aisesnesontpasn um´ erot´ees? Exercice9: Une troupedeth ´eˆatreamateur, compos´eede14f emme setde10 hommes,v eutpr´ eparerunerepr´es entation.Dans lapi`ecedur´epertoirechoisie, il ya 10rˆ olesf ´eminins et5masculins.
1) Combienpeut -onimaginerdedistribu tionsdes rˆ oles?

2) Combienya-t-i lde distributionsdans lesquellesj oueMadameDupont,
quie stl"unedes femmes dela troupe? Chapitre1. Analys ecombinatoire -D´enombrement13 Exercice10: Le championnatdeFrancede fo otball,appel´ eLigue1 regroupe vingtc lubs.Chaquematc hopposede ux´e quipes.On proc`ede`ad esmatchs allers etde smatchsre tours.
1) Dec ombiendematchsautot ale stconstitu´ece champion nat?

2) Enc ombiendejourn´ees sed ´eroulecechamp ionnat defootball?
Exercice11: Dansun eFacul t´e,uneassociationd"´etudiants compr end78´e tu- diantesde 1 `ere ann´ee,87´etudi ants de1 `ere ann´ee,41´etud iantes de2 `eme ann´ee,
37 ´etudiantsde2
`eme ann´ee.
1) Dec ombiendemani`e resp eut-onformerlebureau decette association
quidoit comporter 8´etudian t(e )sde1 `ere ann´eeet6de 2 `eme ann´ee.
2) Dec ombiendemani` erespeut-onformer cebureausil"ond´ esireres pe cter
la parit´edessexe sp ourchaqueann´e e? Exercice12: Une associationcompre ndvingtmembresdon tdouze hommeset huitfemmes .Elleveu tformer uncomit´ede cinqpersonnesdans lequeld oivent se trouveraumoinsdeux hommes et de uxfemmes .Calculerlenom brede fa¸consde former cecomit ´edans chacundescassuivan ts:
1) Chaquememb redel"associationac cep tedefairepartiedu comit´e.

2) Deuxd eshommesrefus entd"e nfairepartie.

3) MonsieurDupontetMadam eDuboisref usen tdesi`e gerensemble.
Exercice13: Pourl"arbre deNo¨el d"une´ecole maternelle,chacundes vingt- cinq enfantsd"uneclasse doitchoi sirun cadeauparm itrentetypesde cadeaux possibles. Afin depasser lacommande correspond ante,lamaˆıtr esseenregistrele s choixdes enfants enconstituan tunelisteo `ufigureen fac ed echaquenom le typede cadeausouhait´ e.
1) Combienya- t-ilde listespossibles dansc hacundesde uxcasqu isuiv ent:
cas a)il n"y aqu"un cadeaud echaquetyp eq uisoitdisp onible,aussi deux enfantsnepeuve nt- ilschoisirlemˆemetypede cadeau? cas b)len ombre decadeaux dec haquetypen"estpas lim it´e?
2) Vuducˆ ot´ edufournisseur,quilui nes "int´eressequ"aux quantit ´es ,com-
bienya-t-il de command esposs ibles,danschacu ndesdeuxcasqui pr´ ec`edent?
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14 Partie1.Ex ercice sd"application
Exercice14: Chacun desquatreb oulangersd"u nquartierdoitchois irunjour hebdomadairedefermeture quilui conviendrait.
1) Decom biendefa¸consd iff´ erentespeuven taprioris"´enoncerlesc hoix
possiblesdes quatre boulangers? Certainsbou langersayantc hoisilemˆemejour defermeture,ceq uin epeut ˆetreacce pt´epourlequarti er,onleurdemand ede modifier´eventuellemen tle ur choixafi nquel esquatre jourschoisissoient diff´e rents.
2) Quelestalor sapriori lenomb rede fa¸consdiff´ eren tesd"´enoncer lesc hoix
possiblesdes quatre boulangers?
3) Ons"ape r¸coitqu"aucunboulan gerneveutfermerlesame di,pasplus
quel edimanche. Quelestalors lenombrede fa¸cons diff´ er entesd"´en oncer les choixp ossiblesdesquatreboulangers ? Exercice15: Une serrure´electroniqued"uncoffred"unecham bred"hˆ otel s"ouvre et ser efermeensaisissantunc ode secrets urun claviernum´e riquesurlequel on doitcomp oserunecombinaisonalph anu m´eriquecod´ee .Ilestcompos´ede
9 touches:3 lettres{A,B,C}et 6c hiffres{1,2,3,4,5,6}. Leco desecretd oit
comporterune lettre suivied"unnombrede3 chiffres. 123
pit re1
1) Combiendeco desd "entr´ eediff´erentspeu t-onformer?

