[PDF] Géométrie vectorielle 2.3 corrigé activité 3 : (

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Géométrie vectorielle

Table des matières

1 activités2

1.1 activité 1 :(vecteurs égaux et parallèlogramme). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.2 activité 2 :(somme de vecteurs et milieux). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.3 activité 3 :(relation de Chasles, calcul vectoriel, colinéarité de vecteurs). . . . . . .2

1.4 activité 4 :(relation de Chasles, calcul vectoriel ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.5 activité 5 :(décomposition dans une base et alignement ). . . . . . . . . . . . . . . .2

1.6 activité 6 :(décomposition dans une base et alignement ). . . . . . . . . . . . . . . .2

2 corrigés activités3

2.1 corrigé activité 1 :(vecteurs égaux et parallèlogramme). . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2.2 corrigé activité 2 :(somme de vecteurs et milieux). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2.3 corrigé activité 3 :(relation de Chasles, calcul vectoriel, colinéarité de vecteurs). .4

2.4 corrigé activité 4 :(relation de Chasles, calcul vectoriel ). . . . . . . . . . . . . . . .5

2.5 corrigé activité 5 :(décomposition dans une base et alignement ). . . . . . . . . . . .6

2.6 corrigé activité 6 :(décomposition dans une base et alignement ). . . . . . . . . . . .7

3 à retenir8

3.1 notion de vecteur et vecteurs égaux . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .8

3.2 somme de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .9

3.3 multiplication d"un vecteur par un nombre réel . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .9

3.4 vecteurs colinéaires, parallélisme de droites et alignement de points. . . . . . . . . .10

3.5 décomposition d"un vecteur selon une base . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .10

4 exercices11

5 corrigés exercices13

6 évaluation14

7 corrigé évaluation16

8 évaluation19

9 corrigé évaluation21

10 devoir maison23

10.1 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .24

11 tp25

1

1 activités1.1 activité 1 :(vecteurs égaux et parallèlogramme)

ABCest un triangle

DetEsont tels que--→BD=-→ACet-→AE=--→BA

1. faire une figure

2. quelle est la nature deADCE?

1.2 activité 2 :(somme de vecteurs et milieux)

ABCest un triangle

D,EetFsont tels que--→AD=--→AB+-→AC,-→AE=--→BA+-→AC,--→BF=--→BA--→AC

1. faire une figure

2. démontrer queCest le milieu de[DE]

1.3 activité 3 :(relation de Chasles, calcul vectoriel, colinéarité de vecteurs)

ABCest un triangle quelconque

Iest le milieu du segment[AB]

Jest le milieu du segment[AC]

Mest tel queABJMest un parallèlogramme

Nest tel queAICNest un parallèlogramme

Pest le milieu de[MN]

Que dire des droites(AP)et(BC)?

?A B CI JM P N en utilisant le repère(B;--→BC;--→BA)

1. exprimer les vecteurs

BCet-→AP

en fonction des vecteurs de base et montrer que-→AP=3

4--→BC

2. conclure

1.4 activité 4 :(relation de Chasles, calcul vectoriel )

on sait queAB= 10cm et queGest tel que2-→GA+ 3--→GB=-→0

1. montrer que

AG=3

5--→AB

2. faire une figure

1.5 activité 5 :(décomposition dans une base et alignement )

ABCest un triangle

Dest tel que--→AD= 3--→AB-2-→AC

1. faire une figure et estimer siB,CetDsont alignés

2. exprimer--→BCet--→BDen fonction de--→ABet-→ACet conclure

1.6 activité 6 :(décomposition dans une base et alignement )

ABCest un triangle

Iest tel que-→AI=--→AB+ 2-→AC

Jest tel que-→AJ= 3-→AC+ 2--→BC

1. faire une figure et estimer si(BC)et(IJ)sont parallèles

2. exprimer

IJet--→BCen fonction de--→ABet-→ACet conclure

2 corrigés activités2.1 corrigé activité 1 :(vecteurs égaux et parallèlogramme)

ABCest un triangle

DetEsont tels que--→BD=-→ACet-→AE=--→BA

1. figure

ABC D E

2. quelle est la nature deADCE?

