[PDF] MAT-4102-1 C1 GéométrieIII Transformations isométriques : translation rotation

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G

éométrie

III

MAT-4102-1

MAT-4102-1 C1 GéométrieIII 3/19/09 1:08 PM Page 1

MAT-4102-1

Responsable des mathŽmatiques : Jean-Paul Groleau

RŽdacteur et rŽdactrice : Jacques Gravel

Suzie Asselin

RŽviseurs du contenu : Jean-Paul Groleau

Daniel GŽlineau

RŽviseir pŽdagogique : Jean-Paul Groleau

RŽviseures linguistiques : Marie Rose Vianna

Francine Cardinal

RŽimpression : 2009

©Société de formation à distance des commissions scolaires du Qu

ébec

Tous droits de traduction et d'adaptation, en totalité ou en parti e, réservés pour tous pays. Toute reproduction, par procédé mécanique ou électronique, y compris la micro- reproduction, est interdite sans l'autorisation écrite d'un rep résentant dûment autorisé de la Société de formation à distance des commissions scolaires du Qu

ébec (SOFAD).

Dépôt légal - 2004

Bibliothèque et Archives nationales du Québec

Bibliothèque et Archives Canada

ISBN 978-2-89493-268-1

0.3MAT-4102-1 Géométrie III© SOFAD

TABLE DES MATIÈRES

PrŽsentation de lÕordinogramme .............................................................. 0.4

Ordinogramme du programme .................................................................0.5 Comment utiliser ce guide? ......................................................................0.6 Introduction gŽnŽrale........................................................................ ........0.9 Objectifs intermŽdiaires et terminaux du module...................................0.11 CorrigŽ de lÕŽpreuve diagnostique sur les prŽalables..............................0.21 Analyse des rŽsultats de lÕŽpreuve diagnostique.....................................0.23 Suivez-vous ce cours en formation ˆ distance?........................................0.25

SOUS-MODULES

1. Transformations isomŽtriques : translation, rotation et rŽflexion......... 1.1

2. HomothŽtie et figures semblables ............................................................2.1

3. Triangles congrus et triangles semblables .............................................. 3.1

4. Calcul de la longueur des c™tŽs dans deux triangles semblables ........... 4.1

5. Calcul de la longueur des c™tŽs dans deux polygones semblables.......... 5.1

6. Calcul de dimensions rŽelles ˆ partir dÕun plan tracŽ ˆ l

ÕŽchelle ........... 6.1

7. MŽthode de tracŽ dÕun plan ˆ lÕŽchelle ˆ partir des

mesures rŽelles ...... 7.1 itŽ humaine et basŽs sur des notions de similitude ou de congruence des figures gŽomŽtriques ........................................................................ .....................8.1 ..................9.1 Objectifs terminaux........................................................................ ........... 9.8 .9.11

CorrigŽ de lÕŽpreuve dÕautoŽvaluation......................................................9.17

Analyse des rŽsultats de lÕŽpreuve dÕautoŽvaluation ..............................9.21

...............9.22 CorrigŽ des exercices........................................................................ .........9.23 Glossaire ........................................................................ ............................9.59 Liste des symboles........................................................................ .............9.64 Bibliographie ........................................................................ .....................9.65 ActivitŽs de rŽvision ........................................................................ ........10.1

0.4MAT-4102-1 Géométrie III© SOFAD

PRÉSENTATION DE L'ORDINOGRAMME

BIENVENUE AU ROYAUME DES MATHÉMATIQUES!

