[PDF] Intégration et primitives - Lycée dAdultes

4x+54si 1

1) Tracer séparément les fonctionsfetg

2) Calculer les intégrales I et J sur [-1;5] defetg.

3) En déduire les intégrales sur [-1;5] des fonctionf+4get 5f-2g

paul milan2 TerminaleS exercices

Primitive

Exercice5

Prouver dans les cas suivantes que la fonctionFest une primitive de la fonctionfsur un intervalleI.

1)f(x)=2(x4-1)

x3;F(x)=x2+1x2;I=]0;+∞[

2)f(x)=1

1+ex;F(x)=x-ln(1+ex);I=R

3)f(x)=1

xlnx;F(x)=ln(lnx);I=]1;+∞[

4)f(x)=cosx-xsinx;F(x)=xcosx;I=R

Exercice6

Montrer que les fonctionFetGsont deux primitives de la même fonctionfsur un intervalleI. Pouvait-on prévoir ce résultat?

F(x)=x2+3x-1

x-1;G(x)=x2+7x-5x-1;I=]1;+∞[.

Calcul de primitive

Pour les exercices de 7 à 13, donner une primitive de la fonction f sur l'intervalle I.

Exercice7

Linéarité de la primitive

1)f(x)=x4-4x3+x2-4x+3,I=R

2)f(x)=x2-2x+1

3,I=R

3)f(x)=1-1

x3,I=]0;+∞[4)f(x)=-1 x3+4x2-1,I=]0;+∞[

5)f(x)=4

x+2ex,I=]0;+∞[

Exercice8

Formeu'un

1)f(x)=(x+2)3,I=R

2)f(x)=2x(1+x2)5,I=R

3)f(x)=(x-1)5

3,I=R4)f(x)=2x(3x2-1)3,I=R

5)f(x)=sinxcosx,I=R

Exercice9

Formeu'u

1)f(x)=1

x-4,I=]4;+∞[ 2)f(x)=1x-4,I=]- ∞;4[ paul milan3 TerminaleS exercices

3)f(x)=2x-1x2-x,I=]0;1[

Exercice10

Formeu'un,n?2

1)f(x)=2

(x+4)3,I=]-4;+∞[

2)f(x)=1

(3x-1)2,I=?- ∞;13?

3)f(x)=2x-1

(x2-x+3)2,I=R4)f(x)=x-1 (x2-2x-3)2,I=]-1;3[

5)f(x)=4x2

(x3+8)3,I=]-2;+∞[

Exercice11

Formeu'⎷u

1)f(x)=2

Exercice12

Formeu'eu

1)f(x)=e-x+1,I=R

2)f(x)=2e3x-2,I=R3)f(x)=xe-x2

2,I=R

4)f(x)=sinx×ecosx,I=R

Exercice13

Formeu(ax+b)

1)f(x)=cos(3x)+sin(2x),I=R

3-2x? ,I=R

Exercice14

donnée sur un intervalleIà préciser.

1)f(x)=x4+3x2-4x+1,F(2)=0

2)f(x)=2

x2+x,F(1)=0

3)f(x)=1

(2x+1)2,F(0)=0

4)f(x)=-1

3-x,F(1)=15)f(x)=x

(x2-1)2,F(0)=0

6)f(x)=e3x+1,F(-1)=0

7)f(x)=xe-x2,F(⎷

ln2)=1 paul milan4 TerminaleS exercices

8)f(x)=1x-1+1x+1,F(2)=0

9)f(x)=sin?

2x-π

4? ,F?π2? =010)f(x)=cosxsin2x,F?π 2? =1

11)f(x)=2cosx

2-3sinx2,F?π2?

=0

Calcul de primitive plus difficile

Exercice15

Calculer une primitive de la fonctionfsur l'intervalle indiquée.

1)f(x)=x2

x3-1I=]- ∞;1[

2)f(x)=cosx

sinxI=]-π;0[

3)f(x)=1

x2e-2 xI=]0;+∞[

4)f(x)=xcosx-sinx

x2I=]0;+∞[5)f(x)=lnx-1 x2I=]0;+∞[

6)f(x)=lnx

xI=]0;+∞[

7)f(x)=1

xlnxI=]1;+∞[

8)f(x)=ex-e-x

ex+e-xI=R

Exercice16

fdésigne une fonction rationnelle définie sur un intervalleI. Déterminer une primitive de fà l'aide de la décomposition proposée

1)f(x)=4x+5

2x+1I=?

