[PDF] 1er juin 2016 1 juin 2016 Commun à tous

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Durée : 4 heures

?Correction Baccalauréat S Amérique du Nord? 1 erjuin 2016

Exercice16 points

Commun à tous les cancidats

Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques grâceà deux machines de production A

et B. L"entreprise considère qu"une bille peut être vendue uniquement lorsque son diamètre est

compris entre 0,9 cm et 1,1 cm.

Les partiesA, BetCsont indépendantes.

PartieA

Une étude du fonctionnement des machines a permis d"établirles résultats suivants : •96% de la production journalière est vendable. •La machine A fournit 60% de la production journalière. •La proportion de billes vendables parmi la production de la machine A est 98%.

On choisit une bille au hasard dans la production d"un jour donné. On définit les évènements

suivants : A: "la bille a été fabriquée par la machine A»; B: "la bille a été fabriquée par la machine B»;

V: "la bille est vendable».

Traduction des hypothèses :

•p(A)=0,6

•p(V)=0,96

•pA(V)=0,98

Arbreschématisant la situation :

A 0,6? V 0,98 V0,02 B 0,4? V

V···

1.p(V∩V)=pA(V)×p(A)=0,98×0,6=

0,588.

2.V=(V∩A)?(V∩B)(réunind"événements incompatibles) doncp(V)=p(V∩A)+p(V∩B).

O en déduit quep(V∩B)=p(V)-p(V∩A)=0,96-0,588=

0,372.

p(B)=0,3720,4=0,93. 3.p

V(B)=p?

B∩V?

Le technicien a donc raison.

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieB

Dans cette partie, on s"intéresse au diamètre, exprimé en cm, des billes produites par les ma-

chines A et B.

1.Une étude statistique conduit à modéliser le diamètre d"unebille prélevée au hasard dans

la production de la machine B par une variablealéatoireXqui suit une loi normale d"espé- ranceμ=1 et d"écart-typeσ=0,055. À la calculatrice, on calculep(0,9?X?1,1); on trouvep(0,9?X?1,1)≈0,93, qui cor- respond bien à la probabilité de a partie A.

2.De la même façon, le diamètre d"une bille prélevée au hasard dans la production de la ma-

μ=1 et d"écart-typeσ?,σ?étant un réel strictement positif.

On poseZ=Y-1

σ?;Zsuit la loi normale centrée réduite.

P(0,9?Y?1,1)=0,98?P?

-0,1

σ??Z?0,1σ??

=0,98.

σ?. On en déduit queP(Z?α)=0,01.

À la calculatrice, on trouveα≈-2,3263 d"oùσ?=-0,1

α≈0,043 à 10-3près.

PartieC

nées en sachets. La quantité produite est suffisamment importante pour que le remplissage d"un

sachet puisse être assimilé à un tirage successif avec remise de billes dans la production journa-

lière.

Une étude de consommation montre que les enfants sont particulièrement attirés par les billes

de couleur noire.

1.Dans cette question seulement, les sachets sont tous composés de 40 billes.

a.On a répétition d"expérience identiques indépendantes à deux issues;Xsuit alors la loi binomialeB? 40 ;1
5?

Alors :p(X=10)=?4010??1

5? 0?45? 30

847660528×430530. On effectue directement le calcul

à la calculatrice : on trouveP(X=10)≈≈

0,107à 10-3près.

b.Dans un sachet de 40 billes, on a compté 12 billes noires. Ce constat permet-t-il de remettre en cause le réglage de la machine qui teinte les billes? On an=40?30; np=40×1

5=8?5 etn(1-p)=40×45=32?5.

On peut utiliser l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. I=? p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n? avecp=15etn=40.

I≈0,076 ; 0,324.

La fréquencefde billes noires observée estf=12

40=0,3;f?I.

Conclusion: la fréquence observée appartient àl"intervalleI, donc aurisque d"erreur de 5 %, ce constat ne remet pas en cause le réglage de la machinequi teinte les billes.

Amérique du Nord21erjuin 2016

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.On appelle désormaisnle nombre de billes dans chaque sachet.

NotonsYla variable aléatoire qui compte le nombre de billes noires dans un sachet. Cette variable aléatoireYsuit la loi binomialeB? n;1 5?

P(Y=k)=?n

k??1 5? k?45? n-k

P(Y?1)=1-P(Y=0)=1-?4

5? n

Donc :P(Y?1)?0,99?1-?4

5? n ?0,99??45? n ?0,01?n?ln(0,01)ln?45?

