[PDF] Cogmaster Probabilités discrètes Feuille de TD no3 : Indépendance

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Cogmaster,Probabilités discrètes

Feuille de TD n

o3 : Indépendance d"événements, variables aléatoires, lois discrètes

Exercice 1Une auto-école présente le même jour trois candidats au permis : André, Denis et

Nicole. Sur la base des performances précédentes, le directeur estime les probabilités de succès :

pour Denise0:5, pour Nicole0:9et pour André0:7. Le succès de chaque candidat est indépendant

du succès des autres. Quelles sont les probabilités des événements suivants :

1.B="Denise est la seule à réussir",

2.R="Les trois candidats réussissent",

3.E="les trois candidats échouent",

4.P="au moins un candidat est reçu"?

CorrectionNotonsA,DetN(respectivement) les évènements respectifs " André réussit »,

" Denise réussit » et " Nicole réussit ». Ces trois évènements sont indépendants mutuellement

d"après l"énoncé. Ainsi,

1.P(B) =P(Ac\D\Nc) =P(Ac)P(D)P(Nc) = 0:30:50:1 = 0:015

2.P(R) =P(A\D\N) =P(A)P(D)P(N) = 0:70:50:9 = 0:315

3.P(E) =P(Ac\Dc\Nc) =P(Ac)P(Dc)P(Nc) = 0:30:50:1 = 0:015

4.

P(P) =P(A[D[N)

=P(A) +P(D) +P(N)P(A\D)P(A\N)P(D\N) +P(A\D\N) =P(A) +P(D) +P(N)P(A)P(D)P(A)P(N)P(D)P(N) +P(A)P(D)P(N) = 0:7 + 0:9 + 0:50:70:50:70:90:50:9 + 0:70:90:5 = 0:985

Exercice 2Trois chasseurs tirent simultanément sur un oiseau, avec des probabilités de succès

de70%,50%et90%respectivement. Quelle est la probabilité que l"oiseau soit touché? CorrectionIl faut donc calculer la probabilité qu"au moins un chasseur touche l"oiseau.

C"est exactement le même calcul qu"à la question 4 de l"exercice précédent. Les succès respectifs

des chasseurs sont des évènements indépendants mutuellement. Exercice 3Trois étudiantsx,yetzattendent dans une file à la porte du secrétariat. On considère les deux événements -A: "yattend derrièrex" -B: "zattend derrièrex"

On suppose qu"il y a équiprobabilité sur l"ordre d"arrivée des étudiants. Les événementsAetB

sont-ils indépendants? 1 CorrectionOn a 6 ordres d"arrivées possible :xyz,xzy,yxz,yzx,zxy,zyx. Ils sont équi- probables, donc chaque ordre arrive avec probabilité 16 . Donc,

P(A) =P(fxyz;xzy;zxyg) =12

P(B) =P(fxyz;xzy;yxzg) =12

P(A\B) =P(fxyz;xzyg) =13

DoncP(A\B)6=P(A)P(B), les deux évènementsAetBne sont donc pas indépendants! Exercice 4On considère l"ensemble des familles de2enfants en admettant que les naissances

sont indépendantes et qu"à chaque naissance, la probabilité d"avoir une fille (resp. un garçon)

est1=2. Soient les événementsA="Le premier enfant est une fille",B="Le second enfant est une fille", etC="la famille a des enfants des deux sexes". Montrer que les événementsA,Bet Csont indépendants deux-à-deux mais pas mutuellement.

CorrectionOn a clairementP(A) =12

,P(B) =12 , etP(C) =12 . Par ailleurs,

P(A\B) =14

=P(A)P(B)(doncAetBsont indépendants),

P(A\C) =P(A\Bc) =14

=P(A)P(C)(doncAetCsont indépendants) et

P(B\C) =P(Ac\B) =14

=P(B)P(C)(doncBetCsont indépendants). Cependant, siAetBsont vérifiés,Cne peut pas l"être, doncP(A\B\C) = 06= P(A)P(B)P(C), donc ces trois évènements ne sont pas mutuellement indépendants.