Ce programme de mathŽmatiques a ŽtŽ ŽlaborŽ pour la clien Services dÕŽducation des adultes des commissions scolaires et de l a formation ˆ distance. Les activitŽs dÕapprentissage quÕil contient ont Ž tŽ conues pour tre rŽalisŽes en apprentissage individualisŽ. Toutefois, si vous Ž prouvez des difficultŽs, nÕhŽsitez pas ˆ consulter votre formatrice ou v otre formateur ou ˆ tŽlŽphoner ˆ la personne-ressource qui vous a ŽtŽ assignŽ e. Le tableau qui suit situe dans le programme le module que vous avez entre les mains. Il vou s permet de visualiser le chemin parcouru ou qui vous reste ˆ parcourir selon lÕobjectif professionnel que vous poursuivez. Suivant les exigences de votre objec tif professionnel, plusieurs voies de sortie du royaume des mathŽmatiques sont prŽvues. (MAT-416), vous permettent dÕentreprendre des Žtudes menant ˆ un dipl™me dÕŽtudes professionnelles (DEP). Les routes MAT-4109-1 (MAT-426), MAT-4111-2 (MAT-436) et MAT-5104-1 (MAT-514), vous permettent dÕobtenir un dipl™me dÕŽtudes s econdaires (DES) s (cŽgep) nÕexigeant Finalement, les routes MAT-5109-1 (MAT-526) et MAT-5111-2 (MAT-536) vous s qui exigent de solides connaissances en mathŽmatiques et o dÕautres dŽfis vous attendent.

Bonne route!

Si cÕest votre premier contact avec ce programme de mathŽmatiques, examinŽ lÕordinogramme du programme, lisez Ç Comment utiliser ce guide È; sinon, passez directement ˆ la partie intitulŽe Ç Introduction gŽnŽrale È. Bon travail!

0.5MAT-4102-1 Géométrie III© SOFAD

CÈgep

MAT-5110-1 Introduction aux vecteurs

MAT-5109-1 Géométrie IV

MAT-5108-1 Fonctions et équations trigonométriques

MAT-5107-1

Fonctions et équations exponentielles

et logarithmiques

MAT-5106-1 Fonctions réelles et équations

MAT-5105-1 Coniques

MAT-5104-1 Optimisation II

MAT-5103-1 Probabilités II

MAT-5102-1 Statistiques III

MAT-5101-1 Optimisation I

MAT-4110-1

Les quatre opérations sur les

fractions algébriques

MAT-4109-1 Ensembles, relations et fonctions

MAT-4108-1 Fonction quadratique

MAT-4107-1 Droite II

MAT-4106-1 Factorisation et fractions algébriques

MAT-4105-1 Exposants et radicaux

MAT-4103-1 Trigonométrie I

MAT-4102-1 Géométrie III

MAT-536

MAT-526

MAT-514

MAT-436

MAT-426

MAT-416

MAT-314

MAT-216

MAT-116

MAT-3002-2 Géométrie II

MAT-3001-2 Les quatre opérations sur les polynômes

MAT-2008-2 Statistiques et probabilités I

MAT-2007-2 Géométrie I

MAT-2006-2 Équations et inéquations I

MAT-1007-2 Les nombres décimaux et le pourcentage MAT-1006-2 Les quatre opérations sur les fractions MAT-1005-2 Les quatre opérations sur les entiers

MAT-5111-2 Complément et synthèse II

MAT-4111-2 Complément et synthèse I

MAT-4101-2 Équations et inéquations II

MAT-3003-2 Droite I

Metiers(DEP)

MAT-5112-1 Logique

25 heures = 1 unité

50 heures = 2 unités

MAT-4104-2 Statistiques II

ORDINOGRAMME DU PROGRAMME

Vous tes ici

0.6MAT-4102-1 Géométrie III© SOFAD

Bonjour! Mon nom est Monique et on m'ademandé de te présenter ce module de mathé-matiques. Quel est ton nom?

Je me nomme André.

Merci pour ta gentillesse.

Que tu sois inscrit

dans un centre d'éducation des adultes ou en formation à distance, ...

Tu verras qu'avec cette méthode, les

mathématiques... c'est un vrai charme! ... tu as probablement passé un test de classement dont les résultats permettent de te situer exactement dans l'ensemble des modules que tu dois faire.Oui, les résultats disent que jedois commencer avec ce module.

