Le produit vectoriel - AlloSchool
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MATHÉMATIQUES ENSM O11 2013-2014
- 1 -Calcul vectoriel.
Produit scalaire - Produit vectoriel.
Corrigé
Exercice 1 :
1.2 2 21 1 0 2u= + + = et 2v=.
2. 1 11 0 1 1 1 0 0 1 1
3. ()cos ,u v u v u v× = ´ ´ . Les résultats précédents nous donnent ( )cos ,12u v= donc ( ),3u vp= .
Exercice 2 :
( )1 23 1 1 1 2 3 5
1 3 2 1 3 1 1
2 1 3 3 1 1 8
2 1 1 2
5 1 8 v v v v ( )1 2 3 2 14 3 v v v ( )1 2 3 19 15 21v v v-
Exercice 3 :
1. On choisit
1 21150, pour avoir 11e=.
On pose
2e u va b= + . Les conditions 21e= et 1 20e e× = nous donnent 1
6a= et 1
6b= -.
On en déduit que
2 11261e . Enfin : 3 1 2
112305
e e e2. On a
1 15u u e e= ´ = .
21 16 6e u v= - donc, après calculs : 1 25 6v e e= -
On considère que les coordonnées de
u, v et w sont données dans une base (); , ,O i j k .On a donc le système vectoriel suivant :
1 2 32 15 5 1 2 1 6 6 6 1 2 5
30 30 30
e i j e i j k e i j kMATHÉMATIQUES ENSM O11 2013-2014
- 2 - On obtient, après quelques opérations de pivot : 1 2 3 1 2 3 2 32 5 6 30
5 6 30
5 6 30
5 3 15
6 306 6i e e e
j e e e k e e1 2 36 5 5 6 7 303 25 6 30w i k e e e= + = + - .
Exercice 4 :
1. x u y z est orthogonal à v Û 0 2 0u v x y z× = Û - + = Il s'agit de l'équation du plan orthogonal à v contenant l'origine du repère O. 2. 127 703 2 03 32 00x zu vx y zy z ux y zu vzl
l l lExercice 5 :
1 2 333 31 2 1
4 2 22
v vx y z v v x y z x y z v v× =- + = avec x v y z . La résolution du système donne 2 19 7 19 16 19 vExercice 6 :
1. Pour qu'il existe au mons une solution à
():E x u vÙ = , il faut avoir 0u v× = , car v doit être à la fois orthogonal à u et à x . 2.Propriété : Si u et v sont orthogonaux, ()
2u u v u vÙ Ù = - .
Preuve : Soient
x u y z et x v y z . On trouve aisément que 2 2 22 2 22 2 2
2 2 2x y z x x xx yy zz
u u v x y z y y xx yy zz u u v x y z v xx yy zz u x y z z z xx yy zz Comme " " "0u v xx yy zz× = + + = , ()2u u v u vÙ Ù = - .
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- 3 -Ainsi,
2 02 2 21 1 1X u u v u u u v u v v
u u u0X est bien une solution de ()E.
3. (a) Si
X est une solution de ()E, ()0 00X X u X u X u v v- Ù = Ù - Ù = - = (linéarité du produit
vectoriel). (b) l$ Îℝ tel que 0X X ul- = donc ( )021X u X u u v ul l= + = + Ù 4. S est un ensemble de vecteurs obtenus par combinaison linéaire de u et u vÙ , qui sont deux vecteurs orthogonaux. De plus, u et v sont orthogonaux. Ainsi, l'ensemble des points M obtenus lorsque OMx= décrit S, est le plan normal au vecteur v, contenant O. 5. ( )( )2 1 2 1 1 2 76x u u v
ul l l l lExercice 7 :
1. ( )1 3 1 1 1 1 3211telquex v v x v v v
vl lÙ = Û $ Î = + Ù ℝ ( )2 4 2 2 2 2 4221telquex v v x v v v
vl lÙ = Û $ Î = + Ù ℝ Donc ();1 2l l$ Îℝ tel que ( )( )1 1 1 3 2 2 2 42 21 21 1v v v v v v
v vl l+ Ù = + Ù ( )( )1 3 2 4 1 1 2 22 21 21 1v v v v v v
v vl lÛ Ù - Ù = - +Ainsi, les 3 vecteurs
( )( )1 3 2 42 21 21 1v v v v
v vÙ - Ù , 1v et 2v sont liés, leur produit mixte est nul. Le produit mixte (nous l'appellerons plus tard le déterminant) est défini par (); ;u v w u v w = × Ù Donc :
( )( ); ;1 3 2 4 1 22 21 21 10v v v v v v
v v Ù - Ù = soit ( )( ); ; ; ;1 3 1 2 2 4 1 222121 1v v v v v v v v
v v1 2A AÛ = avec
( )( ) ( ); ;1 1 3 1 2 1 3 1 22 21 11 1A v v v v v v v v
v v et ( )( ) ( ); ;2 2 4 1 2 2 4 1 22 22 21 1A v v v v v v v v
v v Propriétés : ()().u v w u v w× Ù = Ù et v u u vÙ = - ÙMATHÉMATIQUES ENSM O11 2013-2014
- 4 - ( )()( )()1 1 3 1 2 1 1 3 222111 1A v v v v v v v v
v vPropriété : ()()
2u u v u v u u vÙ Ù = × - (formule du double produit vectoriel)
Finalement
21 1 3 1 1 3 2 3 22
101A v v v v v v v v
v=2 2 4 2 1 2 4 2 122
222
2 2 4 1 2 4 2 2 4 1 4 122
0 221 1
1 1A v v v v v v v v
v v v v v v v v v v v v v v v v=1 2 3 2 4 1 1 4 2 30A A v v v v v v v v= Û × = - × Û × + × = .
2. L'égalité
( )( )1 3 2 4 1 1 2 22 21 21 1v v v v v v
v vl lÛ Ù - Ù = - + avec 1 20v vÙ ¹ , donc 1v et 2v non colinéaires, impose l'unicité de1l et de 2l, donc une solution unique x.
3. 11 3 1 1 1 1 3 1
2 1 11 31 2telque3
1 3 x v v x v v v v l l l l 22 4 2 2 2 2 4 2
2 2 21231 5telque6
1 6 x v v x v v v v l l l l On identifie les coordonnées de chaque égalité, on obtient 113l=, 21
6l= - et
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