Limites – Corrections des Exercices PDF

Limites asymptotes EXOS CORRIGES

3) Si une fonction f a pour limite -1 en +? alors

Limites – Corrections des Exercices

(limite de quotient de fonctions). — b. g(x)=5x ? 1 +. 1 x ? 3 en +?

MATH Tle D OK 2

La présente annale destinée à la classe de terminale D a pour but d'aider si ? 0; sont les mêmes que celles sur les limites des fonctions numériques.

Terminale générale - Limites de fonctions - Exercices

Dans chacun des cas suivants on donne certaines limites d'une fonction f. Donner une interprétation graphique de chacune de ces limites. Exercice 3 corrigé

I Exercices

de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 2 : Limites et asymptotes. I Exercices. 1 Limites sans indétermination. Calculer les limites des fonctions suivantes

de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1

Déterminer les limites en 1 et la limite en +?. Que peut-on en déduire pour (Cf )?. 4. Calculer la fonction dérivée de f et étudier son signe. 5. Dresser

livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques

fonctions : limite continuité

Limites de fonctions

Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une limite finie en +?. Indication ?. Correction ? Indication pour l'exercice 6 ?. Réponse :.

ficall.pdf

1. Calculer Card(Ai). 2. Exprimer Sn ?Dn en fonction des Ai. 3. En déduire Card(Dn) (on pourra utiliser l'exercice 277). 4. Déterminer la limite de. CardDn.

Limite continuité

dérivabilité

DAEU-B - MathsLimites - Corrections des ExercicesUGA 2020-2021Limites - Corrections des Exercices

Exercice n

Premiers calculs de limites.

a.Limites en+∞(quandxdevient arbitrairement grand). (a)limx→+∞2020-x (b)limx→+∞12020-x (c)limx→+∞2020-1x (d)limx→+∞3x2+ 2x3 (e)limx→+∞3x2+1x (f)limx→+∞13x2+ 1(g)limx→+∞⎷3x2+ 1 (h)limx→+∞3x 2-5x -2 (i)limx→+∞2⎷3x-5

Correction :

(a)limx→+∞2020-x=-∞, carxdevient arbitrairement grand, avec un coefficient negatif.

(b)limx→+∞12020-x= 0, car on divise1par2020-x, une quantité arbitrairement grande (né-

gative). (c)limx→+∞2020-1x = 2020, car1x devient arbitrairement petit.

(d)limx→+∞3x2+ 2x3= +∞, car on ajoute deux quantités,3x2et2x3, qui deviennent arbitraire-

ment grandes. (e)limx→+∞3x2+1x = +∞, car on ajoute,3x2, une quantité qui deviennent arbitrairement grandes et 1x , qui devient arbitrairement petit. (f)limx→+∞13x2+ 1= 0, car on divise1par3x2+ 1, une quantité arbitrairement grande.

(g)limx→+∞⎷3x2+ 1 = +∞, car on met dans la racine carrée une quantité arbitrairement grande,

donc cette racine devient elle aussi arbitrairement grande. (h)limx→+∞3x 2-5x -2 =-2car les deux quantités3x 2et5x deviennent arbitrairement petites, donc tendent vers0, et seul reste-2.

(i)limx→+∞2⎷3x-5= 0, car la quantité3x-5devient arbitrairement grande, donc⎷3x-5

aussi, et donc son inverse devient arbitrairement petit. b.Limites en-∞(quandxdevient arbitrairement grand dans les négatifs). (a)limx→-∞3x2 (b)limx→-∞2020-x (c)limx→-∞2020-1x (d)limx→-∞3x2-2x3 (e)limx→-∞3x2+1x (f)limx→-∞13x2+ 1(g)limx→-∞⎷3x2+ 1 (h)limx→-∞3x 2-5x -2 (i)limx→-∞2⎷5-3x

Correction :

(a)limx→-∞3x2= +∞, carx2, et donc3x2, est positif et devient arbitrairement grand. -1-

DAEU-B - MathsLimites - Corrections des ExercicesUGA 2020-2021(b)limx→-∞2020-x= +∞, carxdevient arbitrairement grand dans les négatif, et est multipliíe

par un coefficient negatif. (c)limx→-∞2020-1x = 2020, car1x devient arbitrairement petit.

(d)limx→-∞3x2-2x3= +∞, car on ajoute deux quantités,3x2et-2x3, qui deviennent arbitrai-

rement grandes. (e)limx→-∞3x2+1x = +∞, car on ajoute,3x2, une quantité qui deviennent arbitrairement grandes et 1x , qui devient arbitrairement petit.

(f)limx→-∞13x2+ 1= 0, car on divise1par3x2+1, une quantité arbitrairement grande (positive).

