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________ 1Chapitre 13
Les câbles
Calculer une structure : de la théorie à l"exemple 318Hkktrsq`shnm`tqdbsndsognsnrbh,cdrrntr9
Mât haubané de 11 mètres servant de soutien au tilleul classé de Doyon en Belgique, plusieurs
fois centenaire. Conception, ingénieur conseil : Pierre Latteur, 2004-2005.Croquis : Dominique Langendries.
Chapitre 13. Les câbles
3191. INTRODUCTION
Les câbles sont utilisés notamment pour les ponts suspendus ou haubanés, les pylônes haubanés, les couvertures suspendues ou les contreventements. Les torons sont des assemblages de fils métalliques enroulés hélicoïdalement autourd"un fil central et constitués d"acier à très haute limite d"élasticité atteignant plu-
sieurs fois celle de l"acier traditionnel de charpente. Ils peuvent contenir des centai- nes de fils et atteindre des limites de rupture de plusieurs centaines de tonnes. Leur module d"élasticité intrinsèque E c est plus petit que celui du matériau acier à cause de l"enroulement des fils en hélice : une valeur de 170.000 [MPa] n"est pas rare. Les câbles sont constitués d"un ensemble de torons alignés (on parle de câbles à torons parallèles) ou enroulés autour d"une âme centrale métallique ou textile (on parle alors de cordages). Les cordages possèdent un module d"élasticité intrinsèque encore plus faible, qui peut être inférieur à 140.000 [MPa]. Dans le cadre de cet ouvrage nous parlerons toujours de câble, indépendamment des distinctions ci-dessus. Le calcul exact d"une structure composée de câbles est souvent laborieux pour une raison évidente : contrairement aux structures à éléments rigides, la géométrie déformée d"un câble après chargement est très différente de sa géométrie initiale. Cette particularité a une double conséquence : d"une part, le principe de superposition n"est plus applicable et, d"autre part, le calculateur ne peut plus sebaser sur la géométrie de la structure non chargée pour écrire les équations d"équi-
ToronEnsembles de torons
enroulés : cordagesCâble à torons parallèles
ToronCordage Âme métallique ou textile
Fil métallique central
Fil métallique périphérique
Calculer une structure : de la théorie à l"exemple 320libre comme il a l"habitude de le faire pour les structures classiques (dans la mesure où l"on peut négliger les effets du second ordre, voir chapitre 1, §12).
2. GÉNÉRALITÉS SUR LA STATIQUE DES CÂBLES
2.1. La parabole et la chaînette
L"arc funiculaire et le câble sont des structures analogues. En effet, pour une même géométrie et un même chargement, les efforts qui y règnent ne diffèrent que par leur signe : l"arc est en compression tandis que le câble est en traction. Par ailleurs, dans le chapitre relatif aux arcs funiculaires, la géométrie parabolique a été claire- ment distinguée de la chaînette (chap. 11, §5) : · la parabole est le funiculaire d"une charge uniformément répartie par unité de longueur horizontale, par exemple un tablier suspendu (on néglige le poids propre du câble et des suspentes) : · la chaînette est le funiculaire d"une charge uniformément répartie par unité de longueur prise le long du câble, comme son poids propre éventuellement combi- né à une couverture directement accrochée au câble : qhoriz [kN/m] uniformeCharge distribuée de sxod0 :
Parabole
J 6 ' !
Charge distribuée de sxod1 :
Chaînette
qhoriz [kN/m] variableChapitre 13. Les câbles
321Dans la suite de ce chapitre, on parlera d"une charge distribuée de type 1 lorsque la charge est uniformément distribuée par unité de longueur horizontale (parabole) et d"une charge distribuée de type 2 dans l"autre cas (chaînette).
2.2. Les équations d"équilibre externe et le calcul des réactions d"appui
Nous ne considérons ici que les câbles soumis à des charges verticales. Dans ce cas les deux réactions horizontales sont forcément égales mais de sens opposés. Par ailleurs, les deux réactions d"appui verticales peuvent être différentes si les charges sont dissymétriques ou les appuis à des niveaux différents. L"équation d"équilibre horizontal servant à prouver que les deux réactions horizontales sont égales, trois équations sont encore nécessaires. En plus de l"équation d"équilibre vertical et de celle d"équilibre des moments par rapport à l"un des appuis, on peut encore profiter du fait que le moment fléchissant est nul en tout point du câble pour établir une seconde équation d"équilibre des moments, par exemple par rapport au point le plus bas du câble. Toutes les réactions d"appui peuvent alors être calculées.2.3. Constance de la composante horizontale de l"effort de traction
Si les charges sont verticales, les deux réactions horizontales sont égales et de sens opposés. L"équilibre des efforts horizontaux sur tout tronçon du câble montre alors que la composante horizontale N H de l"effort de traction qui y règne est cons- tante et égale à la réaction d"appui horizontale RH. Cette propriété est aussi valable
pour les câbles soumis à une charge distribuée. Q 1 N RH RVA NH RH RVA RH Q2 Q 1 Q 3NH = Cste = RH
RVB A B A Calculer une structure : de la théorie à l"exemple 322Rsqtbstqdcdk`snhstqdcdk`f`qdcdKdtudm+Adkfhptd-Photo du dessus : câble de contreventement des arcs métalliques supportant la couverture de la gare, vu de la naissance des arcs en tête de pile. Photo du dessous : accrochage de ces mêmes câbles en tête de pile. (Architectes et ingénieurs Samyn and Partners avec le bureau d"études Setesco; photos de l"auteur, 2004).