Exercice 5On lance une fois un dé non pipé.

1. On supp osequ"on reçoit 15euros si on obtient1, rien si on obtient 2,3 ou 4, et 6 euros si on obtient 5 ou 6. SoitGla variable aléatoire égale au gain de ce jeu. Quelle est la loi deG? Que vaut le gain moyen? 2. Même sq uestionsen supp osantqu"on gagne 27 euros p ourun 1 et rien sinon. Préférez vous jouez au jeu du 1) ou à celui-ci? CorrectionLa loi deGest donnée par le tableau suivant :k0615

P(G=k)1

21
31
6 etE(G) = 012 + 613 + 1516 = 4:5euros. Dans la deuxième version du jeu, le tableau devientk027

P(G=k)5

61
6 2 etE(G) = 056 +2716
= 4:5euros. En moyenne, l"espérance de gain est donc la même qu"avec la première version du jeu.

Exercice 6On lance une fois un dé non pipé. SoitXla variable aléatoire égale au résultat du

dé. On poseY=X2etZ= (X3)2. 1)

Q uelleest la loi de Y?

2) Do nnerla loi d eZet la représenter sous forme d"un graphique (diagramme en bâtons).

CorrectionLa loi deYestk149162536

P(Y=k)1

61
61
61
61
61
6 La variableZpeut prendre les valeurs(13)2= 4,(23)2= 1,(33)2= 0,(43)2= 1, (53)2= 4,(63)2= 9et sa loi est représentée par le tableauk0149

P(Z=k)1

61
31
31
6

Sous forme graphique :

kP(Z=k)0149 Exercice 7On considère un sac contenant deux boules rouges et quatre boules noires, indis- cernables au toucher. 1) O ntire successiv ementune b oule,avec remise, jusqu"à obtenir une boule rouge. On noteXson rang d"apparition. Déterminer la loi de ce rang. 2) O ntire successiv ementune b oule,sans remise, jusqu"à obtenir une boule rouge, et on noteXson rang d"apparition. Déterminer la loi de ce rang.

Correction

1. La v ariablealéatoire Xprend des valeurs entières. Pour tout entiern, l"évènementfX= ngest égal à l"évènement " on tire des boules noires lors desn1premiers tours et au n-ième tirage on tire une boule rouge ». Puisque l"on tire avec remise, et qu"il y a deux boules rouges parmi six, la probabilité de tirer une boule rouge à chaque tour est 26
=13 et la probabilité de tirer une boule noire est 23
. Par suite, pour tout entiern,

P(X=n) =23

n113 3 Remarquons que c"est bien une loi de probabilité puisque +1X n=0P(X=n) =+1X n=0 23
n113 =1123 13 = 1: 2. Dans le cas d"un tirage sans remise, le rang de la première b oulerouge est forcémen t inférieur à cinq puisqu"il n"y a que quatre boules noires. Dans ce cas, la loi deXest représentée par le tableau suivant :k12345

P(X=k)1

34
6 254
6 35
244
6 35
24
234
6 35
24

13=k12345

P(X=k)5

154
153
152
151
15 Exercice 8On lance trois fois de suite un dé. SoitXle nombre de valeurs distinctes obtenues (par exempleX= 3si le résultat des lancers est(1;2;6)etX= 2s"il est(4;4;2)). Déterminer la loi deXet calculer son espérance. CorrectionIl y a en tout63triplets possibles de résultats lorsqu"on tire un dé trois fois de suite. La variableXne peut prendre que les valeurs1,2et3.Xest égal à1si et seulement si les trois valeurs successives obtenues sont égales, donc

P(X= 1) =6666=136

De même,X= 2si et seulement si deux valeurs sur les trois sont distinctes. On a3

2choix

pour les positions des deux valeurs égales, et65choix pour les valeurs en question, donc

