[PDF] Contrôle 1 : Corrigé Limite continuité et dérivabilité

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Université de Paris 2020-2021

MI3 - Algèbre et analyse élémentaires III L2 InfoContrôle 1 : Corrigé Limite, continuité et dérivabilitéExercice 1.Déterminer les limites suivantes. (1)limx!0(1 + sinx)1x

On écrit d"abord

(1 + sinx)1x =eln(1+sinx)1x :En point0, on a des relations d"équivalenceln(1 +u)0uetsinx0x. En prenantu=sinx, on obtientln(1 + sinx)0sinx0x. Donc lim x!0(1 + sinx)1x =e1=e:(2)limx!1px

2x+ 1px

x

22x+ 1:

On se sert de la relation suivante

pApB=ABpA+pB qui donne px

2x+ 1px

x

22x+ 1=(x2x+ 1)x(x22x+ 1)(px

2x+ 1 +px)

((((((x22x+ 1( (((((((x22x+ 1)(px

2x+ 1 +px)

1px

2x+ 1 +px

Lorsquex!1, on obtient

lim x!1px

2x+ 1px

x

22x+ 1=11 + 1

=12 :(3)limx!+1(2x+x)1x Intuitivement, le terme2xcroît beaucoup plus vite quex, donc on devrait obtenir2comme limite.

On écrit

(2 x+x)1x =eln(2x+x)1x 1

En regardant l"exposant, on a

ln(2 x+x)1x = ln2x(1 +x2 x)1x =ln(2x) + ln(1 +x2 x)1x = ln2 + ln(1 + x2 x)1x :Le dernier terme, lorsquex!+1, est équivalent àx2 x1x(carln(1 +u)0u) et tend donc vers0. On conclut que limx!+1ln(2x+x)1x = ln2; et lim x!+1(2x+x)1x =eln2= 2:Exercice 2.Considérer la fonction suivante f(x):=( xx2six >0;

1six0:

(1)Déterminer sifest continue en0. Pour quefsoit continue en0, il faut que la limite defen0existe. Clairement la limite à gauchelimx!0f(x)vaut1. Il faut donc étudier la limite à droitelimx!0+f(x). On écrit x x2=elnxx2: L"exposantlnxx2tend vers0par les croissances comparées. Donc lim x!0+xx2=e0= 1: La fonctionfest donc continue en0.(2)Calculer la dérivée defpourx6= 0. Pourx <0, la fonctionfest la fonction constante1, doncf0(x) = 0.

Pourx >0, on a

f

0(x) =

xx20 elnxx20 =elnxx2(lnxx2)0(dérivée d"une fonction composée) =elnxx2(x+ lnx2x)(dérivée d"un produit) =xx2x(1 + 2lnx) =xx2+1(1 + 2lnx) Donc f

0(x) =(

xx2+1(1 + 2lnx)six >0;

0six <0:2

(3)Déterminer sifest dérivable en0. Par définition, la fonctionfest dérivable en0si et seulement si la limite suivante existe lim x!0f(x)f(0)x0:

Pourx >0, on a

f(x)f(0)x0=xx21x elnxx21x :Commelnxx2tend vers0lorsquex!0+, en utilisant la relation d"équivalenceeu10u, on obtient e lnxx210lnxx2: Donc lorsquex!0+, le quotientf(x)f(0)x0est équivalent àlnxx2x=lnxx, qui tend encore vers0par les croissances comparées. On a montré que la dérivée à droite defvaut0. Par ailleurs, lorsquex!0, la fonctionfest la fonction constante1, donc la dérivée à gauche vaut aussi0. En conséquence, la fonctionfest dérivable en0avecf0(0) = 0.Exercice 3. (1)Montrer que la fonction g(x):= ln 1 +1x 11 +x est monotone sur]0;+1[et en déduire l"inégalité

8x >0;ln

1 +1x >11 +x:

Pour étudier la monotonie, on peut regarder la dérivée. On calcule donc d"abord la dérivée deg

g

0(x) =

ln 1 +1x 11 +x 0 11 + 1x 1 +1x 0

1(1 +x)2

xx+ 1 1x 2 +1(1 +x)2 =1x(x+ 1)+1(1 +x)2 (1 +x) +xx(1 +x)2=1x(1 +x)2:

La dérivée degest clairement strictement négative six >0. En conséquence,gest strictement

décroissante sur]0;+1[. Lorsquex!+1, on aln(1 +1x )!ln1 = 0et11+x!0. Donc lim x!+1g(x) = 0; et par la décroissance degsur]0;+1[, on conclut queg(x)>0, soitln(1 +1x)>11+x, pour toutx >0. 3 (2)Montrer que la fonction f(x):= 1 +1x x est monotone sur]0;+1[. En déduire qu"elle est bornée sur]0;+1[, en précisant la borne supérieure et la borne inférieure.

De nouveau on va regarder la dérivée def

f

0(x) =

1 +1x x0 eln(1+1x )x0 =eln(1+1x )x ln 1 +1x x 0 (dérivée d"une fonction composée) =eln(1+1x )x 11 + 1x 1x 2 x+ ln 1 +1x 1! (dérivée d"un produit) =eln(1+1x )x

11 +x+ ln

1 +1x =eln(1+1x )xg(x): On a déjà démontré queg(x)>0pour toutx >0. On en déduit que la dérivée defest strictement positive pour toutx >0. Doncfest strictement croissante sur]0;+1[. Pour trouver les bornes, on regarde les limites en0+et+1. Écrivons f(x) =eln(1+1x )x:

En regardant l"exposant, on a

ln 1 +1x x= lnx+ 1x x= ln(x+ 1)xlnxx: Lorsquex!0+, le premier terme tend versln10 = 0, et le deuxième tend aussi vers0par les croissances comparées. Donc lim x!0+f(x) = limx!0+eln(1+1x )x=e0= 1: Lorsquex!+1, en utilisant la relationln(1 +u)0u, on écrit ln 1 +1x x+11x x= 1: Donc limx!+1f(x) = limx!+1eln(1+1x )x=e1=e:

On conclut que la fonctionfest bornée sur]0;+1[avec borne inférieure1et borne supérieuree.0xy

1e 1 +1x x4quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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