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IUT Aix-en-ProvenceAnnee 2012-2013

DUT Informatique TD Probabilitesfeuille n6Variables aleatoires continues Exercice 1SoitXune variable aleatoire dont la fonction de repartition est donnee par F X=8 :0 six <0 x2 six2[0;1[

1 six1

1. Tracer le graphe deFX. Est ce queXest une variable discrete? Une variable a densite?

2. Donner les valeurs deP(X=12

),P(X= 1),P(34 < X1) etP(34 X1).Y

Exercice 2Une entreprise d'autocars dessert une region montagneuse. En chemin, les vehicules peuvent ^etre

bloques par des incidents exterieurs comme des chutes de pierres, des troupeaux sur la route, etc. Un autocar

part de son entrep^ot. On noteDla variable aleatoire qui mesure la distance en kilometres que l'autocar va

parcourir jusqu'a ce qu'il survienne un incident. On admet que la variableDsuit une loi de densite f(x) =(

0 six <0;

Ae x82 six0:

1. Determiner la constanteApour que la fonctionfsoit une densite de probabilite.

2. Calculer la probabilite pour que la distance parcourue sans incident soit comprise entre 50 et 100 km, soit

superieure a 25 km.

3. Sachant que l'autocar a deja parcouru 350 km sans incident, quelle est la probabilite qu'il n'en subisse

pas non plus au cours des 25 prochains km? Comparez avec le resultat precedent.

4. On veut determiner la distance moyenne parcourue sans incident.

A l'aide d'une integration par partie,

calculer l'esperenceE(D) =R+1

1xf(x)dx.

5. L'entreprise possedenautocars. Les distances parcourues par chacun des autocars entre l'entrep^ot et

le lieu ou survient un incident sont des variables aleatoires deux a deux independantes et de m^eme loi

exponentielle donne par la densitef. On noteXdla variable aleatoire egale au nombre d'autocars n'ayant

subi aucun incident apres avoir parcourudkm. Montrer queXdsuit une loi binomiale et determinez les parametres. En deduire le nombre moyen d'autocars n'ayant subi aucun incident apres avoir parcourud km.Y

Exercice 3On considere deux variables aleatoiresT1etT2prenant pour valeur les durees de vie en heure de

deux composants de type A et B. On suppose que ces deux composants suivent respectivement les loisExp(1)

etExp(2) avec1= 0;0011 et2= 0;0008. Une variable aleatoireXsuit une loi exponentielleExp() si elle a pour densite : f(x) =(

0 six <0;

e xsix0:

1. Quelle la duree de vie moyenne des composants de type A et B.

2. Quelle est la probabilite qu'un composant de type A soit encore en etat de marche apres 1000 heures de

fonctionnement? M^eme question pour un composant de type B.

3. Determiner a partir de combien d'heures 70% des composants de type A auront eu leur premiere defaillance.

4. Pour essayer d'ameliorer la abilite, on associe deux composants de type A : quelle est la probabilite qu'un

tel systeme connaisse sa premiere panne avant 1000 heures de fonctionnement? (On suppose que les deux

composants fonctionnent independamment l'un de l'autre)

5. On constitue un systeme associant en serie un composant de type A et un composant de type B. Quelle

est la probabilite que ce systeme fonctionne encore au-dela de 1000 heures? Y 1

Exercice 4Le delai de livraison d'une piece suit une loi normale de moyenne 30 jours et d'ecart-type 5 jours.

1. Quelle est la probabilite pour que le delai soit inferieur a 38 jours? Compris entre 22 et 38 jours?

2. M^eme question si la moyenne passe a 32 jours avec un ecart-type de 8 jours.

Y

Exercice 5Une usine assure le conditionnement d'un tres grand nombre de bouteilles d'un certain type. On

designe parXla variable aleatoire qui, a toute bouteille prise au hasard, associe sa contenance exprimee en

litres. On admet que lorsque la machine est bien regleeXsuit la loi normale de moyenne 1Let d'ecart type

0;01L.

1. Quelle est la probabilite qu'une bouteille, prise au hasard, contienne moins de 0;98L

2. La capacite maximale d'une bouteille est de 1;025L; quelle est la probabilite qu'une bouteille, prise au

hasard, contienne plus de 1;025L?Y

Exercice 6On suppose qu'avec une certaine balance de laboratoire, l'erreur (en g) sur la pesee d'un corps est

une variable aleatoire suivant la loi normale de parametres= 0 et= 0;08. SoitXla variable aleatoire egale

au resultat de la pesee d'un corps de masse exacte 72;37g.