(g)limx→-∞⎷3x2+ 1 = +∞, car on met dans la racine carrée3x2+1, une quantité arbitrairement

grande, donc cette racine devient elle aussi arbitrairement grande. (h)limx→-∞3x 2-5x -2 =-2, car les deux quantités3x 2et5x deviennent arbitrairement petites, donc tendent vers0, et seul reste-2.

(i)limx→-∞2⎷5-3x= 0, car la quantité5-3xdevient arbitrairement grande, donc⎷5-3x

aussi, et donc son inverse devient arbitrairement petit. c.Limites en un point (quandxtend vers une valeur finie). (a)limx→202112020-x (b)limx→13x2+1x (c)limx→1⎷3x2+ 1 2 (f)limx→23x2+ 2x3

Correction :

(a)limx→23x2+ 2x3= 28, car3.22+ 2.23= 3.4 + 2.8 = 28. (b)limx→13x2+1x = 4, car3.12+ 1/1 = 4. (c)limx→1⎷3x2+ 1 = 2, car3x2+ 1tend vers3.12+ 1 = 4et⎷4 = 2. (d)limx→22⎷3x-5= 2, car3x-5tend vers3.2-5 = 1et2⎷1 = 2/1 = 1. (e)limx→202112020-x=-1, car2020-Xtend vers2020-2021 =-1. (f)limx→02-1x

2= +∞, car on divise1parx2, une quantité arbitrairement grande positive.

d.Limites à gauche et à droite d"un point. (a)limx→2+12x-4 (f)limx→1-3x2+1⎷1-x

Correction :

-2-

DAEU-B - MathsLimites - Corrections des ExercicesUGA 2020-2021(a)limx→2+12x-4= +∞, car2x-4tend vers0en étantpositif, donc12x-4devient arbitrairement

grand dans les positifs. (b)limx→2-12x-4=-∞, car2x-4tend vers0en étantnégatif, donc12x-4devient arbitraire- ment grand dans les négatifs. (c)limx→2+1(2x-4)4= +∞, car(2x-4)2tend vers0en étantpositif, donc1(2x-4)2devient arbitrairement grand dans les positifs. (d)limx→2-1(2x-4)4= +∞, car(2x-4)2tend vers0en étantpositif, donc1(2x-4)2devient arbitrairement grand dans les positifs. (e)limx→0+3x2+1⎷x = +∞, car3x2tend vers0, tandis que⎷xtend vers0en étantpositif, donc

1⎷x

devient arbitrairement grand dans les positifs.

(f)limx→1-3x2+1⎷1-x= +∞, car3x2tend vers3, tandis que⎷1-xtend vers0en étantpositif,

donc

1⎷1-xdevient arbitrairement grand dans les positifs.

Exercice n

o2 Déterminer les limites suivantes aux valeurs demandées. (1).a.limx→α-2x3, pourα= 2,+∞et-∞. b.limx→α3⎷x, pourα= +∞et4.

Correction :

a.limx→α-2x3, pourα= 2,+∞et-∞.

Limite quandxtend vers2:

limx→2x3= 23= 8, donclimx→2-2x3=-2.8 =-16.

Limite quandxtend vers+∞:

limx→+∞x3= +∞, donc, puisque-2<0, on alimx→2-2x3=-∞.

Limite quandxtend vers-∞:

limx→-∞x3=-∞, donc, puisque-2<0, on alimx→2-2x3= +∞. b.limx→α3⎷x, pourα= +∞et4.

Limite quandxtend vers+∞:

limx→+∞⎷x, donclimx→+∞3⎷x= +∞.

Limite quandxtend vers4:

limx→4⎷x=⎷4 = 2, donclimx→43⎷x= 3.2 = 6. (2).a.limx→αx3+1x , pourα= 2,+∞et-∞. -3-

DAEU-B - MathsLimites - Corrections des ExercicesUGA 2020-2021b.limx→αx3+x2, pourα= 2,+∞et-∞.

c.limx→α2x2-3x+⎷x, pourα= 2et+∞.

Correction :

a.limx→αx3+1x , pourα= 2,+∞et-∞.

Limite quandxtend vers2:

lim x→2x3= 23= 8etlimx→21x =12 , donclimx→2x3+1x = 8×(-12 ) =-4.

Limite quandxtend vers+∞:

lim x→+∞x3= +∞etlimx→+∞1x = 0, donc on alimx→+∞x3+1x

Limite quandxtend vers-∞:

lim = 0, donc on alimx→-∞x3+1x b.limx→αx3+x2, pourα= 2,+∞et-∞.

Limite quandxtend vers2:

lim x→2x3= 23= 8etlimx→2x2= 4, donclimx→2x3+x2= 8 + 4 = 12.

Limite quandxtend vers+∞:

lim x→+∞x3= +∞etlimx→+∞x2= +∞, donc on alimx→+∞x3+x2= +∞.

