Vibrations & Ondes

Module : Vibrations et Ondes Ce document est un cours détaillé avec des exercices corrigés et des propositions d'exercices à résoudre.

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Je souhaite que ce recueil d'exercices corrigés et exercices supplémentaires en vibrations puisse aider de manière efficace la majorité d'étudiants.

VIBRATIONS ET ONDES MECANIQUES

VIBRATIONS ET ONDES MECANIQUES. Université des Sciences et de la Technologie. Houari Boumediene. Faculté de Physique. Cours & Exercices.

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Vibrations & Ondes - Vibrations des systèmes continus

UPMC - Master Sciences de l'ingénieur. Septembre 2014. UPMC - Master SdI. Vibrations & Ondes. Vibrations des syst`emes continus sept. 14.

GeneralitesEq. des Vibs L Vibs L lib resEq. des Vibs T Vibs T lib resVibs L fo rceesVibs T fo rceesM ethodesapp rocheesSyst emes2D

Vibrations des systemes continus

UPMC - Master Sciences de l'ingenieur

Septembre 2014

UPMC - Master SdIVibrations & OndesVibrations des systemes continussept. 141 / 112

G´en´eralit´esEq. des Vibs L Vibs L libres Eq. des Vibs T Vibs T libres Vibs L forc´ees Vibs T forc´ees M´ethodes approch´ees Syst`emes 2D

G´en´eralit´es

Vibrations dans les milieux ´elastiques 1D

M1 (TC)→vibrations des structures `a 1 dimension : x

Δff

ff ff ff ff ff ff

Vibrations transverses des cordes

Vibrations longitudinales des poutres

Vibrations de torsion des arbres

Vibrations de flexion des poutres

Pourquoi ´etudier ces syst`emes simples?

Ils mod´elisent simplement le comportement de nombreuses structures Ils permettent de comprendre les structures plus complexes Ils sont les constituants ´el´ementaires des structures en ´el´ements nis UPMC - Master SdIVibrations & OndesVibrations des syst`emes continussept. 143 / 112

G´en´eralit´esEq. des Vibs L Vibs L libres Eq. des Vibs T Vibs T libres Vibs L forc´ees Vibs T forc´ees M´ethodes approch´ees Syst`emes 2D

G´en´eralit´es

Diff´erents types d"´equation du mouvement

Limites de l"´etude

G´eometrie :

Poutre rectilignes,

Longueur nieL

Section constanteS?LMat´eriau :

Homog`ene,

Lin´eaire isotrope

Non dissipatif

Deux types d"´equation diff´erentielle du mouvement

Vibrations longitudinales

Vibrations de Torsion

Vibrations des Cordes

1meme ´equation d"ordre 2 :

l"´Equation de d"Alembert 2 f(x,t) ∂x 2 -1 c 2L 2 f(x,t) ∂t 2 =g(x,t)

Vibrations de flexion´Equation d"ordre 4

4 f(x,t) ∂x 4 -1 c 2F 2 f(x,t) ∂t 2 =g(x,t) UPMC - Master SdIVibrations & OndesVibrations des syst`emes continussept. 144 / 112

G´en´eralit´esEq. des Vibs LVibs L libres Eq. des Vibs T Vibs T libres Vibs L forc´ees Vibs T forc´ees M´ethodes approch´ees Syst`emes 2D

Vibrations longitudinales

Dimensions - Param`etres - Hypoth`eses

Hypoth`eses

Poutre droite : LongueurL(?e,l), Section constanteS Mat´eriau isotrope :ρ,E,ν, non dissipatif

Distribution de forcesf(x,t)

→Petites perturbations (gravit´e non prise en compte) Grandeur ´etudi´ee : d´eplacement longitudinal localu(x,t) M´ethodespour ´ecrire et r´esoudre les ´equations du mouvement : M´ethode localeavec le Principe fondamental de la dynamique (PFD) : adapt´ee aux structures simples. M´ethode ´energ´etique ou variationnelle : Th´eor`eme de Hamilton + variations ´energ´etiques

Inclue les conditions aux limites

Adapt´ee aux structures complexes.