1. Quelle est la probabiliteP(72;3< X <72;5)?

2. Determiner un intervalle centreIsur 72;37 tel queP(X2I) = 0;98.Y

Exercice 7La taille d'une femme francaise suit une loi normale de moyenne 167cm et d'ecart-type 5cm.

1. Quelle est la proportion de femmes ayant une taille superieure a 1m70?

2. Quelle est la proportion de femmes ayant une taille inferieure a 1m60?

3. Quelle est la proportion de femmes ayant une taille comprise entre 1m63 et 1m69?

4. Pour une place de pilote d'avion, 50 femmes ont postule et 23 ont ete refusees parce qu'elles etaient trop

grandes et 2 ont ete refusees parce qu'elles etaient trop petites.

(a) Calculer le pourcentage de femmes refusees parce qu'elles etaient trop grandes et celui des femmes

refusees parce qu'elles etaient trop petites.

(b) En supposant que l'on obtiendrait des resultats identiques (en proportion) en considerant l'ensemble

des femmes francaises, donner la taille minimale et la taille maximale imposees pour ^etre pilote d'avion.Y

Exercice 8Dans une revue, on peut lire : \On estime a 60;5% le pourcentage de francais partant au moins une

fois en vacances dans le courant de l'annee." On considere 100 personnes prises au hasard, avec remise, parmi la

population francaise. On designe parXla variable aleatoire qui a chaque prelevement de 100 personnes associe

le nombre de celles qui ne partent pas en vacances dans le courant de l'annee.

1. Justier queXsuit une loi binomiale, on donnera son esperance et l'ecart type.

2. Calculer la probabilite de l'evenement \X= 45".

3. On decide d'approcherXpar une loi normale noteY. Donner les parametres de cette loi normale et

calculerP(44;5Y45;5).

4. Determiner la probabilite qu'au plus 30 de ces 100 personnes ne partent pas en vacances dans le courant

de l'annee. Y

Exercice 9Au marche de Brive-la-Gaillarde, on a pese les bottes d'oignons : sur 2000 bottes, 120 pesent moins

de 900 grammes et 112 pesent plus de 1;150 kilogrammes. En admettant que la variable aleatoireXegale a la

masse en kilogramme d'une botte d'oignons suit une loi normale, donner une estimation de ses parametres.Y

Exercice 10Albert et Bernard decident de fairenparties de pile ou face, avec un enjeu de 1epar partie.

Chacun d'eux dispose de la somme de 20e. Le reglement aura lieu a la n de laniemepartie.

1. SoitXle nombre de parties que gagnera Albert. Quelle double inegalite doit satisfaireXpour que le

reglement puisse s'eectuer sans dette de l'un ou de l'autre joueur (c'est a dire que le perdant peut regler

immediatement le gagnant)?

2. Determiner une valeurnpour que la probabilite d'un reglement sans dette soit au moins egale a 0;68.

Y 2 Exercice 11La longueur des tiges de chrysanthemes en eurs coupees intervient dans le classement par

categorie. Pour simplier, on supposera par la suite que cette longueur sera le seul critere de classement.

Un chrysantheme sera classe en categorie extra si la longueur de sa tige est superieure ou egale a 80cm.

Au 1 erdecembre, on evalue la production d'une certaine serre a 6000 chrysanthemes pour le mois. A cette

epoque, les chrysanthemes classes en categorie extra, sont payes au producteur 26eles dix, et les autres 16e

les dix seulement. La qualite de la production ayant ete etudiee sur un echantillon de 100 tiges coupees de

chrysanthemes, on en conclut que la longueur des tiges coupees est une variable aleatoire qui suit une loi

normale de moyenne 92cm et d'ecart-type 8cm.

1. Quelle est la probabilite pour qu'une

eur soit classee en categorie extra?

2. Quelle est l'esperance mathematique du nombre de

eurs qui seront classees en categorie extra sur les 6000
eurs de la production de decembre?

3. En deduire l'esperance de la recette pour le total de la production de la serre pendant ce mois.

Y

Exercice 12Des ornithologues tentent d'estimer le nombre N d'oiseaux presents dans une reserve naturelle.

Pour cela, ils commencent par capturerqoiseaux, auxquels ils accrochent un petit bracelet autour de la patte,

puis il les rel^achent. Par la suite ils procedent de la maniere suivante. Ils capturent des oiseaux au hasard dans

la reserve, et notentXi= 1 si lei-eme oiseau capture possede un bracelet, etXi= 0 sinon. Ils rel^achent ensuite

l'oiseau.

