[PDF] [PDF] Licence 2 – Courbes et surfaces

View - Download [PDF] Licence 2 – Courbes et surfaces

Previous PDF

Next PDF

Universite Claude Bernard Lyon 1

Licence 2 { Courbes et surfaces

Corrige du contr^ole continu nal

Jeudi 16 juin 2011 - Duree 2 heures

Les documents sont autorises mais les calculettes sont interdites (car inu- tiles). Les deux exercices sont independants. Il sera tenu compte de la qualite de la redaction pour l'attribution d'une note. Le QCM. {On repond par vrai ou faux, sans justier. Dans les questions, Iest un intervalle ouvert non vide et toutes les applications sontC1sauf mention explicite du contraire.

1.{Il n'existe pas de courbe parametree de classeC1dont le support soit

=f(0;y)jy2R+g [ f(x;0)jx2R+g:

Rep.{Faux, choisir

(t) = (0;t2) sit0 et (t) = (t2;0) sit >0:

2.{Le support de la courbe

:R!R3,t7!(cos(cost);sin(cos(t));cos(t)) est inclu dans une sphere.

Rep.{Faux, le support de

est celui d'une helice circulaire.

3.{La courbe polaire() =1sinou2]0;[ a pour support une droite.

Rep.{Vrai, son support est une droite horizontale passant par le point (0;1):

4.{SoientO= (0;0) etA= (2;0) deux points du plan etP= [O;A]

[12 ;12 ]:Alors, il existe une courbe plane bireguliere a courbure constante1 joignantOetAet dont le support est contenu dansP: Rep.{Faux, les supports des courbes planes biregulieres a courbure constante sont des arcs de cercles. Puisque la courbure est1, le support contient necessairement un demi- cercle de rayon 1 centre en (1;0). Ce support n'est pas contenu dansP: 1

5.{Soit

: [0;2]!R2,t7!(cos3t;sin3t):L'aire du domaine delimite par vaut38 Rep.{Vrai, appliquer la formule de Green-Riemann pour le verier.

6.{Soit

: [0;2]!R2une courbe plane bireguliere fermee. Si le support de est un cercle alors l'indice de rotation de vaut1.

Rep.{Faux,

peut parcourir plusieurs fois son support...

7.{Soit

: [0;2]!R2une courbe fermee simpleC2etrune re exion quelconque du plan, alorsInd(r ) =Ind(

Rep.{Vrai, une re

exion change le sens des bases donckalg(r ) =kalg( ) et la formuleInd( ) =12Z 2 0 k alg(t)k

0(t)kdtpermet de conclure.

8.{Soith:R!Rstrictement croissante alors la surface parametree

(u;v)7!(h(u)cosv;h(u)sinv;u);(u;v)2R2est reguliere. Rep.{Faux, elle est irreguliere aux points (u;v) tels queh(u) = 0:

9.{L'aire de la surface parametree (u;v)7!((2+cosu)cosv;(2+cosu)sinv;sinu),

(u;v)2[0;2][0;2];vaut 82.

Rep.{Vrai, il sut de faire le calcul.

10.{L'helicode (u;v)7!(vcosu;vsinu;v) ne possede aucun plan tangent

contenant une droite verticale. Rep.{Faux, les plans tangents aux points (u;0) contiennent la droite verticale passant par l'origine. Exercice 1 (Une courbecouture de la balle de tennis). {Soienta;bdeux reels strictement positifs. On considere la courbe : [0;2[!R3donnee 2 par t7! (t) =8 :x(t) =acost+bcos3t y(t) =asintbsin3t z(t) = 2pabsin2t

1) Determiner les points reguliers de

Rep.{On a

k

0(t)k2= (asint3bsin3t)2+ (acost3bcos3t)2+ 4ab(2cos2t)2

=a2+ 9b26ab(cos3tcostsin3tsint) + 8ab(1 + cos4t) =a2+ 9b26abcos4t+ 8ab(1 + cos4t) =a2+ 9b2+ 8ab+ 2abcos4t =a2+ 9b2+ 6ab+ 2ab(1 + cos4t) = (a+ 3b)2+ 4abcos22t:

Tous les points sont donc reguliers.

2) Montrer que le support de

est inclus dans une sphere que l'on determinera.

