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Cours et exercices corrigés en probabilités

Le deuxième chapitre est consacré aux variables aléatoires discrètes après la définition de cette notion

IUT GB - Fiche de TD – Variables aléatoires discrètes Exercice 1. On

Donner son espérance sa variance et son écart type. 2. Calculer la probabilité : ?(3 ? ? 7). Corrigé. Exercice

Variables aléatoires discrètes

Exercice 2. On prend au hasard en même temps

Probabilités

Exercices d'application corrigés 2.5 Outils analytiques en probabilités . ... Définition 3.8 Soient X et T deux variables aléatoires discrètes de ...

Exercices et problèmes de statistique et probabilités

1.6 Indépendance de deux variables aléatoires X et Y .. Corrigés des exercices . ... de la fonction génératrice pour une variable aléatoire discrète.

Exercices corrigés

Le lecteur trouvera ici les énoncés et corrigés des exercices proposés dans. "Probabilités pour Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N.

Exercices de Probabilités

Exercice 1. Donner les lois de probabilité des variables aléatoires X et Y . ... Exercice 2 (Couple de variables aléatoires discrètes). 1. Soit X et Y.

Cogmaster Probabilités discrètes Feuille de TD no3 : Indépendance

Indépendance d'événements variables aléatoires

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Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre ? > 0. Déterminer la probabilité que la valeur de X soit pair. Exercice 22 [ 04115 ] [

Chapitre 5 : Variables aléatoires discrètes

a) Déterminer la fonction de probabilité. b) Représenter son histogramme. c) Calculer P(X ? 3). Exercice 5.2 :.

8!2 ;Y(!) =XN(!)(!)?

8n2N;P(T > n)>0?

n= P(T=njTn)?

8n2N;n2[0;1[?

8n2N;n2[0;1[??X

t=X y0yP(Y=y);s=X y0y

2P(Y=y)??u= P(Y0)?

t 2su? t

2(2s)(1u)?

t 22=4?

2(ba)2=4?

n??p?? X( ) =fn;n+ 1;:::g??P(X=k) =k1 n1 p n(1p)kn? ??p? n??p? X ??? ?????? ??? ????? ?? ??????? ?? ????X2?? ?????? ?? ? ??? ? ??????? ?? ?? ??????

T= minfn1jSn=Ng [ f+1g?

???? n1? ???????

P(T=n+k) =N1N

kP(T > n)? X n=Xn1= 1?

T= minfn2jXn=Xn1= 1g [ f+1g?

??P(T=n1)??P(T=n2)? ?? ???? X?? ?????? ?? ??????? ????? ??? ?? ??? ?????? +1X n=0P(En)<+1? F=!2 P[ i2A i = 1? ??????? An? ????n2?? ?? ??????? ?? ?????? ??qn? ??qn= P(T=n)? ????n2? ??? ??????? q2= 1=4?q3= 1=8??

8n4;qn=qn12

+qn24 E

Y(aX+b)2

?????? ???? ???X=S+B?

Cov(Xi;Xj)

1i;jn?

???? X=a1X1++anXn????ai2R? E 1X A=X1 0Y ?????? ?? ???? ?? ?????T? ts? ?? ???? p n(t) = PA(n;0;t)? ? ??????? t2R+? +1X n=0p n(t) = 1?

1p0(t)p1(t) =t!0+op1(t)?

8s;t2R+;p0(s+t) =p0(s)p0(t)?

8t2R+;p0(t) = et?

1(t) =

t!0+t+ o(t)??8n2;pn(t) = t!0+o(t)? ???? n2N? ???????

8s;t0;pn(s+t) =nX

k=0p k(s)pnk(t)?

8t0;p0n(t) =(pn1(t)pn(t))?

8(j;k)2N2;P(X=j;Y=k) =aj+k2

j+k????a2R?

P(X=k;Y=n) =(

n kanp(1p)n??kn

8x2]1;1[;+1X

n=k n k x nk=1(1x)k+1? Y= 3?

U= min(X;Y)??V= max(X;Y)min(X;Y)(oujXYj??)

X=NX i=1U i??Y=NNX i=1U i?

P(X=k;Y=`) =k+`

k p k(1p)`P(N=k+`)???? ????(k;`)2N2? p k= P(X=k)??q`= P(Y=`)???? ????k;`2N? (k+ 1)pk+1q`(1p) = (`+ 1)pkq`+1p???? ????k;`2N? T

1(1t)m?

EX(X1):::(Xr+ 1)?

S m=k()X1++Xk=m??X1++Xk1< m? ???? ?????? ?? ???? ????S?? ????? ????? ???????

P(X=k) =an+k

k p k?????a >0??p2]0;1[?? ???J2;12K S n=nX i=1Y f i= P(Y1=i)??f(t) =+1X i=1f iti? ???????1?? ?? ???? ??????? ?? ????k??0??????