1. Par quelle loi modeliseriez-vous la variableXi? On donneraE(Xi) et(Xi).

2. On suppose queq= 100 et que les ornithologues ont capturen= 500 oiseaux supplementaires parmi

lesquels ils ont trouve 12 oiseaux portant un bracelet. On noteX n=X1++Xnn le proportion d'oiseaux bagues parmi lesncaptures. Par quelle loi peut-on approximerX n? En deduire un intervalle pour la valeurNavec une erreur de 5%. Y Exercice 13Une machine automatique fabrique des pieces.

1. On choisit au hasard un lot de 10000 pieces et on mesure les longueurs en mm de ces pieces. On obtient

le tableau suivant :longueur(mm)[244;246[[246;248[[248;250[[250;252[[252;254[[254;256[

Eectif1131318351035301390139

Calculer au 1=100eme pres, la moyenne et l'ecart-type de ce lot.

2. On considerera dans la suite que la distribution de ce lot est normale, de moyenne= 250 et d'ecart-type

= 1;94. On examine un echantillon de 36 pieces de ce lot. Quelle est la probabilite que la moyenne de

cet echantillon soit exterieure a l'intervalle [249;1;250;9]?

3. On fabrique maintenant un nouveau lot de pieces. On regle la machine pour que la longueur des pieces

suive une loi normale de moyenne 400, l'ecart-type restant 1;94. La longueur d'une piece est acceptable si

elle est comprise entre 397 et 403mm. Quel est le pourcentage de pieces dont la longueur est acceptable?

Y Exercice 141. On lance un denfois et on considere la variable aleatoireNcorrespondant au nombre de six obtenu. A partir de quelle valeur denaura-t-on 9 chances sur 10 d'avoirNn 16 <0;01?

2. On lance 3600 fois un de. Evaluer la probabilite que le nombre d'apparitions du 1 soit compris entre 540

et 660. Y

Exercice 15Avant le second tour d'une election, opposant les candidats D et G, un institut de sondage

interroge au hasard 1000 personnes dans la rue. On notepla proportion d'electeurs decides a voter pour G dans

la population totale et on suppose l'echantillon de personnes interrogees representatif. Dans l'echantillon sonde,

cette proportion est egale a 0;54.

1. Peut on proposer un intervalle de conance pour p avec un risque d'erreur de 5%.

2. Combien de personnes faut-il interroger pour donner une fourchette a 1% avec un seuil de 95%?

Y 3 Fonction de repartition(t)de la Loi Normale Centree ReduiteNor(0; 1).(t) =P(Xt) =Z t

11p2ex22

dxet (t) = 1(t):t0:000:010:020:030:040:050:060:070:080:090:00:50000:50400:50800:51200:51600:51990:52390:52790:53190:53590:10:53980:54380:54780:55170:55570:55960:56360:56750:57140:57530:20:57930:58320:58710:59100:59480:59870:60260:60640:61030:61410:30:61790:62170:62550:62930:63310:63680:64060:64430:64800:65170:40:65540:65910:66280:66640:67000:67360:67720:68080:68440:68790:50:69150:69500:69850:70190:70540:70880:71230:71570:71900:72240:60:72570:72910:73240:73570:73890:74220:74540:74860:75170:75490:70:75800:76110:76420:76730:77040:77340:77640:77940:78230:78520:80:78810:79100:79390:79670:79950:80230:80510:80780:81060:81330:90:81590:81860:82120:82380:82640:82890:83150:83400:83650:83891:00:84130:84380:84610:84850:85080:85310:85540:85770:85990:86211:10:86430:86650:86860:87080:87290:87490:87700:87900:88100:88301:20:88490:88690:88880:89070:89250:89440:89620:89800:89970:90151:30:90320:90490:90660:90820:90990:91150:91310:91470:91620:91771:40:91920:92070:92220:92360:92510:92650:92790:92920:93060:93191:50:93320:93450:93570:93700:93820:93940:94060:94180:94290:94411:60:94520:94630:94740:94840:94950:95050:95150:95250:95350:95451:70:95540:95640:95730:95820:95910:95990:96080:96160:96250:96331:80:96410:96490:96560:96640:96710:96780:96860:96930:96990:97061:90:97130:97190:97260:97320:97380:97440:97500:97560:97610:97672:00:97720:97780:97830:97880:97930:97980:98030:98080:98120:98172:10:98210:98260:98300:98340:98380:98420:98460:98500:98540:98572:20:98610:98640:98680:98710:98750:98780:98810:98840:98870:98902:30:98930:98960:98980:99010:99040:99060:99090:99110:99130:99162:40:99180:99200:99220:99250:99270:99290:99310:99320:99340:99362:50:99380:99400:99410:99430:99450:99460:99480:99490:99510:99522:60:99530:99550:99560:99570:99590:99600:99610:99620:99630:99642:70:99650:99660:99670:99680:99690:99700:99710:99720:99730:99742:80:99740:99750:99760:99770:99770:99780:99790:99790:99800:99812:90:99810:99820:99820:99830:99840:99840:99850:99850:99860:99863:00:99870:99870:99870:99880:99880:99890:99890:99890:99900:99903:10:99900:99910:99910:99910:99920:99920:99920:99920:99930:99933:20:99930:99930:99940:99940:99940:99940:99940:99950:99950:99953:30:99950:99950:99950:99960:99960:99960:99960:99960:99960:99973:40:99970:99970:99970:99970:99970:99970:99970:99970:99970:99983:50:99980:99980:99980:99980:99980:99980:99980:99980:99980:99983:60:99980:99980:99990:99990:99990:99990:99990:99990:99990:99993:70:99990:99990:99990:99990:99990:99990:99990:99990:99990:99993:80:99990:99990:99990:99990:99990:99990:99990:99990:99990:99993:91:00001:00001:00001:00001:00001:00001:00001:00001:00001:00004

