[PDF] Université de Marseille Licence de Mathématiques 1ere année

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Universite de Marseille

Licence de Mathematiques, 1ere annee,

Analyse (limites, continuite, derivees, integration)

T. Gallou

et

July 29, 2015

Table des matieres

1 Limites3

1.1 Denition et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 Operations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3 Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.1 Quelques rappels (Parties majorees et minorees, Suites...) . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.5 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2 Continuite19

2.1 Denition et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2 Theoreme des valeurs intermediaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3 Fonction continue sur un intervalle ferme borne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.4 Fonction strictement monotone et continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.6 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3 Derivee39

3.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.2 Operations sur les derivees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.3 Theoreme des Accroissements Finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.4 Fonctions de classeCn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.6 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4 Formules de Taylor et developpements limites 68

4.1 Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

4.2 Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

4.3 Fonctions analytiques (hors programme...) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

4.4 Developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

4.5 Exemples (formules de taylor,DL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

4.6 Equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

4.8 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88
1

5 Integrale et primitives 112

5.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

5.2 Integrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

5.3 Integrale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116

5.4 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

5.5 Integration par parties, formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

5.6 Theoreme de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

5.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

5.8 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128

6 Fonctions reelles de plusieurs variables 133

6.1 Limite, continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

6.2 Dierentielle, derivees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

6.3 Recherche d'un extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143
2

Chapitre 1

Limites

1.1 Denition et proprietes

Dans tout ce document, on utilisera indierement le terme \fonction" et le terme \application". Une application (ou une fonction)fdeDdansEest la donnee pour toutx2Dde son image parf, notee f(x). (Le domaine de denition defest donc ici l'ensembleD.) lorsque nous parlerons d'une fonction deRdeR, le domaine de denition defsera doncRtout entier. Denition 1.1 (Limite nie en un point deR)Soitfune application deDRdansR,a2Ret l2R. On suppose qu'il existeb;c2Rt.q.b < a < cetD]b;a[[]a;c[. On dit quelest limite defen asi pour tout" >0, il existe >0t.q. : (x2D; x6=a;jxaj ))(jf(x)lj "): Proposition 1.1 (Unicite de la limite)Soitfune application deDRdansReta2R. On suppose qu'il existeb;c2Rt.q.b < a < cetD]b;a[[]a;c[. Soitl;m2R. On suppose quelest limite defenaet quemest aussi limite defena. Alors,l=m. D emonstration :Soit" >0. Commelest limite defena, il existe >0 t.q. x2D; x6=a;jxaj ) jf(x)lj ":

Commemest limite defena, il existe >0 t.q.

x2D; x6=a;jxaj ) jf(x)mj ":

On choisit maintenantx= min(a+;a+;a+c2

). On a alorsx6=a,x2D(cara < x < c),jxaj etjxaj . On a doncjf(x)lj "etjf(x)mj ". On en deduitjlmj 2". On a ainsi montre quejlmj 2", pour tout" >0. On en deduit quel=m. En eet, sil6=mon a jlmj>0. On choisit alors"=jlmj4 et on obtient

2"=jlmj2

et donc 21 (car" >0). Ce qui est absurde. On a donc bien, necessairement,l=m.Notation :Silest limite defena, on notel= limx!af(x).

3 Proposition 1.2 (Caracterisation sequentielle de la limite)Soitfune application deDRdans R,a2Retl2R. On suppose qu'il existeb;c2Rt.q.b < a < cetD]b;a[[]a;c[. Alors,lest la limite enadefsi et seulement siftransforme toute suite convergente versa(et prenant ses valeurs dansDn fag) en suite convergente versl, c'est-a-dire : (xn)n2NDn fag;limn!+1xn=a)limn!+1f(xn) =l: D emonstration :On suppose tout d'abord quel= limx!af(x) et on va montrer queftransforme toute suite convergente versa(et prenant ses valeurs dansDn fag) en suite convergente versl. Soit (xn)n2NDnfagt.q. limn!+1xn=a. On veut montrer que limn!+1f(xn) =l, c'est-a-dire (par denition de la limite d'une suite) que pout tout" >0 il existen02Nt.q. nn0) jf(xn)lj ":(1.1) Soit donc" >0. On cherche a montrer l'existence den0donnant (1.1). On commence par remarquer que, commel= limx!af(x), il existe >0 t.q. x2D; x6=a;jxaj ) jf(x)lj ":(1.2)

Puis, comme lim

n!+1xn=a, il existen02Nt.q. nn0) jxnaj : On a donc pournn0,xn2D,xn6=a(car la suite (xn)n2Nprend ses valeurs dansDn fag) et jxnaj . Ce qui donne, par (1.2),jf(xn)lj ". On a donc bien nn0) jf(xn)lj ":