2) Combienya-t-il de codes sanslech iffre1?

3) Combienya-t-il de codes comportantau moinsunef oislechiffr e1 ?

4) Combienya-t-il de codes comportantdes chiffr esdistincts?

5) Combienya-t-ilde codes comportant aumoins deux chiffresidentiques?

6) Combienya-t-il de codes comportanttrois chiffreside ntiques?

Chapitre2.

G´en´eralit´essurlesp robabilit´es
Terminologieetnot ation s,exp´erience,tribu, espaceprobabilis´e. Calcul despr obabilit´es,Probabilit´esc onditionnelles,th´e or`emesdes probabilit´estotaleset descauses(Bayes),ind´ep endan ce en probabilit´e Exercice1: SoitΩun ensemble.AetBd ´e signe nt deuxsous-ensemblesnon videsdeΩ. Donnerun einter pr´etationalg´ebriquedes´ ev´enementssuivants, donton fe ralesdiagrammes deVenn:
1) Aes tr´e alis´emaispasB.

2) Aou Bse r´ eali sentmaispasenmˆemetemps.

3) Aou non Bser´ ealisent.

4) niA niB nese r´ ealisent.
Exercice2: SoientA,Bet Ctr oissous- ensemb les nonvides del"ensemble fondamentalΩetAle compl´ementairedeAdansΩ. Montrerles´egal it´ es suivantes:
1)(A?B?C)=A∩B∩C2) (A?B)∩C=A∩B∩C
5) ( A-B)-C=A-(B?C) 6)A?(B-[A∩B])?(C-[A∩C])=A?B?C Exercice3: SoientAetB deuxs ous -ensem ble snonvidesdel"ensemblefon- damentalΩ, telsque :P(A)= 1 4 ,P(B)= 1 3 etP(A?B)= 23
60

1) Calculerles probabili t´essuivantes:
P A B P
A∩B)/(A?B)] ,P(A∩B/B).

2) Les´ ev´enementsAetBsont-ilsin compat ibles? Sont- ilsind´ependantse n
probabilit´e?
Exercice4: Une usinecomporte3 machinesM
1 ,M 2 etM 3 . Lespannes de cesm achinessontind´ ependantes etdeprobabilit´esrespectives5%,3%et1%. L"usineests topp´ee d`esquel"uneaumoinsdes machinestombe en panne.
1) Calculerla probab ilit´equel"usinesoit stopp´ ee.

2) Sachantquel"us ine eststopp´ee, calculerla probabilit´epourquelama-
chineM 1 soit tomb´eeenpanne.
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14 Partie1.Ex ercice sd"application
Exercice14: Chacun desquatreb oulangersd"u nquartierdoitchois irunjour hebdomadairedefermeture quilui conviendrait.
1) Decom biendefa¸consd iff´ erentespeuven taprioris"´enoncerlesc hoix
possiblesdes quatre boulangers? Certainsbou langersayantc hoisilemˆemejour defermeture,ceq uin epeut ˆetreacce pt´epourlequarti er,onleurdemand ede modifier´eventuellemen tle ur choixafi nquel esquatre jourschoisissoient diff´e rents.
2) Quelestalor sapriori lenomb rede fa¸consdiff´ eren tesd"´enoncer lesc hoix
possiblesdes quatre boulangers?
3) Ons"ape r¸coitqu"aucunboulan gerneveutfermerlesame di,pasplus
quel edimanche. Quelestalors lenombrede fa¸cons diff´ er entesd"´en oncer les choixp ossiblesdesquatreboulangers ? Exercice15: Une serrure´electroniqued"uncoffred"unech ambred"h ˆote ls"ouvre et ser efermeensaisissantunc ode secrets urun claviernum´e riquesurlequel on doitcomp oserunecombinaisonalph anu m´eriquecod´ee .Ilestcompos´ede
9 touches:3 lettres{A,B,C}et 6c hiffres{1,2,3,4,5,6}. Leco desecretd oit
comporterune lettre suivied"unnombrede3 chiffres. 123
456
ABC
1) Combiendeco desd "entr´ eediff´erentspeu t-onformer?