IUT Aix-en-ProvenceAnnee 2012-2013

DUT Informatique TD Probabilitesfeuille n6Variables aleatoires continues (Methodes) ZComment determiner la loi de probabilite d'une variable aleatoire continue?

On suppose donnee une fonctionfdenie surR. Verier quefest bien une densite de probabilite, c'est-a-dire,

s'assurer que :

1.8x2Rf(x)0,

2.fest continue par morceaux surR,

3.R+1

1f(x)dx= 1.

On suppose donnee la fonction de repartitionFde la variable aleatoireX. Pour determiner sa densite de

probabilitef:

1. Determiner les intervallesIsur lesquelsFest derivable.

2. Pour toutx2I,f(x) =F0(x).

ZComment determiner la fonction de repartition d'une variable aleatoire continue? On suppose connuefla densite de probabilite deX. Pour toutx2R, on a :

F(x) =P(Xx) =P(X < x) =Z

x 1 f(t)dt: ZComment calculer l'esperance, l'ecart-type d'une variable aleatoire continue?

On suppose connuefla densite de probabilite deX.

Pour l'esperance mathematique :

1. Utiliser la formuleE(X) =R+1

1xf(x)dx.

Pour l'ecart-type :

2. CalculerE(X2) =R+1

1x2f(x)dx

3. Calculer la variance par la formuleV(X) =E(X2)E(X)2.

4. Calculer enn(X) =pV(X).

ZComment calculer la probabilite d'une loi normale? SoitXune loi normaleNor(;). On cherche a calculerP(x1Xx2).

1. Il faut se ramener systematiquement a la loi normale centree reduiteNor(0;1) par le changement de

variableU=X . On peut alors ecrire :

P(x1Xx2) =Px1

X x2 =P(u1Xu2) = (u2)(u1) en posantu1=x1 etu2=x2 e ou est la fonction de repartition deNor(0;1).

2. Les calculs sont ensuite eectues avec la table qui fournit les valeurs, pouru0, deP(Uu) = (u).

Pouru <0, on utilise la formule :

P(U < u) =P(Uu) = 1P(U u) = 1(u):

Remarque :Pour calculerP(Uu), on utilise la formuleP(Uu) = 1P(U < u) = 1(u). 1 ZQuand utiliser une loi Normale pour approcher une loi binomiale? Pourntres grand (n30),ppas trop proche de 0 ou 1, etnp(1p)>3, la loi normale constitue une bonne

approximation de la loi binomiale. C'est-a-dire que, pour les calculs de probabilite, on peut remplacer la loi

Bin(n;p) parNor

np;pnp(1p) ZQuand utiliser une loi Normal pour approcher une loi de Poisson?

Pour20, la loi normale constitue une bonne approximation de la loi de Poisson. C'est-a-dire que, pour les

calculs de probabilite, on peut remplacer la loiPoi() parNor(;p). ZQuand utiliser une loi Normal pour approcher une moyenne de variable aleatoire? SoitX1,X2, ... ,Xndes variables aleatoires independantes de m^eme loi et d'esperanceE(X) =E(X1) = =E(Xn)<+1et d'ecart type(X) =(X1) ==(Xn). On considere la moyenne de ces variables aleatoiresX n=X1+:::Xnn . Pournsusamment grand (n30), la loi deX npeut ^etre approche par une loi normaleNor

E(X);(X)pn

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