Chapitre 13. Les câbles
3232.4. Câble droit = effort infini
La réaction d"appui horizontale d"un câble dont les appuis sont au même niveau, deportée L, de flèche H et soumis à une charge répartie q, est égale à celle de l"arc
(chap. 11, §3.2), soit qL2/(8H). De ce fait, si le câble est de plus en plus tendu, la
flèche H du câble diminue et le dénominateur de l"expression précédente tend vers zéro. Il est donc impossible de rendre un câble complètement droit puisqu"il fau- drait pour cela lui appliquer une traction infinie.2.5. Module d"élasticité selon la corde d"un câble très tendu
Par corde, on entend la droite joignant les appuis. Comme expliqué au §1, l"enrou- lement en hélice est responsable du fait que le module d"élasticité intrinsèque E c d"un câble est plus petit que le module d"élasticité E du matériau. Dans certains cas, un autre phénomène doit aussi être pris en compte dans l"évaluation du module d"élasticité. En effet, lorsque des câbles sont utilisés comme des barres de treillis destinées uniquement à reprendre des efforts normaux, ils sont fortement tendus entre deux points. C"est le cas des câbles de ponts haubanés, de ceux des pylônes haubanés ou de certains contreventements. Dans de telles situations, ces câbles, horizontaux ou obliques, sont si tendus que l"oeil pourrait faire croire qu"ils sont parfaitement droits. En réalité, leur poids propre leur donne une déformée inévitable : ils se comportent alors comme des éléments droits, mais dont le module d"élasticité est inférieur au module d"élasticité intrinsèque E c du câble. Il est dès lors utile de définir un module d"élasticité pris selon la corde du câble (c"est-à-dire selon la droite joignant ses appuis), noté E corde, et qui est alors fonction à la fois du module d"élasticité intrinsèque E c du câble et de la contrainte qui y rè- gne. Soit L0 la longueur d"un câble tendu entre deux appuis. En supposant dans un premier temps qu"il est inextensible (module d"élasticité E du matériau infini), il est possible de le tendre da- vantage par un supplément d"effort DN, allant de pair avec un écartement de ses appuis égal à DL. Le câble de section A se comporte alors comme une barre dont le module d"élasti- cité apparent vaut (on utilise ici la loi de Hooke, voir chap. 1, §7) : DN DL L0 Corde Calculer une structure : de la théorie à l"exemple 324()()0LLANEappDD= Comme le module d"élasticité intrinsèque E c du câble n"est pas infini (il vaut, par exemple, 170.000 [MPa]), le module selon sa corde vaut finalement :
EEEEEEEc
appcappc corde<<+=2.6. Tronçon soumis à l"effort de traction maximal
Comme la composante horizontale de l"effort de traction doit rester constante (voir §2.3), c"est le tronçon le plus incliné qui est soumis au plus grand effort de traction. C"est donc à l"un des deux appuis (et pas nécessairement au plus élevé) que cet effort sera maximum.2.7. Théorème d"analogie avec la poutre
Ce théorème, également utile pour la recherche des formes funiculaires des arcs (voir chapitre 11, §7.5), est d"une importance capitale pour la résolution de certainsproblèmes liés aux câbles. Il postule que la forme du câble est la même que celle du dia-
gramme des moments d"une poutre de même portée soumise aux mêmes charges. Il s"énonce comme suit : ds.ntchrsqhatàdr(9NH = Cste = RH
N L Q1 Qi Qn HxQ1 Qi Qn
RH RH Mx VC1 VC2 xi DVP1 VP2
x yChapitre 13. Les câbles
325· soit RH la réaction d"appui horizontale;
· soit Hx la distance verticale entre un point du câble et la droite joignant ses ap- puis (définie par le terme corde); · soit Mx le moment fléchissant, au même point, d"une poutre isostatique de même portée que le câble et supportant les mêmes charges.Alors on a :
HxxRMH=
Cette propriété se démontre aisément comme suit :1. Équilibre des couples extérieurs par rapport à l"appui droit, respectivement
pour la poutre et le câble : LDRVV xLQDRLVxLQLVHCPn i iiHCn i iiP=-? 11 1 111:Câble:Poutre
[1]2. Le moment en tout point (x,y) du câble est nul. En y faisant l"équilibre de rota-
tion du tronçon situé à gauche de ce point, on obtient : ( )0 11 i j iiHC xxQyRxV [2]3. Le moment Mx en toute abscisse x de la poutre vaut, en considérant le tronçon
situé à gauche de cette abscisse x : i j iiPx xxQxVM 11 [3] En éliminant le terme de somme entre [2] et [3], on trouve : ()yRxVVMHCPx+-=11 En éliminant de cette relation le terme ()11CPVV- à partir de [1], on obtient : xHMxLDyR=) ou encore : xxHMHR= (CQFD) Remarquons que la démonstration est à peu de choses près identique si le câble est soumis à des charges réparties, combinées ou non à des charges ponctuelles. Calculer une structure : de la théorie à l"exemple 326aTraction :
P+0,5Q/sina
Effort de compression
dans le mât : 2Pcos aTraction :