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G´en´eralit´esEq. des Vibs LVibs L libres Eq. des Vibs T Vibs T libres Vibs L forc´ees Vibs T forc´ees M´ethodes approch´ees Syst`emes 2D

Vibrations longitudinales

´Equation du mouvement -´Equilibre Local (1) On ´ecrit l"´equilibre dynamique d"une section de longueurdx:

Masse :ρSdx

D´eplacement :u(x,t)

Acc´el´eration :

2 u ∂t 2

Force `agauche:-F

Force `a droite :F+

∂F ∂x dx

Force ext´erieure f(x,t)

On a donc

ρSdx∂

2 u ∂t 2 =-F+F+∂F ∂xdx+f(x,t)dx UPMC - Master SdIVibrations & OndesVibrations des syst`emes continussept. 146 / 112

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Vibrations longitudinales

´Equation du mouvement -´Equilibre Local (2)

ρSdx∂

2 u ∂t 2 =-F+F+∂F ∂xdx+f(x,t)dx ?ρSdx∂ 2 u ∂t 2 =∂F ∂xdx+f(x,t)dx ?ρS∂ 2 u ∂t 2 =∂F ∂x+f(x,t) UPMC - Master SdIVibrations & OndesVibrations des syst`emes continussept. 147 / 112

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Vibrations longitudinales libres

´Equation du mouvement =´Equation des ondes longitudinales

ρS∂

2 u ∂t 2 =∂F ∂x+f(x,t)

Traction/Compression pure :

F=σS=E?S=ES∂u

∂xρS∂ 2 u ∂t 2

Δx(ES∂u∂x)+f(x,t)

CommeEetSconstants

2 u ∂t 2 =E∂ 2 u ∂x 2 +1

Sf(x,t)

On notec

2 E ?c= E

Finalement :

2 u ∂t 2 -c 2 2 u ∂x 2 =1

ρSf(x,t)

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Vibrations longitudinales

C´el´erit´e des ondes longitudinales

[c]=m/s c=c´el´erit´e du son ou vitesse des ondes longitudinales.

Ordres de grandeur :

c acier E 2.10 11 8.10 3 =0.5.10 4 = 5000m/s

Autres valeurs

Mat´eriauc (m/s)Mat´eriauc (m/s)

PVC mou80Glace3200

Sable sec10-300Hetre3300

B´eton3100Aluminium5035

Plomb1200Verre5300

PVC dur1700Acier5600-5900

Granit6200P´eridotite

1 7700

Rappel : vitesse du son

dans l"air : 343m/s, dans l"eau : 1480m/s

1. Roche magmatique constituant la majeur partie de la croute terrestre

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G´en´eralit´esEq. des Vibs LVibs L libres Eq. des Vibs T Vibs T libres Vibs L forc´ees Vibs T forc´ees M´ethodes approch´ees Syst`emes 2D

Vibrations de torsion dans les arbres

´Equation du mouvement - Param`etres

x x dx L

Δff

Hypoth`eses

Poutre droite : LongueurL(?e,l), Section constanteS Mat´eriau isotrope :ρ,E,ν,G(module de torsion), non dissipatif →Petites perturbations + gravit´e non prise en compte Grandeur ´etudi´ee : d´eplacement angulaire localθ(x,t) UPMC - Master SdIVibrations & OndesVibrations des syst`emes continussept. 1410 / 112

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Vibrations de torsion dans les arbres

´Equation du mouvement -´Equilibre local

x x dx L

Δff

On ´ecrit l"´equilibre dynamique d"une section d"´epaisseurdx:

Moment d"inertie :ρI

x dx

D´eplacement :θ(x,t)

Acc´el´eration :