Maintenant, le module que tu as

entre les mains est séparé en trois parties. La première partie est... ... l'activité d'entrée qui contient l'épreuve diagnostique sur les préalables.En corrigeant soigneusement cetteépreuve à l'aide du corrigé qui suit et en reportant les résultats sur la fiched'analyse, ....

0.7MAT-4102-1 Géométrie III© SOFAD

A RRIVÉE

as bien assimilŽ les apprentissages rŽalisŽs. lÕ auto-évaluation pour vŽrifier si tu indique quÕil est temps de passer ˆ

Finalement, la ligne dÕarrivŽeFinalement, la ligne dÕarrivŽeindique quÕil est temps de passer ˆ

lÕautoévaluation pour vŽrifier si tuas bien assimilŽ les apprentissages rŽalisŽs. Le bloc-notes indique un rappel desnotions que tu as ŽtudiŽes auparavant.

La calculatrice te rappelle ˆ quel moment

tÕen servir. du module.La ligne de dŽpart montre le début de lÕapprentissage.

Le petit point dÕinterrogation blanc identifie les ques-tions dont les rŽponses sont ˆ lÕintŽrieur du texte.

... tu peux savoir si tu es suffisamment préparé pour faire toutes les activités de ce module.

Le point dÕinterrogation en gras

identifie les exercices de con-solidation qui te permettront demettre en pratique ce que tu viens dÕapprendre.

Et si je ne suis pas suffisam-ment préparé, si j'ai besoind'une petite révision avant deme lancer à l'attaque, qu'est-cequi se passe?Dans ce cas, avant de débuter lesactivités du module, la fiched'analyse des résultats te renvoie àdes activités de révision placées àla fin du module.

De cette façon, je suis

certain d'avoir tout ce qu'il faut pour commencer.

Exact! La deuxième partie contient

les activités d'apprentissage; c'est le corps du module.

Observe bien le tableau

ci-contre : il représente les logos identifiant les diffé- rentes activités.

La cible signalelÕobjectif ˆ atteindre.

OUF!

DÉPART

0.8MAT-4102-1 Géométrie III© SOFAD

"Saviez-vous que...?»

Plus tard...

... ainsi, les mots en italiquesgras apparaissent dans leglossaire à la fin du module...

PARFAIT!... les passages encadrés t'indiquentqu'il s'agit de points à retenir comme desdéfinitions, des formules, des règles, etc.Je te le dis, c'est plus facile.

Enfin, la troisième partie contient la

synthèse finale qui vient faire le lien entre

les différentes parties du module.Oui, par exemple, de petitesnotes sur l'histoire des mathé-matiques, des jeux amusants.C'est intéressant et cela tecalme en même temps.

Non, cela ne fait pas partie

de l'apprentissage; c'est un peu comme un moment de détente.

Il y a aussi beaucoup de chosesamusantes dans ce module.Par exemple, lorsque tu vois lafigure d'un sage, c'est un"Saviez-vous que...?».

Dois-je mémoriser ce que dit le sage?

C'est la même chose pour " La

page des mathophiles » qui signifie : qui aiment les mathématiques.

C'est tellement stimulant que,

même si tu n'es pas obligé de la travailler, tu as envie de la faire.Et puis, tout au long dumodule, les auteurs se sontarrangés pour te faciliter latâche...

De plus, tu y trouveras une

épreuve d'autoévaluation ainsi

que son corrigé. Tu sauras à ce moment-là si tu es prêt pour l'examen final.Merci, Monique, tu m'as rendu un grand service.

Maintenant,

je me sauve.

Au revoir!

Tout le plaisir est pour moi.

C'est fantastique! Je n'aurais jamaiscru aimer les mathématiques autant queça.