Il semble que ce soit un parallèlogramme

démonstration :

BD=-→AC

ABDC parallèlogramme--→BA=--→DC--→BA=-→AE

AE=--→DCADCE parallèlogramme(P1)

(P1)(énoncé) (énoncé) (transitivité) (P1)

2.2 corrigé activité 2 :(somme de vecteurs et milieux)

ABCest un triangle

D,EetFsont tels que--→AD=--→AB+-→AC,-→AE=--→BA+-→AC,--→BF=--→BA--→AC

1. faire une figure

ABC DE F

2. démontrons queCest le milieu de[DE]

AD=--→AB+-→AC

ABDC parallèlogramme--→AB=--→CD-→AE=--→BA+-→AC (P4)(P1)(énoncé) (énoncé) (transitivité)-→AE=--→BCABCE parallèlogramme

AB=--→EC

C milieu de [DE]

(P2)(P1)

EC=--→CD

(Chasles)(P1)

2.3 corrigé activité 3 :(relation de Chasles, calcul vectoriel, colinéarité de vecteurs)

ABCest un triangle quelconque

(H1):Iest le milieu du segment[AB] (H2):Jest le milieu du segment[AC] (H3):Mest tel queABJMest un parallèlogramme (H4):Nest tel queAICNest un parallèlogramme (H5):Pest le milieu de[MN]

Que dire des droites(AP)et(BC)?

?A B CI JM P N en utilisant le repère(B;--→BC;--→BA)

1.--→BC= 1--→BC+ 0--→BA

AP=--→AB+--→BC+-→IA+1

2--→NM

AP=--→AB+--→BC+1

2--→BA+12--→NM

AP=--→AB+--→BC+1

2--→BA+12(--→NA+--→AM)

AP=--→AB+--→BC+1

2--→BA+12(-→CI+-→BJ)

AP=--→AB+--→BC+1

2--→BA+12-→CI+12-→BJ

AP=--→AB+--→BC+1

2--→BA+12(--→CB+12--→BA) +12(12(--→BC+--→BA))

AP=--→AB+--→BC+1

AP=---→BA+--→BC+1

AP= (-1 +1

2+14+14)--→BA+ (1-12+14)--→BC

AP= 0--→BA+3

4--→BC

AP=3

4--→BC

donc

APet--→BCsont colinéaires

2. donc(BC)et(AP)sont parallèles

2.4 corrigé activité 4 :(relation de Chasles, calcul vectoriel )

on sait queAB= 10cm et queGest tel que2-→GA+ 3--→GB=-→0

1.2-→GA+ 3--→GB=-→0

2

GA+ 3(-→GA+--→AB) =-→0

2

GA+ 3-→GA+ 3--→AB=-→0

5

GA+ 3--→AB=-→0

5

GA=-3--→AB

GA=-3

5--→AB

AG=-3

5--→AB

AG=3

5--→AB

2. faire une figure

???? ??ABG

2.5 corrigé activité 5 :(décomposition dans une base et alignement )

ABCest un triangle

Dest tel que--→AD= 3--→AB-2-→AC

1. faire une figure et estimer siB,CetDsont alignés

A BC D

B,CetDsemblent alignés

2. exprimer

BCet--→BDen fonction de--→ABet-→ACet conclure d"une part :

BC=--→BA+-→AC

BC=---→AB+-→AC

d"autre part :

BD=--→BA+--→AD

BD=---→AB+ 3--→AB-2-→AC

BD= 2--→AB-2-→AC

on remarque que : BD= 2--→AB-2-→AC=-2(---→AB+-→AC) =-2--→BC donc

BDet--→BCsont colinéaires

doncB,CetDsont alignés

2.6 corrigé activité 6 :(décomposition dans une base et alignement )