Limite quandxtend vers-∞:

lim

x→-∞x3=-∞etlimx→-∞x2= 0, donclimx→-∞x3+x2mène à uneForme Indéterminée "∞-∞".

Pour lever cette forme indéterminée, on factorise l"expression et on utilise les règles de limite

d"un produit :x3+x2=x3(1 +1x )et puisquelimx→-∞(1 +1x ) = 1, on obtientlimx→-∞x3+x2= lim x→-∞x3(1 +1x c.limx→α2x2-3x+⎷x, pourα= 2et+∞.

Limite quandxtend vers2:

lim

x→22x2= 2.22= 8,limx→2-3x=-3.2 =-6etlimx→2⎷x=⎷2, donclimx→22x2-3x+⎷x= 8-6+⎷2 =

2 +⎷2.

Limite quandxtend vers+∞:

lim

x→+∞2x2= +∞,limx→+∞-3x=-∞etlimx→+∞⎷x= +∞, donc on a uneForme Indéterminée

En factorisant parx2, on obtient2x2-3x+⎷x=x2? 2-3x +1x ⎷x . Orlimx→+∞x2= +∞et lim x→+∞? 2-3x +1x ⎷x = 2, donc on obtientlimx→+∞2x2-3x+⎷x= +∞ (3).a.limx→αx3?1x -1?, pourα= 2,+∞et-∞. -4-

DAEU-B - MathsLimites - Corrections des ExercicesUGA 2020-2021b.limx→α(3x+ 2)(x2-5), pourα= 0,+∞et-∞.

c.limx→α1x (3-⎷x), pourα= 2et+∞.

Correction :

a.limx→αx3?1x -1? , pourα= 2,+∞et-∞.

Limite quandxtend vers2:

lim x→2x3= 23= 8etlimx→21x -1 =12 -1 =-12 , donclimx→2x3?1x -1? = 8 +12 =172

Limite quandxtend vers+∞:

lim x→+∞x3= +∞etlimx→+∞1x -1 =-1, donc, puisque-1<0, on alimx→+∞x3?1x -1?

Limite quandxtend vers-∞:

lim -1 =-1, donc, puisque-1<0, on alimx→-∞x3?1x -1? b.limx→α(3x+ 2)(x2-5), pourα= 0,+∞et-∞.

Limite quandxtend vers0:

limx→23x+ 2 = 2etlimx→2x2-5 =-5, donclimx→2(3x+ 2)(x2-5) = 2.(-5) =-10.

Limite quandxtend vers+∞:

limx→+∞3x+ 2 = +∞etlimx→+∞x2-5 =-1, donc on alimx→+∞(3x+ 2)(x2-5) = +∞.

Limite quandxtend vers-∞:

limx→-∞3x+ 2 =-∞etlimx→-∞x2-5 = +∞, donc on alimx→-∞(3x+ 2)(x2-5) =-∞.

c.limx→α1x (3-⎷x), pourα= 2et+∞.

Limite quandxtend vers2:

lim x→21x =12 etlimx→23-⎷x= 3-⎷2, donclimx→21x (3-⎷x) =3-⎷2 2

Limite quandxtend vers+∞:

lim x→+∞1x

= 0etlimx→+∞3-⎷x=-∞1, donc on obtient uneForme Indéterminée "0× ∞".

En développant, on obtient

1x (3-⎷x) =3x -1⎷x . Orlimx→+∞3x = 0etlimx→+∞1⎷x = 0, donc on obtientlimx→+∞1x (3-⎷x) =3x -1⎷x = 0, par somme de limites. (4).a.limx→α? 1x -2?2x+ 1, pourα= 2,+∞et-∞. b.limx→α2x+ 1? 1x -2?, pourα= +∞et-∞. c.limx→α1/x2/⎷x , pourα= +∞. -5- DAEU-B - MathsLimites - Corrections des ExercicesUGA 2020-2021d.limx→α1x -2-3⎷x , pourα= +∞. e.limx→α2x2+ 3x+ 43x2+ 5, pourα= 0et+∞.

Correction :

a.limx→α? 1x -2?2x+ 1, pourα= 2,+∞et-∞.

Limite quandxtend vers2:

lim x→21x -2 =12 -2 =-32 etlimx→22x+ 1 = 5, donclimx→2? 1x -2?2x+ 1=-32×5-310

Limite quandxtend vers+∞:

lim x→+∞1x -2 =-2etlimx→+∞2x+ 1 = +∞, donc on alimx→+∞? 1x -2?2x+ 1= 0.

Limite quandxtend vers-∞:

lim x→-∞1x -2 =-2etlimx→-∞2x+ 1 =-∞, donc on alimx→-∞? 1x -2?2x+ 1= 0. b.limx→α2x+ 1? 1x -2?, pourα= +∞et-∞.