2 fft 2

Moment `agauche:-M

Moment `a droite :M+

∂M ∂x dx

On a donc

ρI x dx∂ 2 Δt 2 =-M+M+∂M ∂xdx UPMC - Master SdIVibrations & OndesVibrations des syst`emes continussept. 1411 / 112

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Vibrations de torsion dans les arbres

´Equation du mouvement -´Equilibre local (2) ρI x dx∂ 2 Δt 2 =-M+M+∂M ∂xdx ?ρI xdx∂ 2 Δt 2 =∂M ∂xdx ?ρI x 2 Δt 2 =∂M ∂x UPMC - Master SdIVibrations & OndesVibrations des syst`emes continussept. 1412 / 112

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Vibrations de torsion dans les arbres

´Equation du mouvement =´Equation des ondes de torsion ρI x 2 Δt 2 =∂M ∂x

Torsion pure :

M=GI x

ΔxρI

x 2 Δt 2

Δx(GI

Δx)

CommeGetI

x constants : 2 Δt 2 =G∂ 2 Δx 2

On notec

2 G ?c= G

Finalement :

2 Δt 2 -c 2 2 Δx 2 =0

Ordre de grandeur :

quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] Vibrations & Ondes - Vibrations des systèmes continus

Vibrations & Ondes

Vibrations des systemes continus

UPMC - Master Sciences de l'ingenieur

Septembre 2014

G´en´eralit´es

Vibrations dans les milieux ´elastiques 1D

Δff

Vibrations transverses des cordes

Vibrations longitudinales des poutres

Vibrations de torsion des arbres

Vibrations de flexion des poutres

Pourquoi ´etudier ces syst`emes simples?

G´en´eralit´es

Diff´erents types d"´equation du mouvement

Limites de l"´etude

G´eometrie :

Poutre rectilignes,

Longueur nieL

Section constanteS?LMat´eriau :

Homog`ene,

Lin´eaire isotrope

Non dissipatif

Vibrations longitudinales

Vibrations de Torsion

Vibrations des Cordes

1meme ´equation d"ordre 2 :

Vibrations de flexion´Equation d"ordre 4

Vibrations longitudinales

Dimensions - Param`etres - Hypoth`eses

Hypoth`eses

Distribution de forcesf(x,t)

Inclue les conditions aux limites

Adapt´ee aux structures complexes.

Vibrations longitudinales

Masse :ρSdx

D´eplacement :u(x,t)

Acc´el´eration :

Force `agauche:-F

Force `a droite :F+

Force ext´erieure f(x,t)

On a donc

ρSdx∂

Vibrations longitudinales

ρSdx∂

Vibrations longitudinales libres

ρS∂

Traction/Compression pure :

F=σS=E?S=ES∂u

Δx(ES∂u∂x)+f(x,t)

CommeEetSconstants

Sf(x,t)

On notec

Finalement :

ρSf(x,t)

Vibrations longitudinales

C´el´erit´e des ondes longitudinales

Ordres de grandeur :

Autres valeurs

Mat´eriauc (m/s)Mat´eriauc (m/s)

PVC mou80Glace3200

Sable sec10-300Hetre3300

B´eton3100Aluminium5035

Plomb1200Verre5300

PVC dur1700Acier5600-5900

Granit6200P´eridotite

Rappel : vitesse du son

1. Roche magmatique constituant la majeur partie de la croute terrestre

Vibrations de torsion dans les arbres

´Equation du mouvement - Param`etres

Δff

Hypoth`eses

Vibrations de torsion dans les arbres

´Equation du mouvement -´Equilibre local

Δff

Moment d"inertie :ρI

D´eplacement :θ(x,t)

Acc´el´eration :

Moment `agauche:-M

Moment `a droite :M+

Longueur nieL

1meme ´equation d"ordre 2 :

Sable sec10-300Hetre3300

1. Roche magmatique constituant la majeur partie de la croute terrestre