ABCest un triangle

Iest tel que-→AI=--→AB+ 2-→AC

Jest tel que-→AJ= 3-→AC+ 2--→BC

1. faire une figure et estimer si(BC)et(IJ)sont parallèles

A BC I ?J

2. exprimer

IJet--→BCen fonction de--→ABet-→ACet conclure

IJ=-→IA+-→AJ

IJ=--→AI+-→AJ

IJ=-(--→AB+ 2-→AC) + (3-→AC+ 2--→BC) IJ=---→AB-2-→AC+ 3-→AC+ 2--→BC IJ=---→AB-2-→AC+ 3-→AC+ 2(--→BA+-→AC) IJ=---→AB-2-→AC+ 3-→AC+ 2--→BA+ 2-→AC IJ=---→AB-2-→AC+ 3-→AC-2--→AB+ 2-→AC

IJ=-3--→AB+ 3-→AC

d"autre part :

BC=--→BA+-→AC

BC=---→AB+-→AC

on remarque que :

IJ= 3--→BC

donc

IJet--→BCsont colinéaires

donc(IJ)et(BC)sont parallèles

3 à retenir3.1 notion de vecteur et vecteurs égaux

définition 1 :(même direction ou colinéaires)

Quels que soient les pointsA?=BetC?=D,?

ABet--→CDont même direction??(AB)//(CD)

A B--→ABD C--→CD

(parallèles) définition 2:(même sens)

Quels que soient les pointsA?=BetC?=D,

et le sens "deAversB" est "le même" que le sens "deCversD"

A B--→ABC D--→CD

définition 3:(même norme)

Quels que soient les pointsA?=BetC?=D,?

???--→ABet--→CDont même norme??AB=CD

A B--→ABD

C--→CD

définition 4:(opposés)

Quels que soient les pointsA?=BetC?=D,

et le sens "deAversB" est "le sens contraire " du sens "deCversD" et ABet--→CDont même normeA B--→ABD C--→CD définition 5:(égalité de vecteurs)

Quels que soient les pointsA?=BetC?=D,

AB=--→CD???????--→ABet--→CDont même direction--→ABet--→CDont même sens--→ABet--→CDont même norme

A B--→ABC D--→CD

propriété 1:(égalité de vecteurs et parallélogramme) quels que soient les pointsA?=B,C?=D,A, BetCnon alignés? ???ABDCest un parallélogramme??--→AB=--→CD (attention à l"ordre des lettres) A BDC propriété 2:(égalité de vecteurs et milieu d"un segment) quels que soient les pointsA?=B, etI?

AI=-→IB??Iest le milieu du segment[AB]

(attention à l"ordre des lettres)A IB

3.2 somme de vecteurs

définition 6 :(somme de vecteurs ) quels que soient les pointsA, B, CetD soitEun point quelconque E XF A B CD soitXtel que--→EX=--→AB soitFtel que--→XF=--→CD le vecteur--→EFest appelé "vecteur somme" de--→ABet--→CDet on note :????

EF=--→AB+--→CD

propriété 3:(commutativité de la somme de vecteurs) quels que soient les pointsA, B, CetD A B CD

AB+--→CD=--→CD+--→AB

propriété 4:(somme de vecteurs et parallélogramme) quels que soient les pointsA, B, CetDavecA,BetDnon alignés? ???ABCDest un parallélogramme??-→AC=--→AB+--→AD

A BCD(attention à l"ordre des lettres)

propriété 5:(milieu et somme de vecteurs) quels que soient les pointsA, BetIavecA?=B? ???Iest le milieu du segment[AB]??-→IA+-→IB=-→0 A IB (attention à l"ordre des lettres) propriété 6:(relation de Chasles) quels que soient les pointsA,BetC?

AB+--→BC=-→AC

A BC remarques :

i.-→AA=--→BB=...=-→0est appelé levecteur nul, il n"a pas de direction et pas de sens.