On a donc bien montre que lim

n!+1f(xn) =l. Ce qui termine la premiere partie de la demonstration (c'est-a-dire quel= limx!af(x) implique queftransforme toute suite convergente versa(et prenant ses valeurs dansDn fag) en suite convergente versl.) On montre maintenant la reciproque. On suppose queftransforme toute suite convergente versa(et prenant ses valeurs dansDn fag) en suite convergente versl. On veut montrer quel= limx!af(x). Pour cela, on va raisonner par l'absurde. On suppose queln'est pas la limite enadef(la fonctionf peut alors avoir une limite enadierente delou bien ne pas avoir de limite ena) et on va construire une suite (xn)n2Nprenant ses valeurs dansDn fag, t.q. limn!+1xn=aetln'est pas limite def(xn) quandn!+1(en contradiction avec l'hypothese). Commeln'est pas la limite enadef, il existe" >0 t.q. pour tout >0 il existext.q. x2D; x6=a;jxaj etjf(x)lj> ":(1.3) Soitn2N. En prenant=1n+1dans (1.3), on peut donc choisir un reelxnt.q. x n2D; xn6=a;jxnaj 1n+ 1etjf(xn)lj> ":(1.4) On a ainsi construit une suite (xn)n2Nt.q. (xn)n2NDnfag, limn!+1xn=a(carjxnaj 1n+1pour toutn) etln'est pas limite def(xn) quandn!+1(carjf(xn)lj> "pour toutn). Ce qui est bien

en contradiction avec l'hypothese queftransforme toute suite convergente versa(et prenant ses valeurs

dansDn fag) en suite convergente versl. Ce qui termine la demonstration de la proposition 1.2.4

Remarque 1.1Il est souvent pratique d'utiliser la caracterisation sequentielle de la limite. Soit, par

exemple, une fonctionfdeRdansR,Aune partie non vide majoree deRetala borne superieure deA.

Soit ennm2R. On suppose que

1.f(x)mpour toutx2A,

2. lim x!af(x) =f(a). On veut montrer quef(a)m. Bien s^ur, ceci est immediat sia2A(et il sut alors d'utiliser la premiere condition !) mais est un peu moins immediat sia62A. Dans ce cas (a62A), on remarque qu'il existe une suite (xn)n2Nd'elements deAt.q. limn!+1xn=a(ceci est donne dans la proposition 1.3).

Comme lim

x!af(x) =f(a), on a donc limn!+1f(xn) =f(a) et commef(xn)mpour toutn2N, on en deduit bien quef(a)m.

Proposition 1.3SoitAune partie non vide deR.

1. O ns upposeq ueAest majoree et on posea= sup(A). Il existe alors une suite(xn)n2Nd'elements deAt.q.limn!+1xn=a. 2. O ns upposeq ueAn'est pas majoree. Il existe alors une suite(xn)n2Nd'elements deAt.q. lim n!+1xn= +1. D

emonstration :Cette demonstration est laissee en exercice (exercice 1.6).Denition 1.2 (Limite nie a droite (ou a gauche) en un point deR)Soitfune application de

DRdansR,a2Retl2R.

1. O ns upposeq u'ile xistec2Rt.q.a < cetD]a;c[. On dit que silest limite a droite defena si pour tout" >0il existe >0t.q. : x2D; a < xa+) jf(x)lj ": 2. O ns upposeq u'ile xisteb2Rt.q.b < aetD]b;a[. On dit quelest limite a gauche defenasi pour tout" >0il existe >0t.q. : x2D; ax < a) jf(x)lj ": Proposition 1.4 (Unicite de la limite a droite (ou a gauche))Soitfune application deDR dansReta2R. 1. O nsu pposeq u'ile xistec2Rt.q.a < cetD]a;c[. Sifadmet une limite (nie) a droite ena, cette limite est unique. 2. O nsu pposeq u'ile xisteb2Rt.q.b < aetD]b;a[. Sifadmet une limite (nie) a gauche ena, cette limite est unique. D

emonstration :La demonstration de l'unicite de la limite a droite est tres voisine de la demonstration

de l'unicite de la limite faite pour la proposition 1.1. On reprend ici cette demonstration. On suppose

quelest limite a droite defenaet quemest aussi limite a droite defena. Soit" >0. Commelest limite a droite defena, il existe >0 t.q. x2D;a < xa+) jf(x)lj ": 5 Commemest limite a droite defena, il existe >0 t.q. x2D;a < xa+) jf(x)mj ":

On choisit maintenantx= min(a+;a+;a+c2

). On a alorsx2D,a < xa+eta < xa+. On a doncjf(x)lj "etjf(x)mj ". On en deduitjlmj 2". On a ainsi montre quejlmj 2", pour tout" >0. Comme dans la proposition 1.1, on en deduit que l=m. Ce qui donne l'unicite de la limite a droite defena.

