[PDF] Corrigé CNAEM 2015 Exercice 1 - vertuprepascom

Corrigé CNAEM 2015 Exercice 1 Partie I 1 a) On a 0-Montrons que P est inversible. Soient : 8 E On a : 08E - 08E - https://vertuprepas.com/

Donc le système 08E admet une solution unique ce qui prouve que P est inversible est 0-- b) Vérifions que 0--= On a 0------ 2) a) Vérifions que A00 0 0--------------- Donc https://vertuprepas.com/

ECT IDRISSI 00------------ ------ On conclut donc que A00 b) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, A00. Pour -. On a 000000A Donc A00 Alors la relation est vraie pour - C tel que A00 AAA0000000000 A 00 00 On suppose alors que selon le principe de la récurrence que : n A00 c) Calculons en fonction de n, pour tout entier naturel n. Puisque D est une matrice diagonale alors : -------- d) Calculons A en fonction de n, pour tout entier naturel n. Soit ; 0--------- 0------ https://vertuprepas.com/

00------------ 00-------------------- Donc A------------ Partie II 1) Montrons que pour tout entier naturel n, 8A8 Soit A8 - - A8 On conclut donc que : 8A8 2 a) demandée : DADDAD DADAD b) Vérifions que : AA--. On a A----------- https://vertuprepas.com/

A- Donc : AA------- --------------- Donc AA-- Et On a aussi : AAAAAA- Donc AA. c) Déduction A AA. On conclut que A et son inverse est égale à A d) Déduction, puis calcul de U: On a (I-A)U=B Donc AADA DA Donc DA. Donc D - 3) a) Montrons que pour tout entier naturel n 8DA 8D. Soit . On a : 8A8A8DAD Donc 8DA 8D. b) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, https://vertuprepas.com/

8DA8D. Pour -. A8D8D8D. Donc la relation est vraie pour - C tel que 8DA8D 8DA8DAA8DA8D Donc selon le principe de la récurrence 8DA 8D. 4) Calculons en fonction de n. On a : 8D---- Soit On a : 8DA8D 8D--------------- 8--- --- Et finalement n --- 5) Calculons en fonction de n. Soit On a : https://vertuprepas.com/

- - - - - - - Par le changement de variable Le système précédent équivaut : - Donc --- Donc n -- - Donc : n -- - Exercice 2 Partie I 1) On a : -- --). 2) f est dérivable sur - . Et pour tout x réel positif, on a : https://vertuprepas.com/

- - Donc =. 3) . Le discriminant de ce polynôme vaut - ------ C = 4) Pour tout réel positif x, -. Donc le signe de sur du signe de Ainsi le tableau de variation de f sur est le suivant : x Partie II 1) a) Soit A un réel positif. --- 0 0 0 0 https://vertuprepas.com/

ECT IDRISSI Donc AA--- Donc est une intégrale convergente égale à 2. b) Soit A un réel positif. Calculons On pose A - Une intégration par partie nous donne : -- Donc = -2A - c) Montrons que = 0 En posant t= . En trouve - Alors on a - . Cette relation de récurrence montre que si possède une limite finie lorsque A tend vers alors il en est de même que . Or est convergente donc Donc - https://vertuprepas.com/

Donc -. e) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, - Pour - : ---. Donc la relation est vraie pour - C tel que - On a : --- Donc - Donc selon le principe de la récurrence - 2 a) Montrons que g est une 3 La fonction g est donc définie pour tout réel x par : g(x)= - - - - - f- Donc - - et puisque g est nulle sur - Alors - La fonction - est continue sur - comme produit de fonctions continue (polynôme et exponentiel). La fonction nulle est continue sur - et - g-- Alors la fonction g est continue sur - --- On trouve finalement : https://vertuprepas.com/