3.3 multiplication d"un vecteur par un nombre réel

définition 7 :(produit d"un vecteur par un nombre) quels que soient les pointsAetB,A?=B quel que soit le nombre réel non nulk?R soitCun point quelconque A B

EF= 2--→ABE F

CD=-2--→ABD C

CDa pour sens?

le sens de--→ABsik >0 le sens contraire de celui de--→ABsik <0 CDa pour longueur la la longueur de--→ABmultipliée par|k|

le vecteur--→CDest appelé "vecteur produit" de--→ABparket on note :????--→CD=k--→AB

propriété 7:(milieu et produit d"un vecteur par un réel) quels que soient les pointsA, BetIavecA?=B? Iest le milieu du segment[AB]??-→AI=12--→AB A IB propriété 8:(somme de vecteurs, produit par un réel et milieu) quels que soient les pointsA, BetC? ???Iest le milieu de[BC]??-→AI=12(--→AB+-→AC)A BDC I propriété 9:(opérations sur les vecteurs) quels que soient les vecteurs-→uet-→v quels que soient les réelsk?Retl?R??????

???k(-→u+-→v) =k-→u+k-→v????k(l-→u) = (kl)-→u????(k+l)-→u=k-→u+l-→u

???1-→u=-→u????0-→u=-→0????k-→0 =-→0???? -→0 +-→u=-→u

3.4 vecteurs colinéaires, parallélisme de droites et alignement de points.

propriété 10 :(vecteurs colinéaires) quels que soient les vecteurs non nuls-→u?=-→0et-→v?=-→0? ???-→uet-→vsont colinéaires??il existe un réel non nulk?R?tel que-→v=k-→u propriété 11:(droites parallèles) quels que soient les pointsA?=BetC?=D? ???les droites(AB)et(CD)sont parallèles??--→ABet--→CDsont colinéaires

AB--→CDA

BC D propriété 12 :(points alignés) quels que soient les pointsA?=BetA?=C? ???les pointsA,BetCsont alignés??--→ABet-→ACsont colinéaires

AB-→ACA

B

C3.5 décomposition d"un vecteur selon une base

propriété 13 :(base de vecteurs du plan ) quels que soient les tois points du planA,BetCnon alignés quel que soit le pointMdu plan il existe un couple unique de réels(x;y)tels que????

AM=x--→AB+y-→AC

A--→AB-→AC

M AM BC on dit que AMa pour coordonnées(x;y)dans la base(--→AB;-→AC) on dit queMa pour coordonnées(x;y)dans le repère(A;--→AB;-→AC)

4 exercices

exercice 1 : ABCest un triangle etMest le point tel que--→MB= 3-→CA+ 4--→MA

1. essayer de faire une figure et remarquer qu"il n"est pas aisé de placer le pointMcar il

apparaît dans deux vecteurs

2.(a) en utilisant la relation de Chasles, démontrer que :--→MB= 3-→CA+ 4--→MA??--→BM=-→CA+4

3--→BA

(b) construire grâce à cette nouvelle égalité le pointMsur la figure exercice 2 :

ABCest un triangle.

DetEsont des points tels que--→AD=2

3-→ACet-→AE=32--→AB

1. faire une figure.

2. que semble t-il pour les droites(DB)et(CE)?

3.(a) en utilisant la relation de Chasles et les hypothèses, démontrer que :--→CE=3

2--→AB--→AC

(b) de même, montrer que :

DB=--→AB-2

3-→AC

(c) démontrer que CE=3

2--→DB

(d) qu"en déduire pour les vecteurs

CEet--→DB?

puis pour les droites(CE)et(DB)? exercice 3 : SoitABCun triangle etGun point tel que-→GA+--→GB+--→GC=-→0

1.(a) montrer que

AG=1

3--→AB+13-→AC

(b) placer le pointGsur la figure (Gest appelé le "centre de gravité" du triangleABC)

2. soitI=m([BC])le milieu du segment[BC]

(a) montrer que AI=1

2--→AB+12-→AC

(b) en déduire quequotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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