0.9MAT-4102-1 Géométrie III© SOFAD

INTRODUCTION GÉNÉRALE

FIGURES CONGRUES ET FIGURES SEMBLABLES

En sciences, en photographie, en arpentage, en architecture, en menuiser ie, dans les travaux dÕusinage et en gŽographie, nous appliquons les p ropriŽtŽs des figures congrues et des figures semblables. Ces notions sont Žgaleme utiles lorsque nous devons lire ou tracer un plan ˆ lÕŽchelle e t lorsque nous avons ant, nous utilisons souvent ces propriŽtŽs de faon machinale. La thŽ orie exposŽe dans ce module nous permettra dÕapprofondir ces connaissances. Pour commencer, nous nous pencherons sur deux types de transformation géométrique: les transformations isométriques, aussi appelŽes iso- métries, et lÕhomothétie. Une transformation isomŽtrique convertit une fi- gure gŽomŽtrique donnŽe en une autre qui a la mme forme et les mmes dimensions que la figure dÕorigine. Ces deux figures sont donc congr ues. Notons que les isomŽtries sont : la translation, la rotation et la réflexion. Par ailleurs, une homothŽtie transforme une figure gŽomŽtrique donn

Že en une

autre dont la forme est la mme mais dont les dimensions sont diffŽrentes. Nous disons alors que ces deux figures sont semblables. En dÕautres terme s, lÕhomothŽtie produit une image agrandie ou rŽduite de lÕobje t original. Ensuite, nous aborderons la construction d'un triangle unique ˆ partir soit de la mesure dÕun angle compris entre deux c™tŽs donnŽs, soi t de la mesure dÕun c™tŽ compris entre deux angles donnŽs, soit de la mesure de ses trois c™tŽs. Nous poursuivrons par lÕŽtude des propriétés de congruence et de similitude des triangles. Ainsi, si deux triangles ont un angle congru compris entre deux c™ tŽs congrus un ˆ un (propriŽtŽ C-A-C) ou un c™tŽ congru com pris entre deux angles congrus (propriŽtŽ A-C-A) ou encore trois c™tŽs congrus ( propriŽtŽ C-C-C), nous pouvons alors conclure que ces triangles sont congrus. Par contre, pour que deux triangles soient semblables, ils doivent possŽder deux angles congrus (propriŽtŽ

0.10MAT-4102-1 Géométrie III© SOFAD

A-A), trois c™tŽs homologues proportionnels (propriŽtŽ P-P -P) ou un angle congru compris entre deux c™tŽs homologues proportionnels (propriŽtŽ

P-A-P).

semblables, nous apprendrons ˆ calculer la longueur des côtés manquants ˆ partir des mesures nŽcessaires. Parfois, nous conna"trons la valeur du rapport de similitude existant entre les c™tŽs homologues de ces triangles . Nous rencontrerons Žgalement des cas o ce rapport nÕest pas connu.

Comme ces

notions de similitude sÕappliquent Žgalement aux polygones semblables, nous pourrons alors dŽterminer la longueur des c™tŽs manquants de de ux polygones semblables pour lesquels nous connaissons les mesures nŽcessaires.

Par la suite, nous considŽrerons les plans tracés à l'échelle. En rŽalitŽ, le plan

dÕun objet est une image rŽduite semblable ˆ lÕobjet rŽel . LÕŽchelle du plan est le rapport de similitude existant entre ces deux figures. Nous pourrons do nc mettre en application les notions dŽjˆ acquises pour calculer une mesure rŽelle ˆ partir dÕun plan dont lÕŽchelle est connue. Inversement, nous verrons comment dŽterminer la longueur des segments de droite dans le but de tracer l e plan dÕun objet ˆ une Žchelle donnŽe. Enfin, nous utiliserons ces nouvelles notions pour résoudre des problèmes reliŽs ˆ divers domaines de lÕactivitŽ humaine tels la photo graphie, lÕarpentage, la menuiserie, les travaux dÕusinage et la gŽographie qui renferme nt des notions de similitude et de congruence des figures.

