[PDF] Chapitre 07 Continuité - Dérivabilité

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PCSI 1 - 2015/2016 www.ericreynaud.fr

Chapitre 07

Continuité - Dérivabilité

1 Points importants 3 Questions de cours 6 Exercices corrigés

2 Plan du cours 4 Exercices types 7 Devoir maison

5 Exercices

1

Chap 07Continuité - Dérivabilité

Et s"il ne fallait retenir que neuf points?1.Connaître la définition epsilonesque de la continuité.c"est-à-dire :

fest continue enx0() ?" >0,9 >0,?x?Df,|x-x0|< =) |f(x)-f(x0)|< "

Le "?"" et le "9" ne peuvent bien sßr pas OEtre inversés, car ledépend du"choisi. Les inégalités

strictes doivent le rester dans le cas du" >0et >0mais les deux autres peuvent se changer en

des inégalités larges sans changer le sens de la preuve. Attention ce n"est pas une formule qu"on

apprend par coeur, c"est une formule qu"on comprend!

2.Le théorème des valeurs intermédiaires : l"image d"un intervalle par une application

continue est un intervalle.On peut en déduire deux propositions importantes : a) Une appli cationcon tinuequi ne s"ann ulepas sur un in tervalleest une application de s igne constant. b) S"il existe aetbtels quef(a)etf(b)sont de signes diérents avecfcontinue sur[a,b], alors fs"annule. L"unicité est obtenue sifest strictement monotone. De plus, on peut prendrea etbdansRà condition de remplacerf(a)etf(b)par les limites defenaetb.

3.L"image d"un segment par une application continue est un segment.On en déduit que

toute application continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. Ainsi l"expression Sup x?[a,b]|f(x)|a toujours un sens lorsquefest continue.

4.Définition de la dérivée en un point et son interprétation géométrique.

fest dérivale enx0()limx!x0f(x)-f(x0)x-x0existe et est dansR

Cette limite si elle existe est notéef?(x0). Sur le graphe def, l"expressionf(x)f(x0)xx0représente

le coecient directeur de la corde joignant les points d"abscissexetx0. Ainsif?(x0)représente le coecient directeur de la limite de ces cordes, appelée la tangente.

5.Les opérations sur les fonctions dérivables.La somme, la diérence, le produit, le quotient,

la composée de fonctions dérivables est encore dérivable. Savoir les formules!!! (y compris la

formule de Leibnitz : dérivée n ièmede d"un produit).

6.C∞(I,R)...n+1(I,R)Cn(I,R)...C0(I,R). Connaître également des

fonctionsC0non1et au moins une fonction1nonC1. 1

7.Le théorème des accroissements finis.fest une application dérivable sur]a,b[

fest une application continue sur[a,b]=) 9c?]a,b[= f(b)-f(a) =f?(c)(b-a) Il faut retenir plusieurs autres choses sur ce théorème : a)

Si de plu s,on a f(a) =f(b), on retrouve le théorème de Rolles, c"est-à-dire il existectel que

f ?(c) = 0. b)

Géométriquemen t,le théorème des accroissemen tsfinis nous dit qu"il existe un p ointcsur]a,b[

tel que le coecient directeur de la tangente enc(i.e.f?(c)) est égal au coecient directeur de la corde reliant les points du graphe defd"abscisseaetb(i.e.f(b)-f(a)b-a) c) Si de plus, f?est bornée c"est-à-dire s"il existemetMdansRalors :

C"est l"inégalité des accroissements finis.

d)

Enfin la dernière égalité n ousdit que si f?est borné park, la fonctionfestk-lipschitzienne.

Donc en particulier sifestC1sur unsegment, elle estklipschitzienne.

8.Le théorème de prolongementC1.SiIest un intervalle etaun point deI8><

:fest continue surI fest dérivable surIn fag limx!af?(x) =l?R=)fest dérivable surIetf?(a) =l

Attention, ne pas oublier l"hypothèse de continuité ena, sinon le théorème est faux : retenir

(et comprendre) le contre exemple :f=R+De plus, il est fort possible quef?n"ait pas de

limite ena(donc ne vérifie pas les hypothèses du théorème) et pourtantfest dérivable en a :

f(x) =x2sin(1x )six6= 0etf(0) = 0. Ceci montre que la réciproque est fausse.