La demonstration de l'unicite de la limite a gauche est semblable et est laissee en exercice.Notation :Silest limite a droite defena, on notel= limx!a;x>af(x). Silest limite a gauche def

ena, on notel= limx!a;xemonstration :Cette demonstration (dans le casD=Rn fag) est laisse en exercice (exercice 1.9).Proposition 1.6 (Caracterisation sequentielle de la limite a droite)

Soitfune application deDRdansR,a2Retl2R. On suppose qu'il existec2Rt.q.a < cet

D]a;c[. On a alors :

1.lest la limite a droite enadefsi et seulement siftransforme toute suite convergente versa,

prenant ses valeurs dansDn faget \superieure" aa, en suite convergente versl, c'est-a-dire : (xn)n2ND; xn> apour toutn2N;limn!+1xn=a)limn!+1f(xn) =l:

2.lest la limite a droite enadefsi et seulement siftransforme toute suite convergente versa,

prenant ses valeurs dansDn faget decroissante, en suite convergente versl, c'est-a-dire : (xn)n2ND; a < xn+1xnpour toutn2N;limn!+1xn=a)limn!+1f(xn) =l: D emonstration :

La demonstration du premier item est tres voisine de celle faite pour la proposition 1.2. On reprend donc

ici la demonstration de la proposition 1.2. On suppose tout d'abord quel= limx!a;x>af(x) et on va montrer queftransforme toute suite conver- gente versa, prenant ses valeurs dansDn faget \superieure" aa, en suite convergente versl. Soit (xn)n2NDt.q. limn!+1xn=aeta < xnpour toutn2N.

On veut montrer que lim

n!+1f(xn) =l, c'est-a-dire (par denition de la limite d'une suite) que pout tout" >0 il existen02Nt.q. nn0) jf(xn)lj ":(1.5) Soit donc" >0. On cherche a montrer l'existence den0donnant (1.5). On commence par remarquer que, commel= limx!a;x>af(x), il existe >0 t.q. x2D;a < xa+) jf(x)lj ":(1.6) 6

Puis, comme lim

n!+1xn=a(et quexn> apour toutn2N), il existen02Nt.q. nn0)a < xna+: On a donc pournn0,xn2D(car la suite (xn)n2Nprend ses valeurs dansD) eta < xna+. Ce qui donne, par (1.6),jf(xn)lj ". On a donc bien nn0) jf(xn)lj ":

On a donc bien montre que lim

n!+1f(xn) =l. Ce qui termine la premiere partie de la demonstration (c'est-a-dire quel= limx!af(x) implique queftransforme toute suite convergente versa, prenant ses valeurs dansDn faget \superieure" aa, en suite convergente versl.) On montre maintenant la reciproque. On suppose queftransforme toute suite convergente versa, prenant ses valeurs dansDn faget \superieure" aa, en suite convergente versl. On veut montrer que l= limx!a;x>af(x). Pour cela, on va raisonner par l'absurde. On suppose queln'est pas la limite a droite enadef(la fonctionfpeut alors avoir une limite a droite enadierente delou bien ne pas avoir de limite a droite ena) et on va construire une suite (xn)n2Nprenant ses valeurs dansDn fag, \superieure"aa, t.q. limn!+1xn=aet t.q.ln'est pas limite def(xn) quandn!+1(en contradiction avec l'hypothese). Commeln'est pas la limite a droite enadef, il existe" >0 t.q. pour tout >0 il existext.q. x2D; a < xa+etjf(x)lj> ":(1.7) Soitn2N. En prenant dans (1.7)=1n+1, on peut donc choisirxnt.q. x n2D; a < xna+1n+ 1etjf(xn)lj> ": on obtient ainsi une suite (xn)n2NDn fag, \superieure" aa, tendant versa, quandn!+1, et dont l'image parfne tend versl. Ce qui est bien en contradiction avec l'hypothese queftransforme toute suite convergente versa, prenant ses valeurs dansDn faget \superieure" aa, en suite convergente vers l. Ce qui termine la demonstration du premier item de la proposition 1.6. On montre maintenant le deuxieme item. La premiere partie est immediate. Sil= limx!a;x>a, la fonctionftransforme toute suite convergente versa, prenant ses valeurs dansDn faget decroissante, en suite convergente versl(car une telle suite est necessairement \superieure" aa). Pour montrer la