2) Combienya-t-il de codes sanslech iffre1?

3) Combienya-t-il de codes comportantau moinsunef oislechiffr e1 ?

4) Combienya-t-il de codes comportantdes chiffr esdistincts?

5) Combienya-t-ilde codes comportant aumoins deux chiffresidentiques?

6) Combienya-t-il de codes comportanttrois chiffreside ntiques?

Chapitre2.

G´en´eralit´essurlesp robabilit´es
Terminologieetnot ation s,exp´erience,tribu, espaceprobabilis´e. Calcul despr obabilit´es,Probabilit´esc onditionnelles,th´e or`emesdes probabilit´estotaleset descauses(Bayes),ind´ep endan ce en probabilit´e Exercice1: SoitΩun ensemble.AetBd ´e signe nt deuxsous-ensemblesnon videsdeΩ. Donnerun einter pr´etationalg´ebriquedes´ ev´enementssuivants, donton fe ralesdiagrammes deVenn:
1) Aes tr´e alis´emaispasB.

2) Aou Bse r´ eali sentmaispasenmˆemetemps.

3) Aou non Bser´ ealisent.

4) niA niB nese r´ ealisent.
Exercice2: SoientA,Bet Ctr oissous- ensemb les nonvides del"ensemble fondamentalΩet Ale compl´ementairedeAdansΩ. Montrerles´egal it´ es suivantes: 1) A?B?C)=A∩B∩C2) (A?B)∩C=A∩B∩C 3) 5) ( A-B)-C=A-(B?C) 6)A?(B-[A∩B])?(C-[A∩C])=A?B?C Exercice3: SoientAetB deuxs ous -ensem ble snonvidesdel"ensemblefon- damentalΩ, telsque :P(A)= 1 4 ,P(B)= 1 3 etP(A?B)= 23
60

1) Calculerles probabili t´essuivantes:
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[PDF] [PDF] Chapitre 1 Analyse combinatoire - Dénombrement

Chapitre1.

Analysecom binatoire-D´e nombre ment

1)?n,p?N

3)?a,b?R,(a+b)

1) tiragesim ultan´e(unseulti rage: onnetientpascom ptedel "ordre et

2) tiragesimultan ´ed"uneboulep armilestˆ etesdes´erie etde3b oulesp armi

3) tiragessuc cessifs(ontientcompte de l"ordre)sansremisedes4b oules.

4) tiragessuc cessifsavecremisede s4boules. ******************************Exercice3: Avecu njeude 32c artes,com bien peut-onconstituerdemainsde

6 cartesd iff´erentesform´eesde:

1) 4as et 2roisou 4rois et2as ?

2) 3cartes noires ,de3cartesd ecoeur maiss ansaucun as?

1) Dec ombiendefa¸consd iff´ erentespeut-ilconstituercette ´equipe?

2) Sachantqu"ildoit´e viterde plac erdanslamˆeme´equip ele surveillant

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12 Partie1.Ex ercice sd"application

8 pavillonsalign´ esverticalement,pe ut-onformer`apartird" unensemblede4

1) Combieny-a-t-i ldemainsdistintes ?

2) Combienpeut -onconstituerde mainscomprenantdeu xAs ?

2,3et4M.e.

1) siun inv estissementdoitˆetrefaitsurch aqueaffaire ?

2) sideux de stroisaffairesdoiv entˆetre cou vertes?

1) Dec ombiendemani`e re speuvent-ilss"assoir:

2) Ons upposequ"ilyae nfaitdans cegrou pe autantd" ´etudiants que

1) Combienpeut -onimaginerdedistribu tionsdes rˆ oles?