9.Les trois formules de TaylorC1.

f(x) =Tn(x) +f(n+1)(c)(x-a)n+1(n+ 1)!(Taylor-Lagrange) f(x) =Tn(x) +Z x a f(n+1)(t)(x-t)nn!dt(Taylor reste intégral) f(x) =Tn(x) + (x-a)n"(x)(Taylor-Young) avec T n(x) =f(a) +f?(a)(x-a)11! +...+f(n)(a)(x-a)nn! Pour les hypothèses d"applications exactes de ces formules, revoir le cour. Cependant savoir que sifestC(n+1)sur[x,c](ou[c,x]), les trois formules s"appliquent. Quelques commentaires : a) La partie princ ipaleest iden tiquedans c hacunedes 3 form ulesde T aylor,seu lle reste c hange. b) La form ulede T aylor-Lagrangeà l"ordre n= 0revient à écrire la formule des accroissements finis. c) Comme dans le cas des a ccroissementfin is,dans le cas oø f(n+1)est encadré parmetM, l"égalité de Taylor-Lagrange devient l"inégalité de Taylor-Lagrange : m 2

Chap 07Continuité - Dérivabilité

Plan du coursI. Continuité.................................................................................2

1/ Continuité en un point et sur un ensemble.......................................2

2/ Exemples : les fonctions Lipschitziennes..........................................2

3/ Propriétés et opérations sur les fonctions continues.............................3

4/ Prolongement par continuité...................................................... 4

5/ Caractérisation séquentielle des fonctions continues.............................4

II. Continuité et intervalles...............................................................5

1/ Le théorème des valeurs intermédiaires.......................................... 5

2/ Applications du théorème des valeurs intermédiaires........................... 5

3/ Continuité sur un segment.........................................................5

4/ Les bijections continues et les applications monotones..........................5

III. Dérivabilité............................................................................. 7

1/ Définition, dérivable à gauche et à droite........................................ 7

2/ Traduction diérentielle............................................................7

3/ Stabilité par les Opérations........................................................8

4/ Dérivée de la fonction réciproque................................................. 8

5/ Dérivées successives, formule de Leibniz......................................... 9

IV. Les accroissements nis...............................................................9

1/ Extréma locaux.....................................................................9

2/ Théorème de Rolle................................................................. 9

3/ Théorème et inégalité des accroissements finis..................................10

4/ Application 1 : dérivée et variations d"une application.........................10

5/ Application 2 : le théorème de prolongementC1............................... 10

6/ Application 3 : vers le théorème du point fixe de Picard...................... 10

V. Les formules de Taylor................................................................10

1/ Taylor-Lagrange................................................................... 10

2/ Taylor reste intégral...............................................................11

3/ Taylor-Young......................................................................11

1

Chap 07Continuité - dérivabilité

Questions de coursSoientIun intervalle ou une réunion d"intervalle deR,x0un réel aux bornes deI,ldansRetfune

application deIdansR.

1. Énoncer le théorème des valeurs intermédiaires ainsi que deux corollaires. Montrer

également que tout polynôme deR[X]de degré impair admet une racine réelle.(II)

2. Que peut-on dire d"une application continue sur un segment? Montrer également

que sifest continue alorsIn=Z 1

0f(t)1 +ntdt!n!+10.(II)

3. Supposonsfcontinue et bijective d"un sous ensembleXdeRdansR. Peut-on

armer quef-1est continue? (Une preuve ou un contre-exemple est demandée). Si ce n"est pas le cas quelle hypothèse doit-on donner en plus?(II)

4. Rappeler le théorème de Rolles ainsi que son interprétation géométrique. En dé-

duire que la dérivée seconde de toute applicationfdans2(I;R)qui s"annule 3 fois s"annule une fois.(IV)

5. Rappeler le théorème des accroissements finis ainsi que son interprétation géomé-

trique. En déduire que8x;y2R;jsin(x)sin(y)j jxyj(IV)

6. Énoncer le théorème de prolongementC1. Montrer que l"hypothèse de continuité est

indispensable, puis montrer que le prolongement par continuité def(x) =sin(x)x en

0 est une application deC1(R;R).(IV)

7. Montrer que toute fonctionC1sur un segment est lipschitzienne. (IV)

8. Soitfdérivable d"un intervalleIdeRdansR. Montrer que sif0>0sauf en

un nombre fini de points oø la dérivée est nulle alorsfest strictement croissante. Montrer que le résultat est faux siIn"est pas un intervalle.(IV)

9. Montrer que :

8x2[1;1]Arccos(x) +Arcsin(x) =2

8x2RArctan(x) +Arctan(1x

) =2 (IV)

10. Énoncer les trois formules de Taylor (avec leurs hypothèses). Montrer que sifest

dansRn[X]alors le reste dans la formule de Taylor à un ordre supérieur ou égal àn est nul.(V) 1

Chap 07Continuité - Dérivabilité

Exercices typesExercice 1 - Des fonctions continues et non continues. 1. Mon trerque la fonction 1Q(fonction caractéristique deQ) est discontinue en chacun de ses points. 2.