-12;+∞? . Montrer quef(x)=a+b2x+1

2)f(x)=2x2-3x-4

x-2I=]2;+∞[. Montrer quef(x)=ax+b+cx-2

3)f(x)=1

x-3+1x+3 a)I=]3;+∞[ b)I=]-3;3[ c)I=]- ∞;-3[

4)f(x)=x2+x+1

(x2-1)2I=]1;+∞[. Montrer quef(x)=a(x-1)2+b(x+1)2

Calcul d'intégrale

Pour les exercices 17 et 18, calculer les intégrales indiquées à l'aide d'une primitive.

Exercice17

1)I=? 4 0 (x-3)dx 2)I=? 2 -1(t2-4t+3)dt3)I=? 2 1? t

2+t-1t?

dt 4)I=? 2 03x (x2+1)2dx5)I=? ln3 ln2 exdx 6)I=? 3

0dt(2t+1)2

Exercice18

paul milan5 TerminaleS exercices 1)I=? 4 0 dx 2)I=? -1 -2x-3 xdx3)I=? 1 -1x x2-4dx 4)I=? 2 11

3x-2dx5)I=?

1 0

5e3xdx

6)I=? 1 0 tet2-1dt

Exercice19

1) a) Trouver trois réela,betctels que :4x2+7x+1x+2=ax+b+cx+2

b) En déduire :I=? 2

04x2+7x+1

x+2dx

2) a) Prouver que pour tout réelx:1

1+ex=1-ex1+ex

b) En déduire :I=? 1 01

1+exdx

Encadrement et valeur moyenne

Exercice20

Comparer, sans les calculer les réelsIetJ.

1)I=? 2 1 xexdx2)J=? 2 1 x2exdx

Exercice21

Démontrer les encadrements suivants :

1) 2??

9 11

1+⎷tdt?4

2) 2?? 2

1⎷1+x3dx?33)

1 2?? 1

011+t3dt?1

4) 2e-4??

2 01 ex2dx?2

5) 2ln3??

4 2 ln(x2-1)dx?2ln3+2ln5

Exercice22

On donne la fonction définie surRpar :f(x)=2e0,04te0,04t+19 a) Déterminer une primitive def. b) Calculer la valeur moyenneμdefsur l'intervalle [50;100]. En donner une valeur approchée à 10 -2.

Exercice23

On donne la valeur moyenneμ=2 d'une fonctionfsur l'intervalle [1;4].

Déterminer?

4 1 f(x)dx paul milan6 TerminaleS exercices

Exercice24

Calculer la valeur moyenneμsur l'intervalle [-1;1] de la fonctionf:x?→⎷1-x2 (Indication: on pourra penser au cercle de centre O et de rayon 1)

Intégrale et suite

Exercice25

La suite (In) est définie surNpar :In=?

1 0 (1+tn)dt

1) Prouver que la suite (In) est décroissante.

2) Est-elle convergente?

Exercice26

Pour tout entier naturel non nuln, on pose :In=?

n+1 n1xdx

1) Démontrer que

1 n+1?In?1n

2) La suite (In) est-elle convergente?

Exercice27

fest la fonction définie surR+par :f(x)=xx+1.

La suite (un) est définie surNpar :un=?

n 0 f(t)dt

1) Démontrer que la suite (un) est croissante.

2) Prouver que pour tout entiern?1,un?n-1

2. La suite (un) converge t-elle?

(Indication: on montrera que :?x?0,f(x)?x n+1)

Annales

Exercice28

Métropole juin 2012

Partie A

Soitfla fonction définie sur l'intervalle [1;+∞[ par :f(x)=1 x+1+ln?xx+1?

1) Déterminer la limite de la fonctionfen+∞.

2) Démontrer que pour tout réelxde l'intervalle [1 ;+∞[,f?(x)=1

x(x+1)2.

Dresser le tableau de variation de la fonctionf.

3) En déduire le signe de la fonctionfsur l'intervalle [1 ;+∞[.

Partie B

Soit (un)la suite définie pourn?1 par :un=1+1

2+13+...+1n-lnn

1) On considère l'algorithme suivant :

paul milan7 TerminaleS exercices

Donnerlavaleurexacteaffichéeparcetal-

gorithme lorsque l'utilisateur entre la va- leurn=3.Variables:N,IentiersUréel

Entrées et initialisation

LireN

0→U

Traitement

pourIde 1 àNfaire

U+1I→U

fin

Sorties: AfficherU

2) Recopier et compléter l'algorithme précédent afin qu'il affiche la valeur deunlorsque

l'utilisateur entre la valeur den.

3) Voici les résultats fournis par l'algorithme modifié, arrondis à 10-3.

n45678910100100015002000 À l'aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite(un) et son éventuelle convergence.

Partie C

Démonstrations des conjectures formulées à la partie B

1) Démontrer que pour tout entier strictement positifn:un+1-un=f(n)

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