20,64.

Le nombreminimal debilles que chaque sachet doitcontenir pour que laprobabilité d"ob- tenir au moins une bille noire dans un sachet soit supérieureou égale à 99 % est donc de

21 billes.

Exercice26 points

Commun à tous les candidats

Un particulier veut faire fabriquer un récupéra- teur d"eau. Ce récupérateur d"eau est une cuve qui doit res- pecter le cahier des charges suivant : •elle doit être située à deux mètres de samaison; •laprofondeur maximale doitêtrededeuxmètres;

•elle doit mesurer cinq mètres de long;

•elle doit épouser la pente naturelle duterrain.

Cette cuve est schématisée ci-contre.

2 m5 m

La partie incurvée est modélisée par la courbeCfde la fonctionfsur l"intervalle [2 ; 2e] définie

par : f(x)=xln?x 2? -x+2. LacourbeCfestreprésentée ci-dessous dansunrepèreorthonorméd"unité1metconstitue une vue de profil de la cuve. On considère les points A(2; 2), I(2; 0) et B(2e; 2). 12

1 2 3 4 5 6

012

0 1 2 3 4 5 6

C f ??ABT I D

Terrain

Cuve

Terrain

Amérique du Nord31erjuin 2016

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieA

L"objectif de cette partie est d"évaluer le volume de la cuve. f (xI)=f(2)=2ln(1)-2+2=0=yIdoncI?C. •fest dérivable sur son ensemble de définition; f ?(x)=1×ln?x 2? +x×1 2 x

2-1=ln?x2?

+1-1=ln?x2?. Alorsf?(2)=ln1=0 donc l"axe des abscisses est tangent à la courbeCfau point I.

2.On noteTla tangente à la courbeCfau point B, et D le point d"intersection de la droite

Tavec l"axe des abscisses.

a.Une équation deTesty=f?(xB)(x-xB)+f(xB)doncy=f?(2e)(x-2e)+f(2e),soit : y=1(x-2e)+2, c"est-à-dire y=x+2-2e.

On af(xD)=0 doncxD=2e-2 : D a pour coordonnées

D(2e-2 ; 0).

b.On appelleSl"aire du domaine délimité par la courbeCf, les droites d"équationsy=

2,x=2 etx=2e.

Speut être encadrée par l"aire du triangle ABI et celle du trapèze AIDB.

A(AIB)=AI×AB

2=2×(2e-2)2=2e-2 u.a..

A(AIDB)=(ID+AB)×AI

2=(2e-4)+(2e-2)×22=4e-6 u.a.

Encadrement du volume :

On en déduit

5(2e-2)?V?5(4e-6)

3. a.SoitGdéfinie parG(x)=x22ln?x2?

-x24.

Gst dérivable etG?(x)=xln?x

2? +x22×1x-x2=xln?x2? ,doncGest bien une primitive deg. b.f(x)=g(x)-x+2=g(x)-x+2. On en déduit qu"une primitive defestFavecF(x)=G(x)-x2

2+2xdonc

G(x)=x2

2ln?x2?

-x24-x22+2x= x2

2ln?x2?

-3x24+2x. c.L"aireSvautalorsS=?2e

2?2-f(x)?dx=?2e

22 dx=?2e

2f(x) dx=2(2e-2)-[F(2e)-F(2)]=

e2-3.

On en déduit que le volume

V=5?e2-3?

PartieB

Pour tout réelxcompris entre 2 et 2e, on note

v(x) le volume d"eau, exprimé en m3, se trou- vant dans la cuve lorsque la hauteur d"eau dans la cuve est égale àf(x).

On admet que, pour tout réelxde l"intervalle

[2; 2e], v(x)=5?x2

2ln?x2?

-2xln?x2? -x24+2x-3? .012345xf(x) 0 123

Amérique du Nord41erjuin 2016

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1.On a montré précédemment quef?(x)=ln?x2?

, positif pourx2?1 doncx?2. Sur l"inter- valle [2 ; 2e], la fonctionfest donc croissante;fest continue;f(2)=0 etf(2e)=2 donc, d"après le théorème des valeurs intermédiaires, l"équationf(x)=1 a une solution dans l"intervalle [2 ; 2e], unique puis quefest croissante. Notonsαcette solution.

À la calculatrice, on trouveα≈4,32.

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