Mon trerque sinn"admet pas de limite en+1.

3.

Mon trerque f(x) =sin(x)x

six6= 0etf(0) = 1est continue surR 4.

Mon trerque f(x) =xsin1x

six6= 0etf(0) = 0est continue surR

Exercice 2 - Étude d"une suite définie implicitement.Pour tout entiern1, on définit la fonction

f n: [0;+1[!R x7!xn+ 9x2-4 1. Mon trerque, p ourtou te ntiern1, l"équationfn(x) = 0possède une et une seule solution dans l"intervalle[0;+1[. On noterauncette unique racine. 2. Calculer u1etu2, puis vérifier que, pour tout entiern1,un?]0;1[. 3. a) Préciser le signe ,p ourtout réel x?]0;1[defn+1(x)-fn(x). b) En déduire, p ourtout en tiern1, le signe defn(un+1)puis les variations de la suite(un)n1. c) Mon trerque cette suite con verge.On notera Lsa limite. Exercice 3 - Une application1mais nonC1.Soitfl"application deR?dansRdéfinie parf(x) =x2sin1x 1. Mon trerque fadmet un prolongementfpar continuité en0. Que vautf(0)? 2. Mon trerque fest dans1(R,R), mais pas dansC1(R,R). Exercice 4 - Une fonctionC∞par recollement.Considérons l"application deRdansRvérifiant f(x) =e1x six >0 1.

Mon trerque : ?n?N,9Pn?R[X],?x?R?+, f(n)(x) =Pn1x

e1x 2.

En déduire que ?n?N, limx!0+f(n)(x) = 0.

3.

Mon trerpar récurrence que festC∞.

4.

Déterminer le DLn(0)def.

1

Chap 07Continuité - Dérivabilité

ExercicesLe temps passe et les oeufs durent.

D. PrevostVrai - Faux

Exercice 1.

SoientIun intervalle deR,adansI, etf,gune application deIdansR. Déterminer si les armations suivantes sont vraies ou fausses. 1. Il existe des fonctions de RdansRdiscontinue en tout point. 2. Une fonction est lipsc hitziennesi et s eulementsi elle est c ontinue. 3. Si fest bijective et continue sur un ensembleAdeR, alorsf1est continue surf(A). 4. Si fest continue et bijective sur l"intervalleI, alorsfest strictement monotone. 5.

L"application fdéfinie deIdansRest dérivable enasi et seulement s"il existe un réelltel que :

8x2I; f(x) =f(a) +l:(x-a) +o(x-a)

6.f2Cn(I;R)si et seulement sifest dérivablenfois et sifest continue.

7. Si f1;:::fnsont dérivables alors :(f1:::fn)0=n? i/1f

1:::fi1f0ifi+1:::fn

8. Si fetgsont dansC4(I;R)alorsfgest aussi dansC4(I;R)et (f:g)(4)=f(4)+ 4f(3)g(1)+ 6f(2)g(2)+ 4f(1)g(3)+g(4) 9.

Soit fetgdans1(R;R), alors(f o g)0= (f0o g)g0

10. Soit fune application bijective de1(I;R). Sifest dérivable enaalorsf0est dérivable enf(a).

11.8x2R;jcos(x)-cos(y)j jx-yj.

12. Soit fdans1(I;R). L"applicationfest strictement croissante si et seulement sif0>0. 13. La dérivée d"une application dériv ablepaire est une a pplicationimpai re.

Rep .7 vraies / 6 fausses (VFFVV FVFVF VFV)

1

Niveau 1

Exercice 2.

Montrer que pour toutndeNet toutxdeR+:ex1 +x+x22

+:::+xnn!

Exercice 3.Soit g définie sur R* par :

g(x) =x3e x-1 1.

Mon trerque g est con tinuesur R*.

2. Mon trerque g est prolongeable par con tinuitéen 0. 3.

Etudier les branc hesinfinies de Cg.

Exercice 4.Soitgdéfinie surR+n f1gpar

g(x) =x:ln(x)x-1 et prolongée par continuité en0et en1. 1.

Que v alentg(0), g(1) ?

2.

Etudier la branc heinfinie de Cg.