reciproque, on raisonne une nouvelle fois par l'absurde. On suppose queln'est pas la limite a droite en

adef. La demonstration du premier item a permis de montrer qu'il existait" >0 et une suite (xn)n2N veriant a < x n; xn2D;jf(xn)lj> "pour toutn2Net limn!+1xn=a: Il sut de modier legerement cette suite pour la rendre decroissante. Pourn2Non poseyn= min(x0;:::;xn). La suite (yn)n2Nverie alors (en remarquant queynest l'un desxppourpnet quea < ynxn) a < y n+1yn; yn2D;jf(yn)lj> "pour toutn2Net limn!+1yn=a:

la suite (yn)n2Nprend donc ses valeurs dansDnfag, est decroissante, converge versaet la suite (f(yn))n2N

ne converge pas versl. Ceci est en contradiction avec l'hypothese. La demonstration de la proposition 1.6

est terminee.7

Bien s^ur, une caracterisation analogue est possible pour la limite a gauche. Dans le premier item, on rem-

place \superieure" par \inferieure" et dans le deuxieme item, on remplace \decroissante" par \croissante",

voir l'exercice 1.9. Exemple 1.1On prend iciD=]0;1[ et on cherche la limite a droite defen 0 dans les deux exemples suivants : 1.

P ourx2D,f(x) = sin(1x

). Pour cet exemple,fn'admet pas de limite a droite en 0. 2.

P ourx2D,f(x) =xsin(1x

). Pour cet exemple, limx!0;x>0f(x) = 0. Denition 1.3 (Limite innie en 1 point, limites en1)

Soitfune application deDRdansR.

1. Soi ta2R. On suppose qu'il existeb;c2Rt.q.D]b;a[[]a;c[etb < a < c. On dit que lim x!af(x) = +1si pour toutA2Ril existe >0t.q. : x2D; x6=a;jxaj )f(x)A: 2. Soi tl2R. On suppose qu'il existeb2Rt.q.D]b;+1[. On dit quelimx!+1f(x) =lsi pour tout" >0, il existeM >0t.q. : x2D; xM) jf(x)lj ": 3. O ns upposeq u'ile xisteb2Rt.q.D]b;+1[. On dit quelimx!+1f(x) = +1si pour toutA2R il existeM >0t.q. : x2D; xM)f(x)A: Bien s^ur, des denitions analogues existent avec1au lieu de +1et, dans le cas du premier item,

il est aussi possible de denir des limites innies a droite et a gauche. Il est suggere d'ecrire de telles

denitions.

Exemple 1.2On prend iciD=]0;1[f(x) =1x

2pourx2D. On a alors ;

1. lim x!0;x>0f(x) = +1, 2. lim x!+1f(x) = 0.

1.2 Operations sur les limites

Proposition 1.7 (Limite d'une somme, d'un produit et d'un quotient) Soitf;gdeux applications deDRdansReta;b;c2Rt.q.b < a < cetD]b;a[[]a;c[. Soitl;m2R t.q.limx!af(x) =letlimx!ag(x) =m. Alors :

1.limx!a(f+g)(x) =l+m,

2.limx!afg(x) =lm,

8

3.Si m6= 0, il existe >0t.q.]a;a[[]a;a+[Detg(x)6= 0pour toutx2]a;a[[]a;a+[

(de sorte quef=gest bien denie sur]a;a[[]a;a+[) et on a : lim x!afg (x) =lm D emonstration :Les items 1 et 3 sont laisses en exercice (exercice 1.10). On montre ici le deuxieme item.

On veut montrer que lim

x!afg(x) =lm, c'est-a-dire que pour tout" >0 il existe >0 t.q. x2D; x6=a;jxaj ) jfg(x)lmj ":(1.8) Soit" >0. On cherche donc >0 veriant (1.8). Pourx2D, on rappelle quefg(x) =f(x)g(x). On commence par remarquer quefg(x)lm=fg(x)lg(x) +lg(x)lm, de sorte que jfg(x)lmj jf(x)ljjg(x)j+jljjg(x)mj:(1.9)

Comme lim

x!ag(x) =m, il existe1>0 t.q. x2D; x6=a;jxaj 1) jg(x)mj "2(jlj+ 1); de sorte que x2D; x6=a;jxaj 1) jljjg(x)mj "2 :(1.10)

Il existe aussia2>0 t.q.

x2D; x6=a;jxaj 2) jg(x)mj 1) jg(x)j jmj+ 1; de sorte que x2D; x6=a;jxaj 2) jf(x)ljjg(x)j jf(x)lj(jmj+ 1):(1.11)quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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