On vient de démontrer donc que g est positive est continue sur et . On peut donc affirmer que g est une densité de probabilité 3 b) 3 63 3 3 - 3 3-- 3-- 3 - 3 3-- 3--- V(X)= 33- Donc 68 Partie III 1) a) Vérifions que pour tout entier naturel non nul k, . Soit k un entier naturel non nul, = https://vertuprepas.com/

b) Montrons que pour tout entier naturel non nul N, 3=1- Soit N un entier naturel non nul, B-B-- BB Par télescopage des termes 3=1- . 2) Montrons que est convergente. BB-B3 Donc la série est convergente et sa valeur est égale à 1. Exercice 3 1) a) Vérifions que X suit une loi uniforme. Il est claire que 8 08 Donc X suit la loi uniforme ( X ) b) X alors E(X)= et 68 2 a) Pour k -à-dire X impair, on lance la pièce de monnaie une E- lancer effectué 0E-. b) Pour k - -à-dire X pair, on lance la pièce de monnaie deux fois. E- effectués 0E-= . https://vertuprepas.com/

c) (X pair ; X impair) montre que : 0E-0E-8 0E-8 0E-0 E-08 0 E-08 0E---- 3) Montrons que : P(Y=2)=P((Y=2)(X=2)) + P((Y=2)(X=4)) + P((Y=2)(X=6)). La formule des probabilités totales appliquée au système comp ((X=1) ; (X=2) ; (X=3) ; (X=4) ; (X=5) ; (X=6)) montre que : P(Y=2)=P((Y=2)(X=1)) + P((Y=2)(X=2)) + P((Y=2)(X=3)) + P((Y=2)(X=4)) + P((Y=2)(X=5)) + P((Y=2)(X=6)). Or P((Y=2)(X=1))= P((Y=2)(X=3))= P((Y=2)(X=5))=0. Car on ne peut pas lancer la pièce de monnaie une seule fois, et avoir deux piles. Donc P(Y=2)=P((Y=2)(X=2)) + P((Y=2)(X=4)) + P((Y=2)(X=6)). 4) Cherchons la loi de la variable aléatoire Y, et calculons son espérance E(Y) et sa variance V(Y). Il est clair que E- - On a 0E0E-0E- Donc 0E On résume donc la loi de Y dans le tableau suivant : k 0 1 2 - https://vertuprepas.com/

E : E(Y)=0 0E+1 0E-0E- E(Y)= La variance de Y : E0 0E+1 0E-0E- E- 6E EE 6E 5 a) Donnons la loi du couple (X, Y). - 08E-080E- - 08-E-08-0E- - 08E-080E- - 08E-080E- - 08E-080E- - 08E-080E- - 08E080E - 08-E08-0E - 08E080E - 08E080E - 08E080E - 08E080E - 08E-080E-- https://vertuprepas.com/

- 08-E-08-0E- - 08E-080E-- - 08E-080E- - 08E-080E-- - 08E-080E- On résume cela dans le tableau suivant : Y 1 2 3 4 5 6 0 - - - - - - 1 - - - - - - - 2 - - - - - - 1 b) 08E--- Donc 08E-- Donc X et Y ne sont pas indépendantes. c) Calculons la covariance de X et Y. On a E- -- X https://vertuprepas.com/

Il est clair que : - -- - - -- - - -- - - - - - -- On résume cela dans le tableau suivant : k 0 1 2 3 4 5 6 8 12 P(XY=k) - - - - - - - Donc Donc Et on sait que -- d) Déterminons le coefficient de corrélation entre les deux variables aléatoires X et Y : . --- https://vertuprepas.com/

Exercice 4 1) a) Montrons que f est continue sur La fonction t est continue sur - comme somme et composée de fonctions continues. La fonction nulle est continue sur -. ---- Ces trois points montrent que la fonctio est continue sur b) Soit - . Et puisque -- Alors - c) Soit t un réel. - -- - Donc si - - d) Montrons que pour tout réel t, -. Si - (En posant - Donc - Si - - Donc - On conclut donc que pour tout réel t, -. 2) a) Lorsque x - : F(x)=- ( Car f est nulle si t - ) Lorsque x - : https://vertuprepas.com/

F(x)= b) Soient x - et a - c) Soit x - Donc F(x)=1-4+3 d) On sait que - - Donc 3) On sait que : P(3. Donc : P(3 1-4+3 Finalement : P(3=-7+3+4. 4) a) i) Soit x un réel. 08 08 08 Où 8 8 ii) 0808 0808-08 Donc 0808 08 iii) 08 Donc 08- b) g est dérivable sur - avec -- Donc g est strictement décroissante sur - intervalle alors g est une bijection de - vers - ( Car et ) c) On sait que : (E) 08 - Pour que soit solution de (E) il faut que - car sinon 08-. https://vertuprepas.com/

Par un changement de variable : - donc - - Or 0 et g est une bijection de - vers donc la solution de - et par la suite de https://vertuprepas.com/