Exercice 5.Soit f définie sur]-1;1[par

f(x) = (1-x2):ln?1-x1 +x? Montrer quefest continue. Etudier la parité defet montrer quefse prolonge en une fonction continue sur[-1;1]. Exercice 6.1.On p osep ourtout x:g(x) =e1+1=x:On donneg(3;5)'3;61;g(3;7)'3;56;g0(3;5)' -0;26 a) Mon trerque g(x) =xa une unique solutionet que2[3:5;3:7] b) Etudier la monotoni ede g. Mon trerque g([3;5;3;7])[3;5;3;7]. c)

Mon trerque 8x2[3;5;3;7];jg0(x)j jg0(3;5)j 1=3.

2. Soit ula suite définie par pour toutn;un+1=g(un)etu0= 3:5. a)

Mon trerque 8n2N;un2[3;5;3;7].

b) Mon trerque 8n2N;jun+1-j 1=3jun-jpuis :jun-j (1=3)n=5 c)

En déduire la limite de (un)

2

cExercice 7.Montrer que toute fonction continuefde[a;b]dans[a;b]a un point fixe (on pourra utiliser la fonction

intermédiaireg(x) =f(x)-xet montrer qu"elle admet un point fixe).

cExercice 8.Montrer qu"une fonction continue deRdansZest constante. Montrer également que le résultat est

encore vrai en remplaçantZpar ensemble fini, puis parQ. Exercice 9.Soitgla fonction définie deR+dansRpar : g(x) =x+ 12x+ 1-ln(x) 1. Etudier g : con tinuité,limites, sens de v ariation. 2.

Préciser les branc hesinfinies de C}.

3. Mon trerque l"équation g(x) = 0admet une solution unique dans]0;+1[. Donner une valeur

approchée de cette solution en utilisant la méthode par dichotomie. Préciser la précision obtenue.

Exercice 10 - Rolles à l'inni.SoitfdansC0(R+;R)dérivable surR+vérifiantlimx!+1f(x) =f(0). 1.

P ourtout xde[0;2

[, notonsg(x) =f(tan(x)). Montrer quegest prolongeable par continuité en 2 2. En utilisan tle th éorèmede Rolles sur g, montrer qu"il existecdansR+vérifiantf0(c) = 0. Exercice 11.Montrer que pour toutxdans[0;1]:xex-1e:x(utiliser la formule des accroissements finis). cExercice 12.Résoudref2-3f+ 2 = 0dansC(R;R). cExercice 13.Montrer que : (1)8x2]1;+1[; x-x22 ln(1 +x)x(2)8x2? 0;2 ;2 sin(x)x 3

Niveau 2

Exercice 14.

Montrer que

1. la fonction n ulleest la seule foncti onqui soit à la fois paire et impaire. 2. toute fonction se décomp osede façon unique comme la somme d"une fo nctionpaire et d"une fonction impaire. Exercice 15.Montrer qu"une fonction continue et périodique définie surRest bornée. Exercice 16.1.Déterminer l"ensem bleDdes réelsxtels queex-ex>0. 2. On définit la fonction fdeDdansRparf(x) = ln(ex-ex). On note(C)sa courbe représentative dans un repère orthonormé(0;-!i ;-!j). a) Etudier les v ariationsde fet donner les limites defaux bornes deD. b)

En déduire l"existence d"un unique réel a vérifian tf(a) = 0, puis donner la valeur exacte de

a. c) Mon trerque le co ecientdirecteur de la tangen te(T)à la courbe(C)au point d"abscissea vautp5. 3. a)

Calcul erlimx!+1(f(x)-x)

b) En déduire l"équati onde l"asymptote (D)à la courbe(C)au voisinage de+1. c)

Donner la p ositionrelati vede (D)et(C).

4. Donner l"allure de la courb e(C)en faisant figurer les droites(D)et(T). On admettra quea'0;5 et quep5'2;2. Exercice 17.Soit0< a < betfdansC([a;b];R)dérivable sur]a;b[vérifiantf(a) =f(b) = 0. 1. Mon trerqu"i lexiste cdans]a;b[vérifiantf0(c) ={(c)c 2. En déduire qu"il existe cdans]a;b[tel que la tangente encpasse par l"origine

Exercice 18.Soitfdans2(R;R).

1.

Mon trerque si f01alorsf(x)-!x!+1+1.

2. Mon trerque si f000etfest bornée alorsfest constante. 4

Niveau 3

RExercice 19.Soitfune application d"un intervalleIdeRdansR. Montrer que : 1.

Si fest strictement monotone alorsfest injective.

2. Si fest injective et continue alorsfest strictement monotone (On pourra si nécessaire montrer la fonctiondeT=f(x;y)2I2= x < ygdansRdéfinie par(x;y) =f(x)-f(y)garde un signe constant.) 3. Si f(I) est un in tervalleet si fest strictement monotone, alorsfest continue.