0.11MAT-4102-1 Géométrie III© SOFAD

OBJECTIFS INTERMÉDIAIRES ET TERMINAUX

DU MODULE

Le module MAT-4102-1 comporte huit sous-modules et prŽvoit une durŽ e dÕapprentissage de vingt-cinq heures rŽparties, tel quÕil est i ndiquŽ dans le

Objectifs Nombres d'heures* % (évaluation)

14 10 %

24 10 %

35 20 %

44 25 %

525 %

6 ˆ 85 30 %

* Une heure est rŽservŽe ˆ lÕŽvaluation finale.

1. Transformations isométriques : translation, rotation et réflexion

Reconnaître, dans un ensemble d'illustrations représentant des transformations isométriques de figures géométriques : • celles qui illustrent une translation, • celles qui illustrent une rotation, • celles qui illustrent une réflexion,

0.12MAT-4102-1 Géométrie III© SOFAD

et tracer, à l'aide de la règle graduée, de l'équerre, du compas et du rapporteur, les images de figures géométriques simples subissant l es isométries suivantes : • une translation t, étant donné la longueur et le sens du déplacement, • une rotation r, étant donné la position du centre de rotation et la mesure de l'angle de rotation, • une réflexion s, étant donné la position de l'axe de réflexion.

2. Homothétie et figures semblables

Construire, à l'aide de la règle graduée et de l'équer re, l'image d'une figure géométrique par une homothétie h, étant donné la position du centre d'homothétie (O) et le rapport d'homothétie (k). La valeur de k peut être positive ou négative. De plus, reconnaître, parmi un ensemble d'illustrations représentant des transformations géométriques, celles qui illustrent une homothétieh.

3. Triangles congrus et triangles semblables

Construire un triangle unique à l'aide de la règle graduée, du rapporteur et du compas, étant donné l'un ou l'autre des gro upes de mesures suivants : • un angle et les deux côtés qui forment cet angle, • deux angles et le côté compris entre ces angles, • les trois côtés. De plus, déterminer, en appliquant les propriétés des triangles congrus et celles des triangles semblables, la congruence ou la non- congruence de même que la similitude ou la non-similitude de deux triangles pour lesquels les mesures de quelques angles et de quelques côtés sont données. Chaque affirmation doit être a ccom- pagnée de sa justification.

0.13MAT-4102-1 Géométrie III© SOFAD

4. Calcul de la longueur des côtés dans deux triangles semblables

Calculer la mesure de un ou plusieurs côtés de l'un ou l'aut re des deux triangles semblables donnés à partir de : • la mesure du côté homologue à chacun des côtés dont la lo ngueur est recherchée, et de • la valeur du rapport d'homothétie k ou des mesures requises pour calculer k. Les étapes de résolution doivent être décrites.

5. Calcul de la longueur des côtés dans deux polygones semblables

Calculer la mesure de un ou plusieurs côtés de l'un ou l'aut re des deux polygones semblables donnés à partir de : • la mesure du côté homologue à chacun des côtés dont la lo ngueur est recherchée, et de • la valeur du rapport d'homothétie k ou des mesures requises pour calculer k. Les polygones ont au maximum huit côtés. Les étapes de réso lution doivent être décrites.

6. Calcul de dimensions rŽelles ˆ partir dÕun plan tracŽ ˆ l

ÕŽchelle

Ë partir dÕun plan ˆ lÕŽchelle illustrant une situation d e la vie courante, appliquer les propriŽtŽs des figures semblables pour rŽsoudre u donnŽes textuelles qui demandent le calcul de distances rŽelles.

7. MŽthode de tracŽ dÕun plan ˆ lÕŽchelle ˆ partir de

mesures rŽelles Appliquer les propriŽtŽs des figures semblables ˆ la rŽsolut exigeant la construction dÕun plan ˆ lÕŽchelle, ˆ lÕai de lÕŽquerre, Žtant donnŽ un croquis illustrant une situatio n de la vie courante et la valeur de lÕŽchelle numŽrique du plan ˆ trace r. Seuls des angles de 90¡ seront reprŽsentŽs.quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

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