Limite quandxtend vers+∞:

lim x→+∞2x+ 1 = +∞etlimx→+∞1x -2 =-2, donc, puisque-2<0, on alimx→+∞? 1x -2?2x+ 1=-∞.

Limite quandxtend vers-∞:

lim x→-∞2x+ 1 =-∞etlimx→-∞1x -2 =-2, donc, puisque-2<0, on alimx→-∞? 1x -2?2x+ 1= +∞. c.limx→α1/x2/⎷x , pourα= +∞. lim x→+∞1/x= 0etlimx→-∞2/⎷x= 0, donc on obtient uneForme Indéterminée "00 ". On change donc l"expression de la fonction, en simplifiant la fraction :

1/x2/⎷x

=⎷x 2x=12 ⎷x

On obtient quelimx→+∞1/x2/⎷x

= limx→+∞12 ⎷x = 0. d.limx→α1x -2-3⎷x , pourα= +∞. lim x→+∞1/x-2 =-2etlimx→-∞-3⎷x = 0. Mais pour déterminer la limite du quotient, nous devons être plus précis, et indiquer le signe du dénominateur : on a toujours ⎷x≥0, donc-3⎷x tend vers 0 : on note celalimx→-∞-3⎷x = 0-. Et par les règles de limite de quotient, on obtient : lim x→+∞1x -2-3⎷x e.limx→α2x2+ 3x+ 43x2+ 5, pourα= 0et+∞.

Limite quandxtend vers0:

-6- DAEU-B - MathsLimites - Corrections des ExercicesUGA 2020-2021lim x→02x2+ 3x+ 4 = 4etlimx→03x2+ 5 = 5, donclimx→02x2+ 3x+ 43x2+ 5=45

Limite quandxtend vers+∞:

limx→+∞2x2+ 3x+ 4 =-2etlimx→+∞3x2+ 5 = +∞, donc on obtient uneForme Indéterminée

". A nouveau, pour lever l"indéterminée, on change donc l"expression de la fonction; ici, l"idée

est defactoriser le numérateur et le dénominateur par la plus grand puissance dex:

2x2+ 3x+ 43x2+ 5=x2(2 + 3/x+ 4/x2)x

2(3 + 5/x2)=2 + 3/x+ 4/x23 + 5/x2.

Maintenant, on alimx→+∞2 + 3/x+ 4/x2= 2etlimx→+∞3 + 5/x2= 3, don on obtient que lim x→+∞2x2+ 3x+ 43x2+ 5=23

Exercice n

Déterminer les limites des fonctions suivantes aux valeurs demandées (en distinguant, si besoin,

les limites à gauche et à droite. a.f(x) =4x4-xen0et en4.

Correction :limx→0f(x) =4.04-0=04

= 0.

On alimx→4x>4(4-x) = 0-, tandis quelimx→4x<4(4-x) = 0+. Donclimx→4x>4f(x) =-∞etlimx→4x<4f(x) = +∞

(limite de quotient de fonctions).quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] Limites – Corrections des Exercices

Exercice n

Premiers calculs de limites.

Correction :

Correction :

Correction :

2= +∞, car on divise1parx2, une quantité arbitrairement grande positive.

Correction :

1⎷x

1⎷1-xdevient arbitrairement grand dans les positifs.

Exercice n

Correction :

Limite quandxtend vers2:

Limite quandxtend vers+∞:

Limite quandxtend vers-∞:

Limite quandxtend vers+∞:

Limite quandxtend vers4:

Correction :

Limite quandxtend vers2:

Limite quandxtend vers+∞:

Limite quandxtend vers-∞:

Limite quandxtend vers2:

Limite quandxtend vers+∞:

Limite quandxtend vers-∞:

Limite quandxtend vers2:

2 +⎷2.

Limite quandxtend vers+∞:

Correction :

Limite quandxtend vers2:

Limite quandxtend vers+∞:

Limite quandxtend vers-∞:

Limite quandxtend vers0:

Limite quandxtend vers+∞:

Limite quandxtend vers-∞:

Limite quandxtend vers2:

Limite quandxtend vers+∞:

En développant, on obtient

Correction :

Limite quandxtend vers2:

Limite quandxtend vers+∞:

Limite quandxtend vers-∞:

Limite quandxtend vers+∞:

Limite quandxtend vers-∞:

1/x2/⎷x

On obtient quelimx→+∞1/x2/⎷x

Limite quandxtend vers0:

Limite quandxtend vers+∞:

2x2+ 3x+ 43x2+ 5=x2(2 + 3/x+ 4/x2)x

2(3 + 5/x2)=2 + 3/x+ 4/x23 + 5/x2.

Exercice n

Correction :limx→0f(x) =4.04-0=04