Rep.{On a

k (t)k2= (acost+bcos3t)2+ (asintbsin3t)2+ 4absin22t =a2+b2+ 2ab(costcos3tsintsin3t) + 2ab(1cos4t) =a2+b2+ 2abcos4t+ 2ab(1cos4t) = (a+b)2:

Le support de

est donc inclus dans une sphere de centre l'origine et de rayona+b:

3) Soitrla rotation deR3d'angleautour de la verticale (on dit querest

unretournement). Montrer que le support de est invariant parr: Rep.{On a d'une partr(x;y;z) = (x;y;z) et d'autre part (t+) = (x(t);y(t);z(t) d'ou la conclusion.

4) Determiner les points d'intersection de avec l'equateur de la sphere.

Rep.{Il sut de resoudre l'equationz(t) = 0 et on trouvet= 0;2 ; et32 :Les points correspondants sont (0) = (a+b;0;0); (2 ) = (0;a+b;0); () = ((a+b);0;0); (32 ) = (0;(a+b);0): 3

5) Pour quelle(s) valeur(s) debla courbe a-t-elle une tangente verticale aux

points d'intersection avec l'equateur?

Rep.{On a

0(0) = (0;a3b;4pab);

0(2 ) = (a+ 3b;0;4pab) et

0() = (0;a+ 3b;4pab);

0(32 ) = (a3b;0;4pab): Par consequent, la courbe a une tangente verticale aux points d'intersection avec l'equateur ssib=a3 :Exercice 2 (Surfaces cyclotomiques).{SoitIun intervalle non vide de R:. A toute courbe polaire:IC1!R+on associe la surface parametree f:I[0;2[!R3denie par (u;v)7!f(u;v) =8 :x(u;v) =(u)cosucosv y(u;v) =(u)sinucosv z(u;v) =(u)sinv

1) Montrer quefest reguliere si et seulement siest reguliere.

Rep.{On a

f u(u;v) =0 @0(u)cosucosv

0(u)sinucosv

0(u)sinv1

A +0 @(u)sinucosv (u)cosucosv 01 A etfv(u;v) =0 @(u)cosusinv (u)sinusinv (u)cosv1 A D'ou (fu^fv)(u;v) =0(u)(u)0 @sinu cosu 01 A +2(u)0 @cosucosv sinucosv sinv1 A 4 Ainsi kfu^fv(u;v)k=(u)p

02(u) +2(u):

2) On suppose quefest reguliere. Donner l'expression d'une normale en

(u;v) af. Rep.{Une normale, non necessairement unitaire, est donnee parfu^fvdont l'expres- sion gure ci-dessus.

3) On suppose desormais que:RC1!R+. Montrer que le support defest

une union innie de cercles. Rep.{Soitu02Ialorsv7!f(u0;v) est un cercle de rayon(u)>0:Notons-leCu0.

Soit le support de f, on a donc

u2IC u:

4) Montrer que siest strictement monotone alorsfn'a pas de point double

(i. e. est injective). Rep.{En eet,f(u1;v1) =f(u2;v2) entra^nekf(u1;v1)k=kf(u2;v2)k:Puisque kf(u;v)k=(u) cela entra^ne(u1) =(u2);et commeest injective (car strictement monotone) on a doncu1=u2:D'apres 3), (u1;v1) et (u1;v2) sont dans le m^eme cercle C u1et ils ne concident que siv1=v2:

5) On suppose que: ]0;1]!R+; u7!u(i.e.est l'identite!). Determiner

l'aire def:

Rep.{On a (question 1)

Aire(f) =Z

2 0Z 1 0 (u)p

02(u) +2(u)dudv

soit ici

Aire(f) =Z

2 0Z 1 0 up1 +u2dudv: Or, 13 (1 +u2)32 0 =up1 +u2 d'ou

Aire(f) = 2[13

(1 +u2)32 ]10=252 3 5 6quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

[PDF] exercices corrigés courbes gauches

[PDF] exercices corrigés courbes intensité potentiel

[PDF] exercices corrigés courbes paramétrées pdf

[PDF] exercices corrigés d'algorithmique et programmation pdf

[PDF] exercices corrigés d'algorithmique et structures de données

[PDF] exercices corrigés d'algorithmique pdf

[PDF] exercices corrigés d'algorithmique sur les boucles pdf

[PDF] exercices corrigés dalgorithmique sur les matrices

[PDF] exercices corrigés d'algorithmique sur les matrices pdf

[PDF] exercices corrigés d'analyse de la variance

[PDF] exercices corrigés d'analyse factorielle des correspondances

[PDF] exercices corrigés deconomie de developpement pdf

[PDF] exercices corrigés d'économie financière pdf

[PDF] exercices corrigés d'économie générale avec corrigés détaillés

[PDF] exercices corrigés d'économie générale avec corrigés détaillés pdf