2) Combienya-t-i lde distributionsdans lesquellesj oueMadameDupont,

1) Dec ombiendematchsautot ale stconstitu´ece champion nat?

2) Enc ombiendejourn´ees sed ´eroulecechamp ionnat defootball?

37 ´etudiantsde2

1) Dec ombiendemani`e resp eut-onformerlebureau decette association

2) Dec ombiendemani` erespeut-onformer cebureausil"ond´ esireres pe cter

1) Chaquememb redel"associationac cep tedefairepartiedu comit´e.

2) Deuxd eshommesrefus entd"e nfairepartie.

3) MonsieurDupontetMadam eDuboisref usen tdesi`e gerensemble.

1) Combienya- t-ilde listespossibles dansc hacundesde uxcasqu isuiv ent:

2) Vuducˆ ot´ edufournisseur,quilui nes "int´eressequ"aux quantit ´es ,com-

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12 Partie1.Ex ercice sd"application

8 pavillonsalign´ esverticalement,pe ut-onformer`apartird" unensemblede4

1) Combieny-a-t-i ldemainsdistintes ?

2) Combienpeut -onconstituerde mainscomprenantdeu xAs ?

2,3et4M.e.

1) siun inv estissementdoitˆetrefaitsurch aqueaffaire ?

2) sideux de stroisaffairesdoiv entˆetre cou vertes?

1) Dec ombiendemani`e re speuvent-ilss"assoir:

2) Ons upposequ"ilyae nfaitdans cegrou pe autantd" ´etudiants que

1) Combienpeut -onimaginerdedistribu tionsdes rˆ oles?

2) Combienya-t-i lde distributionsdans lesquellesj oueMadameDupont,

1) Dec ombiendematchsautot ale stconstitu´ece champion nat?

2) Enc ombiendejourn´ees sed ´eroulecechamp ionnat defootball?

37 ´etudiantsde2

1) Dec ombiendemani`e resp eut-onformerlebureau decette association

2) Dec ombiendemani` erespeut-onformer cebureausil"ond´ esireres pe cter

1) Chaquememb redel"associationac cep tedefairepartiedu comit´e.

2) Deuxd eshommesrefus entd"e nfairepartie.

3) MonsieurDupontetMadam eDuboisref usen tdesi`e gerensemble.

1) Combienya- t-ilde listespossibles dansc hacundesde uxcasqu isuiv ent:

2) Vuducˆ ot´ edufournisseur,quilui nes "int´eressequ"aux quantit ´es ,com-

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14 Partie1.Ex ercice sd"application

1) Decom biendefa¸consd iff´ erentespeuven taprioris"´enoncerlesc hoix

2) Quelestalor sapriori lenomb rede fa¸consdiff´ eren tesd"´enoncer lesc hoix

3) Ons"ape r¸coitqu"aucunboulan gerneveutfermerlesame di,pasplus

9 touches:3 lettres{A,B,C}et 6c hiffres{1,2,3,4,5,6}. Leco desecretd oit

1) Combiendeco desd "entr´ eediff´erentspeu t-onformer?

2) Combienya-t-il de codes sanslech iffre1?

3) Combienya-t-il de codes comportantau moinsunef oislechiffr e1 ?

4) Combienya-t-il de codes comportantdes chiffr esdistincts?

5) Combienya-t-ilde codes comportant aumoins deux chiffresidentiques?

6) Combienya-t-il de codes comportanttrois chiffreside ntiques?

Chapitre2.

G´en´eralit´essurlesp robabilit´es

1) Aes tr´e alis´emaispasB.

2) Aou Bse r´ eali sentmaispasenmˆemetemps.

3) Aou non Bser´ ealisent.

4) niA niB nese r´ ealisent.

1)(A?B?C)=A∩B∩C2) (A?B)∩C=A∩B∩C

1) Calculerles probabili t´essuivantes:

A∩B)/(A?B)] ,P(A∩B/B).

2) Les´ ev´enementsAetBsont-ilsin compat ibles? Sont- ilsind´ependantse n