P-0,5Q/sina
Effort horizontal Q
2.8. Un câble peut-il reprendre de la compression ?
La réponse est : oui, s"il est précontraint, c"est-à-dire s"il est déjà le siège d"un effort
de traction.En effet, supposons un mât stabi-
lisé par des barres obliques rigides.Lorsqu"on applique un effort hori-
zontalQ en tête, la barre de droite
est tendue et celle de gauche com- primée, comme l"illustre la figure ci-contre. Supposons maintenant que les deux barres obliques soient des câbles. Celui de gauche ne peut reprendre l"effort de compression car il se détend complètement.Le mât subit alors un effort de compression
Q/tga et le câble de droite un effort
de traction plus grand, égal à Q/sina. Cette situation est évidemment à proscrire car en plus, un câble ne peut jamais être détendu pour des raisons de fatigue des assemblages.Si on exerce uniquement une pré-
tension (précontrainte) dans les deux câbles, par exemple via un dispositif à tendeur placé à leurs appuis, on obtient les efforts sui- vants : Si maintenant la charge horizontale de tête s"applique en plus de la précontrainte, et pour autant que cette dernière soit suffisamment grande, on constate que le câble de gauche n"est plus détendu mais qu"il peut cette fois reprendre un effort de compression égal à 0,5 Q/sina, exactement comme une barre droite de même facteur EA le ferait aEffort horizontal Q
Compression :
0,5Q/sin
aTraction :
0,5Q/sin
a 0Prétension PPrétension Pa
Effort de compression
dans le mât : 2Pcos a AvecP>0,5Q/sina
Chapitre 13. Les câbles
3272.9. Contrôle de la mise en tension dans un câble
Nombreuses sont les situations où l"on a besoin de mettre des câbles sous tension et de connaître avec exactitude la valeur de leur précontrainte. Prenons l"exemple d"un mât haubané. La précontrainte dans les haubans devra : · être suffisante pour que ceux-ci ne soient jamais complètement détendus sous les charges variables (de vent par exemple). Dans le cas contraire on s"expose à des problèmes de fatigue des assemblages, des problèmes de déplacements ex- cessifs de la structure et des déformations très visibles des câbles ; · être limitée pour ne pas dépasser la contrainte maximale autorisée lorsque les charges extérieures créent des efforts internes qui se superposent aux efforts dus à la précontrainte. Il existe sur le marché certains appareils de mesure portables capables de mesurer l"effort de tension qui règne dans un câble. Ces appareils sont toutefois coûteux et leur usage est limité aux petits diamètres. On peut aussi munir les câbles de disposi- tifs de mesure fixes et définitifs comme des capteurs de forces ou des jauges de contrainte fixées sur les tendeurs. Une autre méthode utile pour connaître la précontrainte est de tendre un fil léger entre les deux appuis du câble de sorte que ce fil soit le plus confondu possible avec la corde du câble (fil le plus droit possible). On mesure ensuite à mi-portée la distance verticale dmax entre le fil et le câble, ce qui permet indirectement de retrou- ver l"effort de précontrainte. Pour un câble oblique inscrit dans un rectangle de largeurL et de hauteur H, de
poids propre q et soumis à une précontrainte Fpréc, il est possible d"établir, pour une valeur de H/L donnée, une relation linéaire entre deux nombres sans dimensions, respectivement L/dmax et Fpréc/qL. Ces nombres sont donc directement en rapport avec la flèche maximale dmax d"une part et l"effort de précontrainte Fpréc d"autre part. Cette relation provient directement des équations d"équilibre du câble parabolique (ou de l"arc parabolique équivalent, voir les équations du chapitre 11, §3.5) : qLFLHfonctionL
préc*) maxd La figure suivante traduit cette relation pour les rapportsH/L les plus communs,
avec un pas de 0,1 pour H/L ( H/L=0 : horizontal, H/L=1 : à 45°, H/L = 2). Calculer une structure : de la théorie à l"exemple 328050100150200250300350400450500
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100qLF
précH/L = 0
maxd LH/L = 1
H/L = 2LH
L/2 dmaxExemple d"utilisation de la figure ci-dessus :
Les photos de la page 322 montrent les câbles de contreventement d"une couver- ture métallique qui doivent être mis en place avec une précontrainte de 50 kN. Ces câbles pèsent 75,83 N/m et leur géométrie en plan est la suivante :On a :
77,331952010.83,75500003=*=-qLF
préc et H/L = 5,44/19,52 = 0,279. Le graphique ci-dessus fournit alors la valeur suivante dequotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] raideur cable acier
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