8k2N; uk=kX

j=1u kjfj? u(t) =+1X k=0u ktk????t2[0;1] ?? ??????? ???u(t) =11f(t)? p2]0;1[?? ?? ??????? ???uk? ?? ???? ???? ??Y1????? ?? ?????? ??? ?? ??????? ?? ??? ??? ???????k???? (uk)???? ????1=E(Y1)?

S(!) =N(!)X

k=1X k(!)?

8t2[0;1]; GS(t) =GNGX(t)?

?? ???? ?????? X??N??? ?? ?????? ???????2? ??????? ???S??????? ?? X n0n

2+n+ 1n!tn?

??????x2 X? ?? ????

H(X) =X

x2Xp(x)logp(x) ??Y?

H(X;Y) =H(X) +H(Y)?

H(XjY) =H(X;Y)H(Y)?

H(XjY) =X

y2YP(Y=y)H(XjY=y)

H(XjY=y) =X

x2XP(X=xjY=y)log(P(X=xjY=y))? ?????? ???X( M

X(t) = EetX?

??????? ??????? ? ??? ?? ??????C1?? ????? ?

E(Xn) =M(n)

X(0)? lim n!+1P0 @X

1++Xnn

1n n X i=1p i < "1 A = 1? x2[0;1]??Xn=Sn=n

8 >0;PjXnxj> 14n2?

8(x;y)2[0;1]2;jyxj =)f(y)f(x)"?

8x2[0;1];f(x)M?

X j kn xj> fkn f(x)

P(Xn=k=n)

M2n2??

X j kn xj fkn f(x)

P(Xn=k=n)

8x2[0;1];Bn(f)(x)f(x)2"?

??????(k;Sk)? ???? k;prlnkk k;p+rlnkk ???? t2R??x2[1;1]? ??????? ??? e tx12 (1x)et+12 (1 +x)et? E exp(tX)chtexp(t2=2)? ???? ????i?jXij ai? ?? ???? S n=nX i=1X i? E exp(tS)exp t22 n X i=1a 2i!

P(Sn> ")exp

t"+t22 n X i=1a 2i!

P(Sn> ")exp

"22 Pn i=1a2i! ??? ??????? ????[1;1]? e tx12 (1x)et+12 (1 +x)et? ???? t2R? ??????? ???EetX?????? ?? E etXet2=2? ???? r >0? ???????

PX> r2er2=2?

>0?? ???????

8 >0;PXE(X)< 11

2? ???Xn( Y( n2NX n( ?? ????? ???? ????y2Y( Y

1(fyg) =[

n2N !2

N(!) =n??Xn(!) =y

1(fyg) =[

n2N

N(!) =n\Xn(!) =y

??? ???? ??????? ?? ?? ?????T? ?? ? P(T=n) =nP(Tn)??P(T=n) + P(Tn+ 1) = P(Tn)????

P(Tn+ 1) = (1n)P(Tn)?

???????P(T0) = 1? ?? ???????

P(Tn) =n1Y

k=0(1k)? ???????P(Tn)!n!+10? ?? ? n1X k=0ln(1k) = ln n1Y k=0(1k)! n!+11?

Pln(1n)?

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8n2N;P(T > n)>0?

8n2N;n2[0;1[?

8n2N;n2[0;1[??X

2P(Y=y)??u= P(Y0)?

2(2s)(1u)?

2(ba)2=4?

T= minfn1jSn=Ng [ f+1g?

P(T=n+k) =N1N

T= minfn2jXn=Xn1= 1g [ f+1g?

8n4;qn=qn12

Y(aX+b)2

Cov(Xi;Xj)

1i;jn?

1p0(t)p1(t) =t!0+op1(t)?

8s;t2R+;p0(s+t) =p0(s)p0(t)?

8t2R+;p0(t) = et?

1(t) =

8s;t0;pn(s+t) =nX

8t0;p0n(t) =(pn1(t)pn(t))?

8(j;k)2N2;P(X=j;Y=k) =aj+k2

P(X=k;Y=n) =(

8x2]1;1[;+1X

U= min(X;Y)??V= max(X;Y)min(X;Y)(oujXYj??)

P(X=k;Y=`) =k+`

1(1t)m?

EX(X1):::(Xr+ 1)?

EX(X1):::(Xr+ 1)?

P(X=k) =an+k

8k2N; uk=kX

S(!) =N(!)X

8t2[0;1]; GS(t) =GNGX(t)?

2+n+ 1n!tn?

H(X) =X

H(X;Y) =H(X) +H(Y)?

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H(XjY) =X

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X(t) = EetX?

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8(x;y)2[0;1]2;jyxj =)f(y)f(x)"?

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P(Sn> ")exp

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PX> r2er2=2?

8 >0;PXE(X)< 11

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P(Tn) =n1Y

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