P(X= 2) =3

2

65666=512

Enfin,X= 3si et seulement si les trois valeurs successives sont distinctes, donc

P(X= 3) =654666=59

On vérifie bien queP(X= 1) +P(X= 2) +P(X= 3) = 1. Exercice 9Le participant d"un jeu télévisé doit choisir entre deux questions, une question

facile et une question difficile. S"il répond juste une première fois, il peut tenter de répondre à

l"autre. La question facile rapporte un euro et la question difficile 3 euros. Les questions sont

indépendantes, et il estime avoir30%de chances de bien répondre à la question difficile, et60%

de chances pour la question facile. Calculer la loi et l"espérance de son gain dans le cas où il

choisit la question facile en premier, puis dans le cas contraire. Quelle question doit-il choisir? CorrectionNotonsXla variable aléatoire représentant le gain du joueur à la fin de la partie.Xpeut prendre les valeurs0,1,3et4. 1. S"il c hoisitla question facile en premier, la probabilité qu"il se tromp edès la première

question est0:4. La probabilité qu"il réussisse la première question (facile) puis se trompe

à la deuxième question (difficile) est0:60:7 = 0:42. La probabilité qu"il réussisse les deux questions est0:60:3 = 0:18. On en déduit le tableau représentant la loi de son gain : 4 k014

P(X=k)0:40:420:18L"espérance deXest alors

E[X] = 0:40 + 0:421 + 0:184 = 1:14:

2. S"il c hoisitla question difficile en p remier,le tableau devien tk034

P(X=k)0:70:30:40:30:6L"espérance deXest alors

E[X] = 0:70 + 0:123 + 0:184 = 1:08:

Le joueur a donc intérêt à choisir la première stratégie! Exercice 10Les étudiants d"un cours de probabilités sont répartis en trois groupes pour les séances d"exercices, comprenant respectivement25,30et35étudiants. On choisit au hasard un

étudiant du cours et on noteXle nombre d"étudiants de son groupe. Calculer la loi et l"espérance

deX. Cette espérance est-elle égale à la moyenne du nombre d"étudiants par groupe? CorrectionIl y a en tout25 + 30 + 35 = 90étudiants. La variable aléatoireXne peut prendre que trois valeurs :25,30et35. Sa loi est représentée par le tableauk253035

P(X=k)25

9030
9035
90

L"espérance deXest

E[X] = 252590

+ 303090 + 353590 =275090 '30:555556: Cette espérance est différente de la moyenne du nombre d"étudiants par groupe qui est de30. Exercice 11(*) Soientc2RetXune variable aléatoire de support égal àN, avecP(X= n) =c2nn!pour toutn2N. Calculer la valeur decpuis l"espérance deX.

Correction

On sait qu"on a forcément

+1X n=0P(X=n) = 1: On reconnaît le développement en série entière de l"exponentielle et +1X n=0c2nn!=ce2:

On en déduit quec=e2.

Exercice 12Au bowling, Lucie a une probabilité3=4de faire tomber toutes les quilles ("strike").

Dans une soirée elle lance 18 boules et on considère les lancers indépendants. SoitXla variable

aléatoire égale au nombre de "strike" réussis par Lucie. 5

1.Quelle est la lo ide X?

2. Calculer la probabilité p ourque Lucie réussisse dix "strik e". 3. Quelle est l"esp érancedu nom brede "strik e"réussis dans u nesoirée, sa v ariance? CorrectionPour touti= 1;:::18, notonsXila variable aléatoire de Bernoulli qui vaut1

si Lucie fait un strike, et0sinon. Le nombre de strikes réussi au cours de la soirée est représenté

par la variable aléatoire X=18X i=1X i=X1+X2++X18: Comme lesXisont indépendants et suivent la même loi de Bernoulli de paramètrep=34 , cette somme suit une loi BinômialeB(18;34 ). On en déduit que la probabilité que Lucie réussisse exactement dix strikes dans la soirée est

P(X= 10) =18

10 34
1014
8 L"espérance et la variance du nombre de strikes réussis par Lucie dans la soirée valent :

E[X] = 1834

= 13:5;et

Var[X] = 1834

14 =278 6quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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