Exercice 20.Soitfdéfinie parf(x) =x:ln(x).

1. Etudier les v ariationsde f. Préciser les branches infinies deC{. 2. Mon trerqu"il existe une fonction réelle get une seule sur l"intervalle[-1=e;+1[telle que, pour tout point x de cet intervalle, on ait :g(x):ln(g(x)) =x. 3. Etudier les v ariationsde g. En particulier, déterminer la limite degen+1. Tracer sur la mOEme figure les courbes représentatives defetg. 4. Mon trerque limx!+1ln(g(x))ln(x)= 1. En déduire lorsquextend vers+1la limite deln(g(x))x Exercice 21.Une fonctionfest une fonction holdérienne s"il existedansRetdansR+vérifiant :

8x;y2D{;jf(x)-f(y)j :jx-yj

1.

Clairemen ttoute application lipsc hitzienneest holdérienne, mais la récipro quees tfausse : mon trer

quex7!pxest une application holdérienne qui n"est pas lipschitzienne. 2.

Mon trerque si >1alorsfest constante.

3. Mon trerque toute application hol dérienneest con tinue. Exercice 22.Soitfdans1(R+;R)tel quelimx!+1f(x) =l2R. 1.

A-t-on f0(x)-!x!+10?

2. Mon trerque si fest2et sif00bornée alorsf0(x)-!x!+10. 5

Exercice 23.

Pour toute fonctionfcontinue, on note?

fla primitive defqui s"annule en 0. Donner une expression simple de la fonction : f L"expression précédente contientnfois le symbole?.

Exercice 24 - Le théorème de Darboux.Le but de l"exercice est de prouver un résultat dß à Darboux : une dérivée a toujours la propriété des

valeurs intermédiaires. Plus précisément, soitIun intervalle deRetfdans1(I;R), on va montrer

quef0(I)est un intervalle. SoientX=f0(x)etY=f0(y)deux éléments def0(I)etZdansRtels queX < Z < Y. 1.

Mon trerqu"i lexiste htel que{(x+h){(x)h

< Z <{(y+h){(y)h 2.

Mon trerqu"i lexiste ctel queZ={(c+h){(c)h

3. Mon trerenfin qu"il existe ztel queZ=f0(z). En déduire quef0(I)est un intervalle. 4.

En déduire une fonction qui ne soit pas la dérivée d"une autre. Applications à d"autres disciplines

Exercice 25 - Physique - Une dérivée naturelle . la vitesse.. Un automobiliste parcourt 500km en 5h. Considéronsd(t)la distance parcourue par le cycliste à l"instantt. 1. Dans les questions suiv antes,o nsupp oseque dn"est pas forcément dérivable. a) Mon trerqu"i lexiste une p ériodede 1h p endantla quelleil parcourt e xactement100km. b) Mon trerqu"il n"existe pas nécessa irementune p ériodede 3h p endantlaquelle il parcourt exactement300km. 2.

On supp osedans cette question que destC2.

a)

Supp osonsqu"au départ la v oitureest arrOEtée. Mon trerque l"accélé rationde l"automobilist e

devra à un instant donné dépasser40km=h2. b)

Supp osonsque la v oitureest arrOEt éeau départ et à l"ar rivéedu parcours. Mon trerque l"accé-

lération de l"automobiliste devra à un instant donné dépasser80km=h2. 6

Chap 07Continuité - Dérivabilité

Quelques exercices corrigés??

RExercice 19.Soitfune application d"un intervalleIdeRdansR. Montrer que : 1.

Si fest strictement monotone alorsfest injective.

2. Si fest injective et continue alorsfest strictement monotone (On pourra si nécessaire montrer la fonctionφdeT={(x,y)?I2/ x < y}dansRdéfinie parφ(x,y) =f(x)-f(y)garde un signe constant.) 3. Si f(I) est un in tervalleet si fest strictement monotone, alorsfest continue.

1.Soitx,ydansIdiérents. Quitte à inverser le rôle dexety, on peut supposons quex < y. Comme

fest strictement croissante alorsf(x)< f(y). Ainsif(x)?=f(y). L"applicationfest donc injective.

2.SoitM1(x1,y1)etM2(x2,y2)quelconques dansT. Montrons queφ(M1)etφ(M2)ont mOEme signe.

L"ensembleTest convexe, ainsi commeM1etM2sont dansT, le segment[M1,M2]est encore dans

T. Ainsiλ.M1+(1-λ).M2est dansTpour toutλde[0,1]. Considérons l"applicationψde[0,1]dans

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